直线与双曲线位置关系典例精析.doc

直线和双曲线的位置关系
一、要点精讲
1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.
2．弦长公式：设直线交双曲线于，，
则，
或．
二、基础自测
1．经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有（ ）
(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条

2．直线y= kx与双曲线不可能（ ）
（A）相交 （B）只有一个交点 （C）相离 （D）有两个公共点
3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是
(A) (B) (C) (D)
4．若一直线平行于双曲线的一条渐近线，则与双曲线的公共点个数为 ．
解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切
5．经过双曲线的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是 ．

6．直线在双曲线上截得的弦长为4，且的斜率为2，求直线的方程．

三、典例精析
题型一：直线与双曲线的位置关系
1. 如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围．有两个公共点呢？

解，所以△=， 所以，，故选D.
2．(2010·安徽)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是 (　　)
A. B. C. D.
解：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0，∴，解得－<k<－1.
3、过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。

题型二：直线与双曲线的相交弦问题
4. 过双曲线的左焦点，作倾斜角为的弦，求⑴；⑵的周长（为双曲线的右焦点）。

5. 已知双曲线方程为，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．

解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k值对判别式△>0进行验证即可．
6. 双曲线方程为.
问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．

7、已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问是否存在直线使平分线段。试证明你的结论。

题型三： 求双曲线方程
8. 已知焦点在x轴上的双曲线上一点，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线被双曲线截得的弦长为，求此双曲线的标准方程．

9、设双曲线与直线相交于不同的点A、B.
⑴求双曲线的离心率的取值范围；
⑵设直线与轴的交点为，且，求的值。
解：(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0 ① 由题设条件知，
，解得0<a<且a≠1， 又双曲线的离心率e＝＝，
∵0<a<且a≠1，∴e>且e≠.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)． ∵＝， ∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．∴x1＝x2，
∵x1、x2是方程①的两根，且1－a2≠0， ∴x2＝－，x＝－，
消去x2得，－＝， ∵a>0，∴a＝.
10. 已知双曲线的焦点为，，过且斜率为的直线交双曲线于、两点，若 (其中为原点），，求双曲线方程。

11. 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：（Ⅰ）设，， 由勾股定理可得：
得：，，
由倍角公式，解得,则离心率．
（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立，将，代入，
化简有
将数值代入，有, 解得 故所求的双曲线方程为。
12、已知双曲线－＝1(b>a>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(，)在双曲线上．
(1) 求双曲线的方程；(2) 若直线l与双曲线交于P，Q两点，且.求＋的值．
解： (1)∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，双曲线方程为－＝1，即3x2－y2＝3a2.
∵点M(，)在双曲线上，∴15－3＝3a2.∴a2＝4.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，联立－＝1，得
∴|OP|2＝x2＋y2＝. 则OQ的方程为y＝－x，
同理有|OQ|2＝＝， ∴＋＝＝＝.
13．(2012上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；
(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
解：(1)双曲线C1：，左顶点A，渐近线方程为：y＝±x.
过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为，即y＝x＋1.
解方程组，得. ∴所求三角形的面积为S＝|OA||y|＝.
(2)证明：设直线PQ的方程是y＝x＋b，∵直线PQ与已知圆相切，∴＝1，即b2＝2.
由得x2－2bx－b2－1＝0. 设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则
又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，
∴＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0. 故OP⊥OQ.
(3)证明：当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝，则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx(显然)，
则直线OM的方程为y＝－x. 由得
∴|ON|2＝.同理|OM|2＝. 设O到直线MN的距离为d.
∵(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2， ∴＝＋＝＝3，即d＝.
综上，O到直线MN的距离是定值．

五、能力提升
1．若不论k为何值，直线y=k(x-2)+b与双曲线总有公共点，则b的取值范围是（ ）
(A) (B) (C) (D)
2．过双曲线的右焦点F作直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（ ）
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
3．过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（ ）
(A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或4
4. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
(A) (1，2] (B)（1，2) (C) [2，+∞) (D) (2，+∞)
6．直线与双曲线的右支交于不同两点，则k的取值范围是 ．
7. 已知倾斜角为的直线被双曲线截得的弦长，求直线的方程．

8. 设直线与双曲线于相交于A、B两点，且弦AB中点的横坐标为．
(1)求的值；(2)求双曲线离心率．
9. 已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为、，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得是P到的距离与的等比中项？

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