必修四平面向量知识点整理+例题+练习+问题详解.pdf

-1-平面向量知识点整理平面向量知识点整理1 1、概念概念向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 单位向量：长度等于 个单位的向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量相反向量：0abbaab 向量表示：几何表示法AB；字母a a表示；坐标表示：a aj j（，）.向量的模：设OAauu u rr，则有向线段OAuu u r的长度叫做向量ar的长度或模，记作：|ar.（。）222222|,|axyaaxyrrr零向量：长度为的向量。a aO Oa aO O.0【例题】1.下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起abrrabrr点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，ABDCuuu ruuu rABCDABCD则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_ABDCuuu ruuu r,ab bcrr rracrr/,/ab bcrr rr/acrr 2.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_,a br r60o|3|abu u rr2 2、向量加法运算：、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接连端点平行四边形法则的特点：起点相同连对角三角形不等式：abababrrrrrr运算性质：交换律：；结合律：；abbarrrrabcabcrrrrrr-2-00aaarrrrr坐标运算：设，11,ax yr22,bxyr则1212,abxxyyrr3 3、向量减法运算：、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则11,ax yr22,bxyr1212,abxxyyrr设、两点的坐标分别为，则A11,x y22,xy1212,xxyyA uuu r【例题】（1 1）_；_；ABBCCDuuu ruuu ruuu rABADDCuuu ruuu ruuu r _()()ABCDACBDuuu ruuu ruuu ruuu r（2 2）若正方形的边长为 1，则_ ABCD,ABa BCb ACcuuu rr uuu rr uuu rr|abcrrr4 4、向量数乘运算：、向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作arar；aarr当时，的方向与的方向相同；0arar 当时，的方向与的方向相反；当时，0arar00arr运算律：；aa rraaarrrababrrrr坐标运算：设，则,ax yr,ax yxyr【例题例题】（1 1）若 M（-3，-2），N（6，-1），且，则点 P 的坐标为_1M PM N3 5 5、向量共线定理、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使设0a a rr rbrbarr，（）。11,ax yr22,bxyr0b rr22()(|)a ba br rrr 【例题例题】(1)(1)若向量，当_时与共线且方向相同(,1),(4,)axbxrrxarbr（2 2）已知，且，则x_(1,1),(4,)abxrr2uabrrr2vabrrr/uvrrbr ar C A abCC AA uuu ruuu ruuu rrr -3-6 6、向量垂直：、向量垂直：.0|aba bababrrr rrrrr12120 x xy y【例题例题】(1)】(1)已知，若，则 (1,2),(3,)OAOBm uu u ruuu rOAOBuu u ruuu rm （2 2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，则点 B 的坐90B标是_ （3 3）已知向量，且，则的坐标是_(,),na brnmru rnmru rmu r7 7、平面向量的数量积：、平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为cos0,0,0180a ba baboorrrrrrrr0性质：设和都是非零向量，则当与同向时，；arbr0aba brrrrarbra ba brrrr当与反向时，；或arbra ba b rrrr22a aaar rrraa arr ra ba brrrr运算律：；a bb arrrr aba babrrrrrrabca cb c rrrrr rr坐标运算：设两个非零向量，则11,ax yr22,bxyr1212a bx xy yrr若，则，或,ax yr222axyr22axyr设，则a ab ba ab b0 x1x2y1y20.11,ax yr22,bxyr 则a ab ba ab b(b0b0)x1y2 x2y1.设、都是非零向量，是与的夹角，则arbr11,ax yr22,bxyrarbr；（注）121222221122cosx xy ya ba bxyxyrrrr|a ba brrrr【例题】（1 1）ABC 中，则_3|AB4|AC5|BCBCAB（2 2）已知，与的夹角为，则等于_ 11(1,),(0,),22abcakb dabrrrrr u rrrcrdu r4k（3 3）已知，则等于_2,5,3aba b rrr rgabrr（4 4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_,a br rababrrrr与aabrrr（5 5）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是)2,(a)2,3(bab_ （6 6）已知向量（sinx，cosx）,（sinx，sinx）,（1，0）。