高等数学基础作业答案.doc

高等数学基础第一次作业点评1

责任教师：许院年

第1章 函数
第2章 极限与连续
（一）单项选择题
⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
点评：从函数的两要素可知：两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则也相同。而与自变量或因变量所用的字母无关。
⒉设函数的定义域为，则函数的图形关于（ C ）对称．
A. 坐标原点 B. 轴
C. 轴 D.
点评：可先用奇偶函数的定义来判断它是什么函数，若是奇函数就关于坐标原点对称，若是偶函数就关于Y轴对称。
⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．
A. B.
C. D.
点评：可直接用奇偶函数的定义来判断它是什么函数。若，则函数为偶函数；若，则函数为奇函数。
⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）．
A. B.
C. D.
点评：基本初等函数是指：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数。
⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．
A. B.
C. D.
点评：只有无穷小量乘以有界变量才为无穷小量，如C，没有无穷大量乘以有界变量为无穷小量。
⒍当时，变量（ C ）是无穷小量．
A. B.
C. D.
点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量
⒎若函数在点满足（ A ），则在点连续。
A. B. 在点的某个邻域内有定义
C. D.
点评：直接用函数在某点连续的定义判断。即函数在某点连续，则在该点的极限值等于函数值。
（二）填空题
⒈函数的定义域是 ．
点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。
⒉已知函数，则 ．
点评：正确理解函数对应关系f的含义。
⒊　 　　．
点评：两个重要极限之一稍加变形。
⒋若函数，在处连续，则　　　．
点评：用连续函数在某点连续的定义求解。
⒌函数的间断点是　 　．
点评：因为函数在该点的函数值不等于极限值。
⒍若，则当时，称为 ．无穷小量

（三）计算题
求极限常用的方法有：
⑴利用极限的四则运算；
⑵利用两个重要极限；
⑶利用无穷小量的性质；
⑷利用连续函数的性质。
⒈设函数

求：．
解：

点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。即正确选择某段函数。
⒉求函数的定义域．
解：欲使函数有意义，必使，
即： 亦即：
解得函数的定义域是：
点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。
⒊在半径为的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．
点评：建立函数关系(即数学表达式)的一般步骤是：
⑴分析问题中的各个量，哪些是常量，哪些是变量，从而确定自变量和因变量，并设出表示它们的字母；
⑵建立适当的坐标系(若需要的话)；
⑶由已知条件或题意找出变量之间的关系，建立关系式；
⑷确定自变量的取值范围。
解：设梯形的高CM=x，则
梯形的上底，下底
则梯形的面积

⒋求．
解：原式=
点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。
⒌求．
解：原式=
点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。
⒍求．
解：
点评：同上。
⒎求．
解：原式=
点评：同上。
⒏求．
解：原式==
==
===
⒐求．
解：原式=
⒑设函数

讨论的连续性，并写出其连续区间．
点评：讨论分段函数在分段点处的连续性，只要研究函数在该点处的左右极限情况，然后再由函数连续性的定义判断。
解：先看函数在分段点处的情况，
∵

∴，故不存在。
∴为函数的间断点。
再看函数在分段点处的情况，
∵

∴，故。
又因为
所以
故是函数的连续点。
函数在连续区间是：。

高等数学基础第二次作业

第3章 导数与微分
（一）单项选择题
⒈设且极限存在，则（B）．
A. B.
C. D.
⒉设在可导，则（D）．
A. B.
C. D.
⒊设，则（A）．
A. B.
C. D.
⒋设，则（D）．
A. B.
C. D.
⒌下列结论中正确的是（ C ）．
A. 若在点有极限，则在点可导．
B. 若在点连续，则在点可导．
C. 若在点可导，则在点有极限．
D. 若在点有极限，则在点连续．
（二）填空题
⒈设函数，则　　0　 　　．
⒉设，则
⒊曲线在处的切线斜率是 ．
⒋曲线在处的切线方程是．
⒌设，则 ．
⒍设，则 ．
（三）计算题
⒈求下列函数的导数：
点评：这组求函数的导数计算题主要是采用导数的四则运算法则和基本求导公式来解决。
⑴
解：
=
⑵
解：
=
⑶
解：
⑷
解：
=
⑸
解：
=
⑹
解：
=
⑺
解：
=
⑻
解：
=
⒉求下列函数的导数：
这组求函数的导数计算题主要是采用复合函数的求导法则，可用设中间变量的方法，当中间变量不多时，也可直接求。设中间变量的目的尽可能使函数成为基本初等函数或基本初等函数的四则运算。
⑴
解：
⑵
解：
⑶
解：因为
所以
⑷
解：因为
所以
⑸
解：
⑹
解：
=
⑺
解：
=
=
⑻
解：设
=
注：因只有一次复合，也可直接计算。
⑼
解：设
=
注：因只有一次复合，也可直接计算。
⒊在下列方程中，是由方程确定的函数，求：
点评：这组求函数的导数计算题采用的是隐函数的求导法。有两种方法，第一种是在方程两端对自变量x求导，将Y视为中间变量，利用复合函数求导法则。第二种方法是对方程两端同时求微分，利用微分运算法则和一阶微分形式不变性，求得微分后求导数。
解：将方程两边对x求导：
=
移项
所以：
⑵
解：将方程两边对x求导：

移项
所以：
⑶
解：

⑷
解：因为：
解得
⑸
解：将方程两边对x求导：

整理得：
⑹
解：将方程两边对x求导：

整理得：
⑺
解：将方程两边对x求导：

整理得：
⑻
解：将方程两边对x求导：

整理得：

⒋求下列函数的微分：
⑴
解：因为
=
所以
⑵
解：因为
=
所以 dy=dx
⑶
解：设
则
=
=
所以 dy=dx
⑷
解：设:
则
=
=
所以 dy=dx
⒌求下列函数的二阶导数：
点评：这组是求高阶导数的计算题。高阶就是导函数的导数，除了对象以外，定义思想和求导方法都与以往类似。
⑴
解：

