辽宁省大连市西岗区2022-2023学年数学九上期末质量检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
3．将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（　　）

A．105° B．115° C．125° D．135°
5．正五边形的每个内角度数为（ ）
A．36° B．72° C．108° D．120°
6．已知二次函数y=-x2+2mx+2,当x<-2时，y的值随x的增大而增大，则实数m（ ）
A．m=-2 B．m>-2 C．m≥-2 D．m≤-2
7．方程x2＝2x的解是（　　）
A．2 B．0 C．2或0 D．﹣2或0
8．抛物线与y轴的交点为（ ）
A． B． C． D．
9．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（　　）
A．y=﹣（x+1）2+1 B．y=﹣（x﹣1）2+3 C．y=﹣（x+1）2+5 D．y=﹣（x+3）2+3
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在边AC、BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠,点C恰好落在AB边上的点F处，若AC＝2BC，则的值为____.

12．在一个布袋中装有四个完全相同的小球，它们分别写有“美”、“丽”、“罗”、“山”的文字．先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球，求两次摸出的球上是含有“美”“丽”二字的概率为_____．
13．二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第_____象限．

14．若直线与函数的图象有唯一公共点，则的值为__ ;有四个公共点时，的取值范围是_
15．方程的根是_____.
16．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为_____cm2（结果保留π）．
17．若点与点关于原点对称，则______．
18．已知二次函数的图象经过点，的横坐标分别为，点的位置随的变化而变化，若运动的路线与轴分别相交于点,且（为常数），则线段的长度为_________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
销售单价（元/件）
…
30
40
50
60
…
每天销售量（件）
…
500
400
300
200
…
（1）研究发现，每天销售量与单价满足一次函数关系，求出与的关系式；
（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE最大．
①求点P的坐标和PE的最大值．
②在直线PD上是否存在点M，使点M在以AB为直径的圆上；若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（6分）如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE，CD=，∠ACB=30°．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）分别求AB，OE的长．

22．（8分）如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且，DG∥AB，求证：DF＝BG．

23．（8分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．
（1）求k和b的值；
（2）求△OAB的面积．

24．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（10分）如图，甲分为三等分数字转盘，乙为四等分数字转盘，自由转动转盘．
（1）转动甲转盘，指针指向的数字小于3的概率是　 　；
（2）同时自由转动两个转盘，用列举的方法求两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率．

26．（10分）已知：如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DF∥AC交BA的延长线于点F．

（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）若AB＝3，DF＝5，求△AEC的面积．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】欲求S1+S1，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S1．
【详解】∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，
∴S1+S1=4+4-1×1=2．
故选D．
2、C
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】∵在反比例函数y＝中，k＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y1）在第二象限，
∴y1＞0，y1＞0，
∵函数图象在第二象限内为增函数，﹣3＜﹣1＜0，
∴0＜y1＜y1．
∵3＞0，
∴C（3，y3）点在第四象限，
∴y3＜0，
∴y1，y1，y3的大小关系为y3＜y1＜y1．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
3、B
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的抛物线为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移，属于基础题型，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．
4、D
【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．
【详解】∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF，
又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°，
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是找到对应角
5、C
【解析】根据多边形内角和公式：，得出正五边形的内角和，再根据正五边形的性质：五个角的角度都相等，即可得出每个内角的度数.
【详解】解：
故选：C
【点睛】
本题考查的是多边形的内角和公式以及正五边形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键.
6、C
【解析】根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m值的范围.
【详解】解：抛物线的对称轴为直线
∵,抛物线开口向下，
∴当 时，y的值随x值的增大而增大，
∵当时，y的值随x值的增大而增大，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键.
7、C
【分析】利用因式分解法求解可得．
【详解】解：∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
8、C
【解析】令x=0，则y=3，抛物线与y轴的交点为（0，3）．
【详解】解：令x=0，则y=3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，3），
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数与坐标轴的交点是解题的关键．
9、D
【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．
【详解】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
．
故选D．
【点睛】
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
10、B
【解析】解：∵将抛物线y=﹣（x+1）2+1向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y=﹣（x+1﹣2）2+1=﹣（x﹣1）2+1．故选B．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】由折叠的性质可知，是的中垂线，根据互余角，易证；如图（见解析），分别在中，利用他们的正切函数值即可求解.
【详解】如图，设DE、CF的交点为O
由折叠可知，是的中垂线
，

又

设

.