（1）若abc-4-x，求向量、的夹角；3ac8 8、在在上的投影：即上的投影：即，它是一个实数，但不一定大于 0。ba|cosbr【例题】已知，且，则向量在向量上的投影为_ 3|a5|b12baab9 9、（必修五的内容）（必修五的内容）正弦定理（正弦定理（其中 R 表示三角形的外接圆半径）：（1）2sinsinsinabcRABC（2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（3）sin,sin,sin,222abcAABCRRR余弦定理余弦定理（1）=2b222cosacacB（2）bcacbA2cos222（3）；12aSa h1sin2SbcABacCabsin21sin21附：附：ABCABC 的判定的判定：222bacABC为直角A+B=22c22baABC为钝角A+B22c22baABC为锐角A+B2附：证明：abcbaC2cos222，在钝角ABC中，22222200coscbacbaC在在ABCABC 中中，有下列等式成立CBACBAtantantantantantan.证明：因为,CBA所以CBAtantan，所以CBABAtantantan1tantan，结论！三角形的四个三角形的四个“心心”；重心重心：三角形三条中线交点.外心外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心垂心：三角形三边上的高相交于一点.非零向量非零向量 与与有关系是有关系是：是 方向上的单位向量aaaaaa-5-练习题：练习题：一、平面向量的概念及其运算一、平面向量的概念及其运算1、若向量满足，则 与 必须满足的条件为 a、bbabaab2、若，则等于（）cACbAB,BCA B C D cbbccbcb3、正六边形 ABCDEF 中，（）EFCDBAA B C D0BECDCF4、在边长为 1 的正方形 ABCD 中，设，则=cACbADaAB,cba5、在中，已知，则等于（）ABCBDBC3ADA B C D)2(31ABAC)2(31ACAB)3(41ABAC)2(41ABAC 6、在中，E、F 分别是 AB 和 AC 的中点，若，则等于（）ABCbACaAB,EFA B C D)(21ba)(21ba)(21ab)(21ba7、已知：向量 同向，且，则 ba,7,3baba2二、平面向量的基本定理及坐标表示二、平面向量的基本定理及坐标表示8、若，且，则四边形 ABCD 是（）115,3eCDeABBCAD A是平行四边形 B菱形 C等腰梯形 D不等腰梯形9、已知且，试求点和的坐标 )4,3(),1,3(),4,2(CBACBCNCACM2,3、NMMN-6-10、已知向量，则与 同向的单位向量是（）)4,3(aa A B C D)54,53()54,53()4,3()4,3(11、已知，则线段 AB 中点的坐标是 )0,8(),2,3(ABA12、若三点共线，求 )9,(),4,2(),1,1(xBAPx13、若向量与相等地，已知，则 的值为（）)43,3(2xxxaAB)2,1(),2,1(BA xA-1 B-1 或-4 C4 D1 或 4三、平面向量的数量积三、平面向量的数量积14、已知，则 与 的夹角等于 33,3,2babaab15、已知 ABCD 为菱形，则的值为 )()(ADABBCAB16、已知，且，则向量 在 方向上的投影为 5b12baab17、已知向量 与 的夹角为，且，abo1202,4ba（1）求 在 方向上的投影ab（2）求ba43（3）若向量与垂直，求实数 的值kba ba 5k18、已知、满足且，则 ab1,1ba3)(2baba19、若，且 与 不共线，则 与 的夹角为 babaabab20、已知，若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是（）)1,(),1,2(baabA B C D),2()2,21(),2(),21()21,(21、已知，则 与 的夹角为 )5,5(),0,6(baab22、已知，若点在线段 AB 的中垂线上，则=)1,1(),2,3(BA)21,(xPx平面向量高考经典试题平面向量高考经典试题一、选择题1、已知向量，则与(5,6)a r(6,5)b rarbr-7-A垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向2、已知向量，若与垂直，则（）(1)(1)nn，ab2 abba AB CD41223、若向量满足，的夹角为 60，则=_；,a br r|1abrr,a br ra aa br rr r4、在中，已知是边上一点，若，则（）ABCDAB123ADDBCDCACBuuu ruuu r uuu ruu u ruu u r，ABCD231313235、若 O、E、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）A B.EFOFOEuuu ruuu ruuu rEFOFOEuuu ruuu ruuu rC.D.EFOFOE uuu ruuu ruuu rEFOFOE uuu ruuu ruuu r6、已知平面向量，则向量（）(11)(11)或或或ab1322ab (21)或(21)或 (10)或(12)或二、填空题1、已知向量若向量，则实数的值是2 411，a=b=()ba+b2、若向量的夹角为，则 a br r，o601abrraabrrrg3、在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，则OABCOB(0 0)O，(11)B，AB AC uuu r uuu rg三、解答题：1、已知 ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3，4)、B(0，0)、C(，0)c (1)若，求 的值；0AB AC gc(2)若，求 sinA 的值5c-8-2.