2019全国1卷理数.doc

(完整版)2019全国1卷理数
2019全国1卷理数

一、选择题
1.已知集合，则=（ ）
A． B． C． D．
2.设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
3。已知，则（ ）
A． B． C． D．
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）

A． B． C． D．
5.函数在的图像大致为( )
A． B．
C． D．
6.我国古代典籍《周易》用“卦"描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）

A． B． C． D．
7。已知非零向量满足,且，则a与b的夹角为( )
A． B． C． D．
8。如图是求的程序框图,图中空白框中应填入( ）

A． B． C． D．
9。记为等差数列的前n项和．已知，则（ )
A． B． C． D．
10。已知椭圆的焦点为，过的直线与交于两点．若，，则的方程为( ）
A． B． C． D．
11。关于函数有下述四个结论:
①是偶函数
②在区间单调递增
③在有4个零点
④的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( ）
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
12。已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是的中点,,则球的体积为( ）
A． B． C． D．
二、填空题
13。曲线在点处的切线方程为_______.
14。记为等比数列的前n项和．若,则________。
15。甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为,客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是____________．
16。已知双曲线的左、右焦点分别为过的直线与的两条渐近线分别交于两点．若，,则的离心率为________．
三、解答题
17.的内角的对边分别为设．
1。求;
2.若，求．
18.如图,直四棱柱的底面是菱形，分别是的中点．

1。证明：平面;
2.求二面角的正弦值．
19.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与x轴的交点为．
1.若，求的方程；
2.若，求．
20.已知函数，为的导数．证明:
1。在区间存在唯一极大值点;
2。有且仅有2个零点．
21。为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定:对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为．
1.求的分布列；
2.若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中,，．假设，．
(i）证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
22。［选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
1。求和的直角坐标方程；
2.求上的点到距离的最小值．
23.［选修4—5:不等式选讲]
已知为正数，且满足．证明：
1。；
2。．
参考答案

一、选择题
1.答案:C
解析:
2。答案：C
解析:
3.答案：B
解析：
4。答案：B
解析：
5.答案：D
解析：
6。答案：A
解析：
7。答案:B
解析:
8.答案:A
解析：
9.答案：A
解析:
10.答案：B
解析：
11。答案：C
解析：
12。答案：D
解析:
二、填空题
13。答案：
解析：
14。答案：
解析:
15。答案：
解析：
16.答案:2
解析:
三、解答题
17。答案:1.由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．
因为,所以．
2。由1知，由题设及正弦定理得,
即，可得．
由于，所以，故

．
解析：
18.答案：1。连结．
因为分别为的中点,
所以，且．
又因为为的中点，所以．
由题设知，可得,故，
因此四边形为平行四边形,．
又平面,所以平面．
2。由已知可得．
以D为坐标原点,的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，,,,,，，．
设为平面的法向量，则，
所以可取．
设为平面的法向量，则
所以可取．
于是,
所以二面角的正弦值为．
解析：
19.答案：1。设直线．
由题设得，故，由题设可得．
由，可得，则．
从而，得．
所以的方程为．
2。由可得．
由，可得．
所以．从而，故．
代入的方程得．
故．
解析：
20。答案：1.设,则，.
当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，
设为。
则当时,；当时,。
所以在单调递增，在单调递减,故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.
2。的定义域为。
（i)当时，由1知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点。
（ii）当时，由1知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得,且当时，；当时,.故在单调递增，在单调递减.
又，，所以当时，.从而， 在没有零点.
(iii）当时，，所以在单调递减。而，，所以在有唯一零点.
（iv）当时,，所以，从而在没有零点.
综上，有且仅有2个零点。
解析：
21.答案：1.的所有可能取值为。

所以的分布列为

2.(i）由1得。
因此，故，即
.
又因为，所以为公比为4,首项为的等比数列．
(ii）由i可得
.
由于,故，所以

表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.
解析：
22.答案：1.因为,且,所以的直角坐标方程为。
的直角坐标方程为。
2.由1可设的参数方程为（为参数，)。
上的点到的距离为。
当时，取得最小值7，故上的点到距离的最小值为。
解析：
23.答案:1.因为，又，故有
.
所以。
2。因为为正数且，故有

。
所以.
解析：