辽宁省朝阳市朝阳县柳城高中2022-2023学年高一上数学期末质量检测试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．下列各对角中，终边相同的是（ ）
A.和 B.和
C.和 D.和
2．已知函数的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系中的图象是　　

A. B.
C. D.
3．已知，，，是球的球面上的四个点，平面，，，则该球的半径为（ ）
A. B.
C. D.
4．如图，在正方体中，与平面所成角的余弦值是

A. B.
C. D.
5．已知，若，则x的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6．如图，网格纸上小正方形的边长均为，粗线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的体积为，则（）

A. B.
C. D.
7．已知，则、、的大小关系为（）
A. B.
C. D.
8．函数的图像大致为
A. B.
C. D.
9．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了()（）
A.10% B.30%
C.60% D.90%
10．下列函数中，满足对定义域内任意实数，恒有的函数的个数为（ ）
① ② ③ ④
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
11．若，则值为（ ）
A. B.
C. D.7
12．幂函数图象经过点，则的值为（）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．不论为何实数，直线恒过定点__________.
14．已知集合，，则集合中元素的个数为__________
15．棱长为2个单位长度的正方体中，以为坐标原点，以，，分别为，，轴，则与的交点的坐标为__________
16．已知函数在区间上恰有个最大值，则的取值范围是_____
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
18．如图所示，设矩形的周长为cm，把沿折叠，折过去后交于点，设cm，cm

（1）建立变量与之间的函数关系式，并写出函数的定义域;
（2）求的最大面积以及此时的的值
19．已知函数，（，且）.
（1）求的定义域，并判断函数的奇偶性；
（2）对于，恒成立，求实数的取值范围.
20．已知（其中a为常数，且）是偶函数.
（1）求实数m的值；
（2）证明方程有且仅有一个实数根，若这个唯一的实数根为，试比较与的大小.
21．已知函数，
（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值
22．用定义法证明函数在上单调递增

参考答案

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、C
【解析】利用终边相同的角的定义，即可得出结论
【详解】若终边相同，则两角差，
A.，故A选项错误；
B.，故B选项错误；
C.，故C选项正确；
D.，故D选项错误.
故选：C.
【点睛】本题考查终边相同的角的概念，属于基础题.
2、C
【解析】根据幂函数的图象和性质，可得a∈（0，1），再由指数函数和对数函数的图象和性质，可得答案
【详解】由已知中函数y=xa（a∈R）的图象可知：a∈（0，1），
故函数y=a﹣x为增函数与y=logax为减函数，
故选C
【点睛】本题考查知识点是幂函数的图象和性质，指数函数和对数函数的图象和性质，难度不大，属于基础题
3、D
【解析】由题意，补全图形，得到一个长方体，则PD即为球O的直径，根据条件，求出PD，即可得答案.
【详解】依题意，补全图形，得到一个长方体，则三棱锥P-ABC的外接球即为此长方体的外接球，如图所示：

所以PD即为球O的直径，
因为平面，，，
所以AD=BC=3,
所以，
所以半径，
故选：D
【点睛】本题考查三棱锥外接球问题，对于有两两垂直的三条棱的三棱锥，可将其补形为长方体，即长方体的体对角线为外接球的直径，可简化计算，方便理解，属基础题.
4、D
【解析】连接，设正方体棱长为1.
∵平面，∴∠为与平面所成角.
∴
故选D
5、C
【解析】首先判断函数的单调性和定义域，再解抽象不等式.
【详解】函数的定义域需满足，解得：，
并且在区间上，函数单调递增，且，
所以，
即，解得：或.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的单调性和定义域，尤其是容易忽略函数的定义域.
6、B
【解析】作出几何体实物图，并将该几何体的体积用表示，结合题中条件可求出的值.
【详解】由三视图可知，该几何体由一个正方体截去四分之一而得，其体积为，
即，解得.