已知,当为何值时，（1）与垂直？（2）与(1,2)a r)2,3(bkkabrr3abrrkarb平行？3arb3已知，（）求证：与互相垂直；(cos,sin)ar(cos,sin)br0abrrabrr 4已知与，问当实数 的值为多少时最小。)1,2(ar)2,1(brtb tarr5已知向量，向量，则的最大值是 (cos,sin)ar(3,1)b r2abrr-9-平面向量知识点整理平面向量知识点整理1 1、概念、概念向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 单位向量：长度等于 个单位的向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量相反向量：0abbaab 向量表示：几何表示法AB；字母a a表示；坐标表示：a aj j（，）.向量的模：设OAauu u rr，则有向线段OAuu u r的长度叫做向量ar的长度或模，记作：|ar.（。）222222|,|axyaaxyrrr零向量：长度为的向量。a aO Oa aO O.0【例题】1.下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们abrrabrr的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四ABDCuuu ruuu rABCDABCD边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是ABDCuuu ruuu r,ab bcrr rracrr/,/ab bcrr rr/acrr_（答：（4）（5）2.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_,a br r60o|3|abu u rr（答：）；132 2、向量加法运算：、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接连端点平行四边形法则的特点：起点相同连对角-10-三角形不等式：abababrrrrrr运算性质：交换律：；结合律：；abbarrrrabcabcrrrrrr 00aaarrrrr坐标运算：设，11,ax yr22,bxyr则1212,abxxyyrr3 3、向量减法运算：、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则11,ax yr22,bxyr1212,abxxyyrr设、两点的坐标分别为，则A11,x y22,xy1212,xxyyA uuu r【例题】（1 1）_；_；ABBCCDuuu ruuu ruuu rABADDCuuu ruuu ruuu r _ （答：；）；()()ABCDACBDuuu ruuu ruuu ruuu rADuuu rCBuu u r0r（2 2）若正方形的边长为 1，则_（答：ABCD,ABa BCb ACcuuu rr uuu rr uuu rr|abcrrr）；2 2（3 3）已知作用在点的三个力，则合力的终(1,1)A123(3,4),(2,5),(3,1)FFFu u ruu ruu r123FFFFu ru u ruu ruu r点坐标是 （答：（9,1）4 4、向量数乘运算：、向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作arar；aarr当时，的方向与的方向相同；0arar 当时，的方向与的方向相反；当时，0arar00arr运算律：；aa rraaarrrababrrrr坐标运算：设，则,ax yr,ax yxyrbr ar C A abCC AA uuu ruuu ruuu rrr -11-【例题例题】（1 1）若 M（-3，-2），N（6，-1），且，则点 P 的坐标为_1M PM N3（答：）；7(6,)35 5、向量共线定理、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使设0a a rr rbrbarr，（）。11,ax yr22,bxyr0b rr22()(|)a ba br rrr 【例题例题】(1)(1)若向量，当_时与共线且方向相同(,1),(4,)axbxrrxarbr（答：2）；（2 2）已知，且，则x_(1,1),(4,)abxrr2uabrrr2vabrrr/uvrr（答：4）；6 6、向量垂直：、向量垂直：.0|aba bababrrr rrrrr12120 x xy y【例题例题】(1)】(1)已知，若，则 (1,2),(3,)OAOBm uu u ruuu rOAOBuu u ruuu rm（答：）；32 （2 2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，则点 B 的坐90B标是_（答：(1,3)或（3，1）；（3 3）已知向量，且，则的坐标是_(,),na brnmru rnmru rmu r（答：）(,)(,)bab a或7 7、平面向量的数量积：、平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为cos0,0,0180a ba baboorrrrrrrr0性质：设和都是非零向量，则当与同向时，；arbr0aba brrrrarbra ba brrrr当与反向时，；或arbra ba b rrrr22a aaar rrraa arr ra ba brrrr运算律：；a bb arrrr aba babrrrrrrabca cb c rrrrr rr坐标运算：设两个非零向量，则11,ax yr22,bxyr1212a bx xy yrr-12-若，则，或,ax yr222axyr22axyr设，则a ab ba ab b0 x1x2y1y20.11,ax yr22,bxyr 则a ab ba ab b(b0b0)x1y2 x2y1.