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应重视用枚举法解题
题1 某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆．某天干先生准备从该汽车站前往省城办事，但他不知道客车的等级情况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么干先生乘上上等车的概率是 ．
解 这里的一次试验是“每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆”，试验成功的情形是“干先生采取上述策略能乘上上等车”．
先枚举出一次试验可能的所有情形：①上、中、下，②上、下、中，③中、上、下，④中、下、上，⑤下、上、中，⑥下、中、上．其中试验成功的情形是③④⑤三种，所以所求的概率是．
题2 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2名女生相邻，不同排法种数是？
解 设想6位同学站成一排分别站的位置是1,2,3,4,5,6．因为男生甲不站两端，所以可分以下四种情形：
(1)甲站的位置是2．
此时3位女生站的位置只能是(1,34)，(1,45)，(1,56)，(34,6)，(3,56)这5种情形，可得此时有种排法．
(2)甲站的位置是3．
此时3位女生站的位置只能是(12,4)，(12,5)，(12,6)，(1,45)，(1,56)，(2,45)，(2,56)这7种情形，可得此时有种排法．
(3)甲站的位置是4．
此时的排法数同(2)．
(4)甲站的位置是5．
此时的排法数同(1)．
所以所求答案为．
注 列举时可先选好标准进行分类，而每一类中列举时可按照字典排列法(小的在前大的在后)，这样可做到不重不漏．
题3 (2013年高考全国大纲卷第20题)甲乙丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)(理)表示前4局中乙当裁判的次数，求的数学期望．
(文)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．
解 先列举出所有的情形(括号里面的表示裁判)，见表1：
表1
情形
第1局
第2局
第3局
第4局
在前4局中乙当裁判的次数
1
乙丙(甲)

甲乙(丙)
乙丙(甲)
甲乙(丙)
0
2
甲丙(乙)
1
3
甲丙(乙)
甲乙(丙)
1
4
乙丙(甲)
1
5
甲丙(乙)
乙丙(甲)
甲丙(乙)
2
6
甲乙(丙)
1
7
甲乙(丙)
甲丙(乙)
2
8
乙丙(甲)
1
因为各局中双方获胜的概率均为，所以所列举的8种情形是等可能的，从而可得答案：
(1)．
(2)(理)可得随机变量的概率分布列，见表2：
表2

0
1
2

所以．
(文)．
D
B
C
A
题4 (2008年高考全国卷I理科第12题)如图1，一环形花坛分成四块．现有4种不同的花供选择，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )
图1
A.96 B.84 C.60 D.48
解 B．可共种2种花，先把分成两组使得每组能种同一种花，只有一种分法，有种种法；可共种3种花，先把分成三组使得每组能种同一种花，只有两种种分法，有种种法；可共种4种花，有种种法．并且别无它法，所以共有种种法．
题5 (2012年卓越联盟自主招生数学试题第7题)设是从集合{1,2,3,4,5}中随机选取的数．
(1)求直线与圆有公共点的概率；
(2)设为直线与圆公共点的个数，求随机变量的分布列及数学期望．
解 直线与圆的公共点为0(1,2)个，由此可列出各种情形(表中的表示直线与圆公共点的个数)，见表3：
表3

1
2
3
4
5
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
3
0
2
2
2
2
4
0
0
2
2
2
5
0
0
0
2
2
(1)直线与圆有公共点的概率为．
(2)随机变量的分布列(见表4)及数学期望分别为
表4

0
1
2

题6 (三门问题)在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是羊.游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后面有羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意(选择另一扇门)，以使得赢得汽车的概率更大一些？
解 由图2可知：若改变主意，则赢得汽车的概率是；若不改变主意，则赢得汽车的概率是.

图2
所以参赛者改变主意(选择另一扇门)，可使赢得汽车的概率更大一些.
题7 (2012年高考新课标全国卷文科第21题)设函数．
(1)求的单调区间；
(2)若为整数，且当时，，求的最大值．
解 (1)略．
(2)可得题设即恒成立．
由时成立，得，所以整数．还可证时成立：
设，得
因为，所以．
所以所求的最大值是2．
注 由此解法还可得：整数的取值范围是{不大于2的整数}，实数的取值范围是，其中是方程的正数解．
在解决某些数学题特别是排列组合及概率统计等与计数有关的问题时，有不少读者认为枚举法是“最烦、最繁、最差、最没有技术含量”的，其实不然：第一，当基本事件总数较少但情况又稍复杂时，枚举法一清二楚；枚举法应当是解这类题时首先想到的方法，比如树形图、列表法等；第三，即使枚举法失败，也可由此发现部分规律，对解题也有帮助．因此，解决某些数学题特别是计数问题时，应重视枚举法．