【点睛】
本题考查了图形折叠的性质、直角三角形中的正切函数，巧妙利用三个角的正切函数值相等是解题关键.
12、
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上是写有“美丽”二字的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）用1、2、3、4别表示美、丽、罗、山，画树形图如下：

由树形图可知，所有等可能的情况有16种，其中“1，2”出现的情况有2种，
∴P（美丽）．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13、一
【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．
【详解】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m，n），且在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0，
则一次函数y＝mx+n不经过第一象限．
故答案为：一．
【点睛】
此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．
14、-3
【分析】根据函数y=|x2-2x-3|与直线y=x+m的图象之间的位置关系即可求出答案．
【详解】解：作出y=|x2-2x-3|的图象，如图所示，
∴y=，
当直线y=x+m与函数y=|x2-2x-3|的图象只有1个交点时，
直线经过点（3，0），将（3，0）代入直线y=x+m，
得m=-3，
联立，
消去y后可得：x2-x+m-3=0，
令△=0，
可得：1-4（m-3）=0，
m=，
即m=时，直线y=x+m与函数y=|x2-2x-3|的图象只有3个交点，
当直线过点（-1，0）时，
此时m=1，直线y=x+m与函数y=|x2-2x-3|的图象只有3个交点，
∴直线y=x+m与函数y=|x2-2x-3|的图象有四个公共点时，m的范围为：，
故答案为：-3，.

【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
15、0和-4.
【分析】根据因式分解即可求解.
【详解】解

∴x1=0,x2=-4,
故填：0和-4.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法.
16、3π
【详解】．
故答案为：．
17、1
【解析】∵点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，
∴m=﹣3，n=2，
则（m+n）2018=（﹣3+2）2018=1，
故答案为1．
18、27
【分析】先求得点M和点N的纵坐标，于是得到点M和点N运动的路线与字母b的函数关系式，则点A的坐标为(0，) ，点B的坐标为(0，) ，于是可得到的长度．
【详解】∵过点M、N，且即，
∴，
∴，
，
∵点A在y轴上，即，
把代入，得：，
∴点A的坐标为(0，) ，
∵点B在y轴上，即，
∴，
把代入，得：，
∴点B的坐标为(0，) ，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，正确理解题意、求得点A和点B的坐标是解题的关键．

三、解答题(共66分)
19、（1）y＝﹣10x+800；（2）单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元
【分析】（1）直接利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润单件利润销售量”可得关于的一元二次方程，解之即可得．
【详解】解：（1）设y＝kx+b，
根据题意可得 ，
解得：，
每天销售量与单价的函数关系为：y＝﹣10x+800，
（2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，
整理，得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60，
∵销售单价最高不能超过45元/件，
∴x＝40，
答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元.
【点睛】
本题主要考查了一次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系．
20、（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①，P② M（，）或（，）
【解析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①根据A（﹣2，6），B（1，0），求得AB的解析式为：y=﹣2x+2，设P（a，﹣a2﹣3a+4），则E（a，﹣2a+2），利用PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣(a+)2+，根据二次函数的图像与性质即求解；
②根据点M在以AB为直径的圆上，得到∠AMB=90°，即AM2+BM2=AB2，求出，，AB2故可列出方程求解.
【详解】解：（1）∵B（1，0）
∴OB=1，
∵OC=2OB=2，
∴BC=3 ,C（﹣2，0）
Rt△ABC中，tan∠ABC=2，
∴=2，
∴AC=6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；
（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），
易得AB的解析式为：y=﹣2x+2，
设P（a，﹣a2﹣3a+4），则E（a，﹣2a+2），
∴PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣a2﹣a+2=﹣(a+)2+
∴当a=时，PE=,此时P(,)
②∵M在直线PD上，且P(,)，

∴
+
AB2=32+62=45，
∵点M在以AB为直径的圆上
此时∠AMB=90°，
∴AM2+BM2=AB2，
∴++=45
解得： ,
∴M（，）或（，）
【点睛】
此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想的应用．
21、（1）证明见解析；（2）AB=2，OE=．
【分析】（1）根据AB是直径即可求得∠ADB=90°，再根据题意可求出OD⊥DE，即得出结论；
（2）根据三角函数的定义，即可求得BC，进而得到AB，再在Rt△CDE中，根据直角三角形的性质，可求得DE，再由勾股定理求出OE即可．
【详解】（1）连接BD，OD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
又∵AB=BC，
∴AD=CD．
∵OA=OB，
∴OD∥BC．
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°．
∵OD∥BC，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