设、都是非零向量，是与的夹角，则arbr11,ax yr22,bxyrarbr；（注）121222221122cosx xy ya ba bxyxyrrrr|a ba brrrr【例题】（1 1）ABC 中，则_3|AB4|AC5|BCBCAB（答：9）；（2 2）已知，与的夹角为，则等于_ 11(1,),(0,),22abcakb dabrrrrr u rrrcrdu r4k（答：1）；（3 3）已知，则等于_（答：）；2,5,3aba b rrr rgabrr23（4 4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_（答：,a br rababrrrr与aabrrr）30o（5 5）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是)2,(a)2,3(bab_ （答：或且）；43 013（6 6）已知向量（sinx，cosx）,（sinx，sinx）,（1，0）。（1）若abcx，求向量、的夹角；（答：150）；3ac8 8、在在上的投影：即上的投影：即，它是一个实数，但不一定大于 0。ba|cosbr【例题】已知，且，则向量在向量上的投影为_ 3|a5|b12baab（答：)5129 9、（必修五的内容）（必修五的内容）正弦定理（正弦定理（其中 R 表示三角形的外接圆半径）：（1）2sinsinsinabcRABC（2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC-13-（3）sin,sin,sin,222abcAABCRRR余弦定理余弦定理（1）=2b222cosacacB（2）bcacbA2cos222（3）；12aSa h1sin2SbcABacCabsin21sin21附：附：ABCABC 的判定的判定：222bacABC为直角A+B=22c22baABC为钝角A+B22c22baABC为锐角A+B2附：证明：abcbaC2cos222，在钝角ABC中，22222200coscbacbaC在在ABCABC 中中，有下列等式成立CBACBAtantantantantantan.证明：因为,CBA所以CBAtantan，所以CBABAtantantan1tantan，结论！三角形的四个三角形的四个“心心”；重心重心：三角形三条中线交点.外心外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心垂心：三角形三边上的高相交于一点.非零向量非零向量 与与有关系是有关系是：是 方向上的单位向量aaaaaa练习题：练习题：一、平面向量的概念及其运算一、平面向量的概念及其运算1、若向量满足，则 与 必须满足的条件为 方向相同 a、bbabaabba,-14-2、若，则等于（B ）cACbAB,BCA B C D cbbccbcb3、正六边形 ABCDEF 中，（D ）EFCDBAA B C D0BECDCF4、在边长为 1 的正方形 ABCD 中，设，则=2 cACbADaAB,cba5、在中，已知，则等于（A ）ABCBDBC3ADA B C D)2(31ABAC)2(31ACAB)3(41ABAC)2(41ABAC 6、在中，E、F 分别是 AB 和 AC 的中点，若，则等于（C ）ABCbACaAB,EFA B C D)(21ba)(21ba)(21ab)(21ba7、已知：向量 同向，且，则 1 ba,7,3baba2二、平面向量的基本定理及坐标表示二、平面向量的基本定理及坐标表示8、若，且，则四边形 ABCD 是（C ）115,3eCDeABBCAD A是平行四边形 B菱形 C等腰梯形 D不等腰梯形9、已知且，试求点和的坐标 199 页)4,3(),1,3(),4,2(CBACBCNCACM2,3、NMMN（答案：）)18,9(),2,9(),20,0(MNNM10、已知向量，则与 同向的单位向量是（A ）)4,3(aa A B C D)54,53()54,53()4,3()4,3(11、已知，则线段 AB 中点的坐标是 （1，2）)0,8(),2,3(ABA-15-12、若三点共线，求 （答案：）)9,(),4,2(),1,1(xBAPx3x13、若向量与相等地，已知，则 的值为（A ）)43,3(2xxxaAB)2,1(),2,1(BA xA-1 B-1 或-4 C4 D1 或 4三、平面向量的数量积三、平面向量的数量积14、已知，则 与 的夹角等于 33,3,2babaabo3015、已知 ABCD 为菱形，则的值为 0 )()(ADABBCAB16、已知，且，则向量 在 方向上的投影为 5b12baab51217、已知向量 与 的夹角为，且，abo1202,4ba（1）求 在 方向上的投影ab（2）求ba43（3）若向量与垂直，求实数 的值kba ba 5k（答案：（1）-2，（2），（3）7441918、已知、满足且，则 ab1,1ba3)(2baba2119、若，且 与 不共线，则 与 的夹角为babaababo9020、已知，若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是（A ）)1,(),1,2(baabA B C D),2()2,21(),2(),21()21,(21、已知，则 与 的夹角为)5,5(),0,6(baabo13522、已知，若点在线段 AB 的中垂线上，则=)1,1(),2,3(BA)21,(xPx47平面向量高考经典试题平面向量高考经典试题一、选择题1已知向量，则与(5,6)a r(6,5)b rarbrA垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向-16-2、已知向量，若与垂直，则（）(1)(1)nn，ab2 