三-二项式定理.doc

第三节　二项式定理
【最新考纲】　会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.
2．二项式系数的性质

3.二项式各项系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n．
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Can－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．(　　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．(2017·广州一模)(3－x)n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为(　　)
A．540　　　B．－540　　　C．600　　　D．200
解析：本题主要考查二项式定理．由题意令x＝1，则(3－x)n的展开式中各项系数和为2n＝64，解得n＝6，由二项式定理可得Tr＋1＝C36－r(－x)r＝(－1)rC36－rxr，取r＝3可得x3的系数为(－1)3C33＝－540.
答案：B
3．(2015·陕西卷)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：(x＋1)n＝(1＋x)n＝1＋C＋Cx2＋…＋Cxn依题意，得C＝15，解得n＝6(n＝－5舍去)．
答案：B
4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为(　　)
A．1 B．129
C．128 D．127
解析：令x＝1得a0＋a1＋…＋a7＝128.令x＝0得a0＝(－1)7＝－1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝129.
答案：B
5．(2016·衡水质检)在的展开式中，各项的二项式系数和为256，则展开式中常数项是________．
解析：依题意，得2n＝256，∴n＝8
则展开式的通项
Tk＋1＝C(－1)kx8－k，
令8－k＝0，则k＝6，
因此展开式中的常数项T7＝C＝7.
答案：7

一个定理
　二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定要牢记通项公式Tr＋1＝Can－rbr是展开式的第r＋1项，不是第r项．
一点注意
　切记二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分；前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．
两类应用
1．通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(常用待定系数法)．
2．展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法．(2)可证明整除问题(或求余数)．(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法．

一、选择题
1．(2015·广东卷改编)在(－1)4的展开式中，x的系数为(　　)
A．6　　　　　　　　　　B．－6
C．4 D．－4
解析：Tr＋1＝C·()4－r·(－1)r.令r＝2，则C24(－1)2＝6.
答案：A
2．(2016·江西八校联考)若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是(　　)
A．－2 B．－3
C．125 D．－131
解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2.
又a0＝C(－1)020＝1，a8＝C(－2)7＝－128.
所以a1＋a2＋…＋a7＝－2－1－(－128)＝125.
答案：C
3．若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)
A．2 B.
C．1 D.
解析：Tr＋1＝C·(2x)7－r·＝27－rCar·，令2r－7＝3，则r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1.
答案：C
4．二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)
A．180 B．90
C．45 D．360
解析：依题意，n＝10.则的通项公式Tr＋1＝C()10－r＝2rCx5－r令5－r＝0，得r＝2.
∴展开式中的常数项T3＝22C＝180.
答案：A
5．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)
A．63 B．64
C．31 D．32
解析：逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，
所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.
答案：A
6．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)
A．45 B．60
C．120 D．210
解析：在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C.
所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)
＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.
答案：C
二、填空题
7．(2015·天津卷)在的展开式中，x2的系数为________．
解析：设通项为
Tr＋1＝Cx6－r
＝Cx6－2r.
令6－2r＝2得r＝2，
∴x2的系数为C＝.
答案：
8.的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．
解析：由条件第五项和第六项二项式系数最大，得n＝9.
∴展开式的第四项为T4＝C·()6·＝.
答案：
9．(2015·课标全国Ⅱ卷)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．
解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.
答案：3
三、解答题
10．已知二项式(＋)n的展开式中各项的系数和为256.
(1)求n；
(2)求展开式中的常数项．
解：(1)由题意得C＋C＋C＋…＋C＝256，
∴2n＝256，解得n＝8.
(2)该二项展开式中的第r＋1项为
Tr＋1＝C()8－r·＝C·x，
令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.
11．若(2＋x＋x2)的展开式中的常数项为a，求(3x2－1)dx.
解：∵＝1－＋－，
∴(2＋x＋x2)的展开式中的常数项为
a＝2×1＋1×(－3)＋1×3＝2.
故(3x2－1)dx＝(x3－x)＝6.
12．已知a为如图所示的程序框图输出的结果，求二项式的展开式中含x2项的系数．

解：由题意可知i＝1，a＝2，i＝2，a＝－1；i＝3，a＝；i＝4，a＝2.则其周期为3，i≥2 017，则输出a，由此可知a＝2.
Tr＋1＝C(a)6－r的展开式为含x2的项，
∴－＝2，∴r＝1，
则x2项的系数C·26－1(－1)1＝－192.