2018年河北省衡水中学高三一模理科数学试题(1).doc

河北省衡水中学2018高三第一次模拟理科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设全集为实数集R，，，则图中阴影部分表示的集合是( )
A． B．
C． D．
2．设是虚数单位，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3．若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是（ ）
A．2011 B．2012 C．4022 D．4023
4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）
①平均数；②标准差；③平均数且标准差；
④平均数且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。
A．①②B．③④C．③④⑤D．④⑤
5. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1相交于点E，则点E为△A1BC1的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
1
6.设满足约束条件若目标函数的最大值是12，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）
A．16B．4 C．8D．2
8．已知函数图像的一部分（如图所示），则与的值分别为（ ）
A． B． C． D．
9. 双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（　　）
A．B．C．D．
10. 已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式
恒成立，则不等式的解集为( )
A. B. 　　　C. 　　D.
11.已知圆的方程，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是(　　)
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1 (x≠0)
12. 设是定义在上的函数，若 ，且对任意，满足
，，则=（ ）
A. B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在区间[－6，6]，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x2在x=xo处的切线的倾角为，则的概率为 。
14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是
15. 在中，是边中点，角，，的对边分别是，，，若，则的形状为 。
16.在轴的正方向上，从左向右依次取点列 ，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列
，使（）都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分12分）
在△中，是角对应的边，向量,，且.
（1）求角；
（2）函数的相邻两个极值的横坐标分别为、，求的单调递减区间.

18.（本小题满分12分）
已知四边形ABCD满足，E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折成，F为的中点.
（1）求四棱锥的体积；
（2）证明：；
（3）求面所成锐二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）
现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
20.（本小题满分12分）
已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)
（1）求的解析式;
（2）设，求证：当时，且，恒成立；
（3）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
21. （本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲
已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q
（1）求证：
（2）若AQ=2AP，AB=,BP=2，求QD.

22．(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为 （a＞b＞0，为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M 对应的参数= ，与曲线C2交于点D
（1）求曲线C1，C2的方程；
（2）A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求 的值。
23．(本小题满分l0分) 选修4—5：不等式选讲
已知关于x的不等式（其中）．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围
数学（理科）答案
一、选择题 （A）卷CACDD DBABC CC
（B）CCADD BDACB CC
二、填空题
13、 14、 15、等边三角形 16. 2005
三、解答题
17、解:（1）因为，所以，
故,. ---------5分
（2）
=
=
= ----------8分
因为相邻两个极值的横坐标分别为、，所以的最小正周期为,
所以 ---------10分
由
所以的单调递减区间为. ---------12分
18、解:（1）取AE的中点M，连结B1M，因为BA=AD=DC=BC=a，△ABE为等边三角形，则B1M=，又因为面B1AE⊥面AECD，所以B1M⊥面AECD，
所以 ---------4分
（2）连结ED交AC于O，连结OF，因为AECD为菱形，OE=OD所以FO∥B1E，
所以。---------7分
(3)连结MD，则∠AMD=，分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴建系，则,
,,,所以1，，,,设面ECB1的法向量为，，

令x=1, ，同理面ADB1的法向量为
， 所以，
故面所成锐二面角的余弦值为.--------12分
19.解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则
（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 3分
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，
由于与互斥，故

所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. 7分
20.解：（1）设，则，所以又因为是定义在上的奇函数，所以
故函数的解析式为… 2分
（2）证明：当且时，
，设
因为，；当时，，此时单调递增，所以
又因为，所以当时，，此时单调递减，所以
所以当时，即 …………………………6分
（3）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，
则
（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，
，不满足最小值是３
（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，
，也不满足最小值是３
（ⅲ）当，由于，则，故函数 是上的增函数．所以，解得（舍去）
（ⅳ）当时，则当时，，此时函数是减函数；当时，，所以，解得
综上可知，存在实数，使得当时，有最小值３ …………12分
21.（Ⅰ）因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC, 又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB,
因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA,所以△ACB∽△CQA,所以,
所以 ………5分
（Ⅱ）因为AB∥CD，AQ=2AP，所以,由AB=,BP=2得,PC=6
为圆O的切线
又因为为圆O的切线 ………10分
22.解：（1）将M及对应的参数φ= ，；代入得，
所以，所以C1的方程为，
设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ（或（x-R）2+y2=R2），将点D代入得：
∴R=1 ∴圆C2的方程为：ρ=2cosθ（或（x-1）2+y2=1）--------5分
（2）曲线C1的极坐标方程为：，将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）代入得：，
即的值为。 --------10分
23.解：（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|-|x-1|≤2，当x＜−时，不等式为-x-2≤2， 解 得−4≤x＜−；当−≤x≤1时，不等式为 3x≤2，解得−≤x≤ ；当x＞1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．
综上，不等式的解集为{x|−4≤x≤} --------5分
（Ⅱ）设f（x）=|2x+1|-|x-1|=
故f（x）的最小值为−，解得a≥，
即a的取值范围是。 --------10分

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