abba AB CD41223、若向量满足，的夹角为 60，则=_；,a br r|1abrr,a br ra aa br rr r4、在中，已知是边上一点，若，则（）ABCDAB123ADDBCDCACBuuu ruuu r uuu ruu u ruu u r，ABCD231313236、若 O、E、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）A B.EFOFOEuuu ruuu ruuu rEFOFOEuuu ruuu ruuu rC.D.EFOFOE uuu ruuu ruuu rEFOFOE uuu ruuu ruuu r6、已知平面向量，则向量（）(11)(11)或或或ab1322ab (21)或(21)或 (10)或(12)或二、填空题1、已知向量若向量，则实数的值是2 411，a=b=()ba+b2、若向量的夹角为，则 a br r，o601abrraabrrrg3、在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，则OABCOB(0 0)O，(11)B，AB AC uuu r uuu rg三、解答题：1、已知 ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3，4)、B(0，0)、C(，0)c (1)若，求 的值；0AB AC gc(2)若，求 sinA 的值5c-17-2.已知,当为何值时，（1）与垂直？（2）与(1,2)a r)2,3(bkkabrr3abrrkarb平行？3arb3已知，（）求证：与互相垂直；(cos,sin)ar(cos,sin)br0abrrabrr 4已知与，问当实数 的值为多少时最小。)1,2(ar)2,1(brtb tarr5已知向量，向量，则的最大值是 (cos,sin)ar(3,1)b r2abrr6、在中，角的对边分别为ABCABC，tan3 7abcC，（1）求；cosC（2）若，且，求 52CB CA uu u r uu u rg9abc7、在中，分别是三个内角的对边若，ABCabc，ABC，4,2Ca5522cosB求的面积ABCS8、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2 sinabA-18-（）求B的大小；（）若，求b3 3a 5c 9、在中，ABC1tan4A 3tan5B（）求角的大小；（）若最大边的边长为，求最小边的边长CABC17答案答案选择题1、A.已知向量，则与垂直。(5,6)a r(6,5)b r30300a b r rarbr2、C ，由与垂直可得：2(3,)nab=2 abb，。2(3,)(1,)303nnnn 2a3、解析：，32131 1 122a aa b r rr r4、A 在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若=2，=，则ADDBCDCBCA31，=。22()33CDCAADCAABCACBCAuuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruu u ruu u ruu u r1233CACBuu u ruu u r325、B 由向量的减法知EFOFOEuuu ruuu ruuu r6、D 1322ab(12).，填空题1、解析：已知向量量，则2 411abrr，=(2,4)abrr()babrrr+2+4+=0，实数=32、【解析】。212211cos60122aabaa baab rrrrr rrrrg3、解析：(0,1)(1,1)0(1)1 11.AB AC uuu r uuu rg解答题-19-1、解:(1)(3,4)AB uuu r(3,4)ACcuuu r 由 得 3(3)162530AB ACcc uuu r uuu rg253c (2)(3,4)AB uuu r(2,4)AC uuu r 6 161cos5 205AB ACAAB AC uuu r uuu rguuu r uuu rg22 5sin1 cos5AA2.已知,当为何值时，（1）与垂直？（2）与(1,2)a r)2,3(bkkabrr3abrrkarb平行？3arb3已知，（）求证：与互相垂直；(cos,sin)ar(cos,sin)br0abrrabrr 4已知与，问当实数 的值为多少时最小。)1,2(ar)2,1(brtb tarr5已知向量，向量，则的最大值是 (cos,sin)ar(3,1)b r2abrr6、解：（1）sintan3 73 7cosCCCQ，又 解得22sincos1CCQ1cos8C ，是锐角tan0C QC1cos8C（2），52CB CA uu u r uu u rQg5cos2abC20ab-20-又9abQ22281aabb2241ab2222cos36cababC6c 7、解：由题意，得为锐角，3cos5BB，54sinB ，102743sin)sin(sinBCBA 由正弦定理得，710c111048sin222757SacB g8、解：（）由，根据正弦定理得，所以，2 sinabAsin2sinsinABA1sin2B 由为锐角三角形得ABC6B（）根据余弦定理，得2222cosbacacB2725457所以，7b 9、本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分 12 分解：（），()CABQ1345tantan()113145CAB 又，0CQ34C（），边最大，即34C QAB17AB 又，角最小，边为最小边tantan0ABABQ，ABC由且，22sin1tancos4sincos1AAAAA，02A，得由得：17sin17A sinsinABBCCAsin2sinABCABCg-21-所以，最小边2BC