方程法与韦达定理连用.doc

方程法与韦达定理联用问题
2006山东高考理科21题：
双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。
（1)求双曲线C的方程；
（2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时,求点的坐标。
解：（Ⅰ）双曲线的方程为
（Ⅱ）解法二（方程法+韦达定理）:
由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程：，则

在双曲线上，
同理有：
若则直线过顶点，不合题意.
是二次方程的两根。,
此时.所求的坐标为.
让青春吹动了你的长发让它牵引你的梦 不知不觉这城市的历史已记取了你的笑容
红红心中蓝蓝的天是个生命的开始 春雨不眠隔夜的你曾空独眠的日子
让青春娇艳的花朵绽开了深藏的红颜 飞去飞来的满天的飞絮是幻想你的笑脸
秋来春去红尘中谁在宿命里安排 冰雪不语寒夜的你那难隐藏的光采
看我看一眼吧 莫让红颜守空枕
青春无悔不死 永远的爱人
让流浪的足迹在荒漠里写下永久的回忆
飘去飘来的笔迹是深藏的激情你的心语
前尘红世轮回中谁在声音里徘徊
痴情笑我凡俗的人世终难解的关怀

下面对比欣赏“爱人同志”。
“爱人同志”
每一次闭上了眼就想到了你，你象一句美丽的口号挥不去，在这批判斗争的世界里，每个人都要学习保护自己，让我相信你的忠贞，爱人同志，也许我不是爱情的好样板，怎么分也分不清左右还向前看，是个未知力量的牵引,使你我迷失或者是找到自己,让我拥抱你的身躯,爱人同志,哦——边个两手牵，悲欢离合总有不变的结局，啦 哦——两手牵不变的脸，怎么都不能明白我不后悔，即使付出我青春的血汗与眼泪，如果命运不再原谅我们，为了我灵魂进入了你的身体，让我向你说声抱歉，爱人同志.
已知抛物线，椭圆。直线与椭圆相交于两不同点、与抛物线相交于两不同点.若。探究:直线是否恒过定点？若存在求出此定点坐标；若不存在说明理由。

阿根廷青年人 2011.5.24周二晚
解析：(法二：方程法，方程相乘）
设，由可得:

法一：韦达定理略
追梦人1
已知椭圆的左右两焦点分别为,（其中为坐标原点）。如果离心率， ，过的直线与椭圆交于两点，为椭圆上一点且满足：，求直线的方程.
解： ，解得，椭圆的方程为
设,由及、在椭圆上可得：

若的斜率不存在：则方程为，不合题意；
若直线的斜率存在：则直线方程为椭圆 联立得：

灵感来自“2011年青岛一模理科22题"此题充分体现了方程思想，同时将方程思想的两种基本方式（韦达定理、方程直接运算)交汇。以此题怀念“追梦人”凤飞飞等。

追梦人2
已知椭圆的左右两焦点分别为，（其中为坐标原点）.如果离心率, ，直线与椭圆交于两点，为椭圆上一点且满足：。
（1）证明：（此问与2011年山东理科22题惊人相同！）
（2)证明：；（灵感来自将2012年山东理科22题条件与结论交换！）
解: ,解得，椭圆的方程为
设，由及、在椭圆上可得:

若的斜率不存在：
此时
若直线的斜率存在：则直线方程为椭圆 联立得：

（1）。命题得证.
（2)若的斜率不存在时，
若直线的斜率存在：果然成立！
感慨:也许2012年山东卷理科22题像此题一样命题，似乎更有利于考察学生的知识、方法、能力！
追梦人
已知椭圆的左右两焦点分别为，（其中为坐标原点）.直线与椭圆交于两点，为椭圆上一点且满足：。
又会有多少“梦”可以追呢？
命题探究：
数据收集：
椭圆： ，,由及、在椭圆上可得：

若的斜率不存在：
此时
若直线的斜率存在：则直线方程为椭圆 联立得：

第一种命题思路：是否可以展开呢？

命题方式1：
已知椭圆的左右两焦点分别为，(其中为坐标原点）。直线与椭圆交于两点,为椭圆上一点且满足：.
（类似于2011山东理科22题(1）问）
解析：
椭圆： ，，由及、在椭圆上可得:

若的斜率不存在:
此时
若直线的斜率存在：则直线方程为椭圆 联立得:

命题得证，无运算技巧（但是，直接运用方程加、减、代入运算的方式师生都比较薄弱，2011青岛一模已体现）。
命题方式：2:
已知椭圆的左右两焦点分别为，（其中为坐标原点)。直线与椭圆交于两点，为椭圆上一点且满足：。
（类似于2011山东理科22题条件)
解析：椭圆： ,，由及、在上可得：

若的斜率不存在时，
此时
若直线的斜率存在：则直线方程为椭圆 联立得：

果然成立！

命题方式3：
已知椭圆的左右两焦点分别为，（其中为坐标原点）。直线与椭圆交于两点，
（类似于2011山东理科22题条件）
解析：
若的斜率不存在时，
此时
若直线的斜率存在:则直线方程为椭圆 联立得:

果然成立！
点评：此题运算量较命题方式1、2都要大，因为
命题方式4:
已知椭圆的左右两焦点分别为,（其中为坐标原点）。直线与椭圆交于两点，

(这就是2011山东理科22题（1）问）
解析:
当直线的斜率不存在时,两点关于轴对称，则，
由在椭圆上，则,而，则
于是，。
当直线的斜率存在,设直线为，代入可得
，即，，即

，
则，满足.。.注意:此处的前身是！
大家想想：？！
，
，
综上可知,。
此题尽管思路简单，但是运算量最大，在极为复杂的环境里倒用完全平方公式难度与技巧性太大!
对比总结4中命题方式:命题方式1突出了两种方程思想的运用(韦达定理、方程直接运算)及运算能力,较全面，不过分考运算,无运算技巧，有利于数学思想方法的考察，同时将向量载体合理交汇！；命题方式2与命题方式1类似；命题方式3，虽运算量大但是无特殊技巧；命题方式4运算量过大，思路简单，有技巧！
开放命题1： 是否可以展开呢？
开放命题2：是否可以展开呢？
..。。。。有多少梦可以追？