高数下期中试卷及详细答案.doc

福建师范大学协和学院09－10学年第二学期　
09级　高数Ⅰ　期中试卷
试卷类别：闭卷　　　　　　　考试时间：120分钟
题 号
一
二
三
四
合 计
得 分

一、单项选择题（每小题3分，共18分）
1、设直线方程为均不为零，则直线( ).
（A）过原点 （B）平行轴 （C）垂直轴 （D）平行轴
2、平面为共线的单位向量，则它们的数量积( )．
（A）1 （B）-1 （C） 0 （D）
3、函数在点处连续且偏导数存在是它在该点可微的( ).
（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
4、设函数在点的某邻域内有定义，且，则曲线在点的一个法向量为( ).
（A） （B） （C） （D）
5、的极小值点是（ ）.
（A）（-2，1） （B）（0，1） （C）（0，-3） （D）（-2，-3）
6、设平面区域,
则（ ）.
（A） （B）
（C） （D）0
二、填空题（每题3分，共21分）
1、极限=
2、函数在点处沿东北方向的方向导数为
3、直线 与平面的夹角为 .
4、设，则
5、过点且与直线垂直相交的直线方程为
6、星形线的全长为
7、 交换二次积分的次序得

三、计算题（每小题8分,共56分）
1、计算心形线 所围成的图形的面积
解　，从而

2、求过直线且与平面成角的平面方程
解　设平面束方程：，
　　即，从而
　 又平面的法线向量
　　从而　
所以　
即平面：
又平面的一个法线向量
则平面与平面的夹角的余弦为
即平面满足条件.
所以，求过直线且与平面成角的平面为
（１）　（２）
3、设，其中具有连续的二阶偏导数，求
解　，

4、求椭圆抛物面上平行于平面 的切平面及法线方程.
解　设切点为，取切向量，则
由已知，切平面平行于平面，
从而平行于平面的法线向量
所以　
所以，切点，
切平面方程：，即：
法线方程：，即：
5、求曲面与平面之间的最短距离
解1　设为曲面上任一点，则
目标函数：；约束条件：
将约束条件代入目标函数，化为无条件极值：

　　　将绝对值内配方得，

所以，，当且仅当时取等号
从而，求曲面与平面之间的最短距离
解２　设为曲面上任一点，
则过该点的曲面的一个法向量，
当过该点的切平面与平面平行时，可得最短距离
即：
，从而，所求的点为
则所求的最短距离
6、计算，其中是由面曲线绕轴旋转所得旋转体与平面所围闭区域.
解　曲线绕轴旋转得旋转曲面：

投影法：将投影在面上，
所以　

7、求球面含在圆柱面内部的那部分曲面的表面积。
　解　，其中曲面方程：；
则

　　所以，
四、证明：函数 在（0，0）处可微。(5分)
分析　函数在处可微

　证明　
　　　　同理，
　　　　　　　　证毕.
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