（2）在Rt△CBD中CD，∠ACB=30°，
∴BC2，
∴AB=2，
∴ODAB=1．
在Rt△CDE中，CD，∠ACB=30°，
∴DECD．
在Rt△ODE中，OE．
【点睛】
本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理以及解直角三角形，是一道综合题，难度不大．
22、详见解析
【分析】证明△DFH∽△EBH，证出DF‖BC，可证出四边形BGDF平行四边形，则DF=BG．
【详解】证明：∵DG∥AB，
∴，
∵ ，
∴，
∵∠EHB＝∠DHF，
∴△DFH∽△EBH，
∴∠E＝∠FDH，
∴DF//BC，
∴四边形BGDF平行四边形，
∴DF＝BG．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
23、（1）k=10，b=3；（2）.
【解析】试题分析：(1)、将A点坐标代入反比例函数解析式和一次函数解析式分别求出k和b的值；(2)、首先根据一次函数求出点B的坐标，然后计算面积.
试题解析：(1)、把x=2，y=5代入y=，得k==2×5=10
把x=2，y=5代入y=x+b，得b=3
(2)、∵y=x+3 ∴当y=0时，x=-3， ∴OB=3 ∴S=×3×5=7.5
考点：一次函数与反比例函数的综合问题.
24、 (1)y＝x2+6x+5；(2)①S△PBC的最大值为；②存在，点P的坐标为P(﹣，﹣)或(0，5)．
【解析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求出二次函数解析式；
(2)①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+1，设点G(t，t+1)，则点P(t，t2+6t+5)，利用三角形面积公式求出最大值即可；
②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，求出线段BC的中点坐标为(﹣，﹣)，过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，求出 直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，、联立③④并解得：x＝﹣2，即点H(﹣2，﹣2)，同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，联立⑤和y＝x2+6x+5并解得：x＝﹣，即可求出P点；当点P(P′)在直线BC上方时，根据∠PBC＝∠BCD求出BP′∥CD，求出直线BP′的表达式为：y＝2x+5，联立y＝x2+6x+5和y＝2x+5，求出x，即可求出P.
【详解】解：(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，
令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，
即点C(﹣1，0)；
(2)①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝x+1…②，
设点G(t，t+1)，则点P(t，t2+6t+5)，
S△PBC＝PG(xC﹣xB)＝(t+1﹣t2﹣6t﹣5)＝﹣t2﹣t﹣6，
∵-＜0，
∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，

当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为(﹣，﹣)，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点(﹣，﹣)代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，
同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，
联立③④并解得：x＝﹣2，即点H(﹣2，﹣2)，
同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，
联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4(舍去﹣4)，
故点P(﹣，﹣)；
当点P(P′)在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4(舍去﹣4)，
故点P(0，5)；
故点P的坐标为P(﹣，﹣)或(0，5)．
【点睛】
本题考查的是二次函数，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.
25、（1）；（2）
【解析】（1）根据甲盘中的数字，可判断求出概率；
（2）列出符合条件的所有可能，然后确定符合条件的可能，求出概率即可.
【详解】（1）甲转盘共有1，2，3三个数字，其中小于3的有1，2，
∴P（转动甲转盘，指针指向的数字小于3）=，
故答案为．
（2）树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能情况，其中两个转盘指针指向的数字为奇数的有4种情况，
所以两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率P==．
26、（1）见解析；（2）1
【分析】(1)根据矩形ABCD的性质得出DC∥BF,又由DF∥AC即可得出四边形ACDF是平行四边形;
(2)根据(1)中的证明可得AC=DF,AE=ED,利用勾股定理解出BC,从而得出AE,再代入三角形面积公式求出即可．
【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥BF，
∵DF∥AC，
∴四边形ACDF是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝1，∠B＝90°，
由(1)得：四边形ACDF是平行四边形，
∴AC＝DF＝5，AE＝ED＝AD，
∴BC＝AD＝，
∴AE＝×4＝2，
∴S△AEC＝AE•CD＝×2×1＝1．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、三角形面积的计算,关键在于熟练掌握基础知识并灵活运用．