故选：B.
【点睛】本题考查利用三视图计算空间几何体的体积，解题的关键就是作出几何体的实物图，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.
7、A
【解析】借助中间量比较大小即可.
【详解】解：因为，
所以.
故选：A
8、A
【解析】详解】由得，
故函数的定义域为
又，
所以函数为奇函数，排除B
又当时，；当时，．排除C，D．选A
9、B
【解析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；
【详解】解：当时，，当时，，
∴，∴ 约增加了30%.
故选：B
10、A
【解析】根据因为函数满足对定义域内任意实数，恒有，可得函数的图象是“下凸”，然后由函数图象判断.
【详解】因为函数满足对定义域内任意实数，恒有，
所以函数的图象是“下凸”，
分别作出函数① ② ③ ④的图象，

由图象知，满足条件的函数有③一个，
故选：A
11、B
【解析】根据两角和的正切公式，结合同角的三角函数关系式中商关系进行求解即可.
【详解】由，
所以，
故选：B
12、D
【解析】设，由点幂函数上求出参数n，即可得函数解析式，进而求.
【详解】设，又在图象上，则，可得，
所以，则.
故选：D

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】直线整理可得.
令，解得，
即直线恒过定点
点睛：直线恒过定点问题，一般就是将参数提出来，使得其系数和其他项均为零，即可得定点.
14、2
【解析】依题意，故，即元素个数为个.
15、
【解析】
设

即的坐标为
16、
【解析】将代入函数解析式，求出的取值范围，根据正弦取8次最大值，求出的取值范围
【详解】因为，，所以，又函数在区间上恰有个最大值，所以，得
【点睛】三角函数最值问题要注意整体代换思想的体现，由的取值范围推断的取值范围

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、
【解析】函数有两个零点，
和的图象有两个交点，
画出和的图象，如图，要有两个交点，那么

18、（1），定义域
（2），的最大面积为
【解析】（1）由题意可得，再由可求出的取值范围，
（2）设，在直角三角形ADP中利用勾股定理可得，从而可求得，化简后利用基本不等式可求得结果
【小问1详解】
因为，，矩形ABCD的周长为20cm，
所以，因为，所以，
解得．所以，定义域为
【小问2详解】
因为ABCD是矩形，所以有，
因为是沿折起所得，
所以有，，因此有，
，所以≌，因此，
设．而ABCD是矩形，所以，
因此
在直角三角形ADP中，有，
所以，
化简得，
当且仅当时取等号，即时，的最大面积为
19、（1）定义域为；奇函数;（2）时，；时，.
【解析】（1）由对数的真数大于0，解不等式可得定义域；运用奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）对a讨论，，，结合对数函数的单调性，以及参数分离法，二次函数的最值求法，可得m的范围
【详解】（1）由题意，函数，由，
可得或，即定义域为；
由，
即有，可得为奇函数；
2对于，恒成立，
可得当时，，由可得的最小值，
由，可得时，y取得最小值8，则，
当时，，由可得的最大值，
由，可得时，y取得最大值，则，
综上可得，时，；时，
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及对数的运算性质和二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，以及对数的运算性质和二次函数的图象与性质的合理应用是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.
20、（1）
（2）
【解析】（1）由偶函数的定义得对任意的实数恒成立，进而整理得恒成立，故；
（2）设，进而得唯一实数根，使得，即，故，再结合得得答案.
【小问1详解】
解：因为是偶函数，
所以对于任意的实数，有，
所以对任意的实数恒成立，即恒成立，
所以，即，
【小问2详解】
解：设，
因为当时，，
所以在区间上无实数根，
当时，因为，，
所以，使得，
又在上单调递减，
所以存在唯一实数根；
因为，所以，
又，所以，
所以.
所以
21、 (Ⅰ)最小正周期是，单调递增区间是.
(Ⅱ)最大值为，最小值为
【解析】详解】试题分析：
(Ⅰ)将函数解析式化为，可得最小正周期为；将代入正弦函数的增区间可得函数的单调递增区间是．(Ⅱ) 由可得，故，从而可得函数在区间上的最大值为，最小值为
试题解析：
（Ⅰ）

，
所以函数的最小正周期是，
由，
得，
所以的单调递增区间是.
（Ⅱ）当时，
，
所以，
所以，
所以在区间上的最大值为，最小值为
点睛：解决三角函数综合题
（1）将f(x)化为的形式；
（2）构造；
（3）逆用和（差）角公式得到（其中φ为辅助角）；
（4）利用，将看做一个整体，并结合函数的有
关知识研究三角函数的性质
22、详见解析
【解析】根据题意，将函数的解析式变形有，设，由作差法分析可得结论
详解】证明：，
设，
则，
又由，
则，，，
则，
则函数上单调递增
【点睛】本题考查函数单调性的证明，注意定义法证明函数单调性的步骤，属于基础题．