⑵
解：

=
⑶
解：

⑷
解：

（四）证明题
设是可导的奇函数，试证是偶函数．
证明：因为是奇函数，所以
又因为可导，函数为复合函数。
对两端对x求导，得：

即
所以：
根据偶函数的定义，是偶函数。

高等数学基础第三次作业

第4章 导数的应用
（一）单项选择题
⒈若函数满足条件（D），则存在，使得．
A. 在内连续
B. 在内可导
C. 在内连续且可导’
D. 在内连续，在内可导
⒉函数的单调增加区间是（D）．
A. B.
C. D.
⒊函数在区间内满足（A）．
A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降
C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
⒋函数满足的点，一定是的（C）．
A. 间断点 B. 极值点
C. 驻点 D. 拐点
⒌设在内有连续的二阶导数，，若满足（ C ），则在取到极小值．
A. B.
C. D.
⒍设在内有连续的二阶导数，且，则在此区间内是（ A ）．
A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的
C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的
⒎设函数在点处取得极大值，则（ 1 ）．
A. B.
C. D.

（二）填空题
⒈设在内可导，，且当时，当时，则是的 　极小值 点．
⒉若函数在点可导，且是的极值点，则 0 ．
⒊函数的单调减少区间是．
⒋函数的单调增加区间是．
⒌若函数在内恒有，则在上的最大值是f(a) ．
⒍函数的拐点是 (0,2) ．
⒎若点是函数的拐点，则 1 ，

（三）计算题
⒈求函数的单调区间和极值．
解：

得驻点：x= -1 x=5 x=
x
－1

5

Y’
0
+
0
－
0
+
y
左端点

极大

极小

∴在内单调上升，在内单调下降。
极大值是 极小值是
⒉求函数在区间内的极值点，并求最大值和最小值．
解： 得驻点x=1
又当x=0 x=2时 无意义，但原函数连续
∴f(0)=0 f(1)= 1 f(2)=0 f(3)=
x
0

1

2

3
Y’
无意义
+
0
－
无意义
+
+
y
0

极大值
f(1)=1

极小值
f(2)=0

∴最小值f(0)=f(2)=0 最大值是f(3)= 极大值f(1)=1 极小值f(2)=0

⒊试确定函数中的，使函数图形过点和点，且是驻点，是拐点．
解：∵的图形过点和点，且是驻点，是拐点．
∴ a=1
b= -3
c= -24
d=16

⒋求曲线上的点，使其到点的距离最短．

解：设曲线上的点，即到A的距离记为d
则
（唯一）∴当 时
即点到（2，0）的距离最短。
⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
解：设圆柱体的底面半径为,高为，则

时，圆柱体的体积最大。
⒍一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？
解：设圆柱体的底面半径为,高为， 则

当 时，圆柱体的表面积最小。

⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设长方体底面正方形的边长为x米，长方体的高为h米，
则 容积 62.5=
表面积：
x=5 (米)
∴时用料最省。
⒏从面积为的所有矩形中，求其周长最小者．
解：设矩形的边长为x米，宽为y米，
周长
（唯一驻点）
则当长为，宽为时，其周长最小。 x

⒐从周长为的所有矩形中，求其面积最大者．
解：设矩形的边长为x米，宽为y米，
则 面积
（唯一驻点）
则当长为，宽为时，其面积最大。 x

（四）证明题
⒈当时，证明不等式．
证明 利用函数的单调性证明
设
∴在内单调增加，当时，有
即
∴成立

⒉当时，证明不等式．
证明 利用函数的单调性证明
设
∴在内单调增加，当时，有
即
∴成立

高等数学基础第四次作业

第5章 不定积分
第6章 定积分及其应用
（一）单项选择题
⒈若的一个原函数是，则（D）．
A. B.
C. D.
⒉下列等式成立的是（D）．
A. B.
C. D.
⒊若，则（B）．
A. B.
C. D.
⒋（B）．
A. B.
C. D.
⒌若，则（B）．
A. B.
C. D.
⒍下列无穷限积分收敛的是（D）．
A. B.
C. D.

（二）填空题
⒈函数的不定积分是 　　 ．
⒉若函数与是同一函数的原函数，则与之间有关系式 ．=+c
⒊　　　 　　．
⒋　　　 　　．tanx+c
⒌若，则　　 　　　．
⒍ ．3
⒎若无穷积分收敛，则 　　．>1

（三）计算题
⒈
分析：用凑微分法将积分变量凑成，然后用积分基本公式。
解：原式=
⒉
分析：用凑微分法将积分变量凑成，然后用积分基本公式。
解：原式=
⒊
分析：用凑微分法将积分变量凑成，然后用积分基本公式。
解：原式=
⒋
分析：可用分部积分法求解。
解：原式=
=
⒌
分析：用凑微分法将积分变量凑成，然后用积分基本公式和莱布尼兹公式求出。
解：原式=
==
⒍
解：原式=
=
=
⒎
解：原式=
=
⒏
解：原式=
（四）证明题
⒈证明：若在上可积并为奇函数，则．
证明：因为 是奇函数，所以

令 则 x -a 0
t a 0
于是：
故：
⒉证明：若在上可积并为偶函数，则．
证明：因为在上是偶函数
所以
令 则 x -a 0
t a 0
于是：
故：
⒊证明：
证明：
令 则 x -a 0
t a 0

于是：
=