贵州省遵义市遵义航天高级中学2022年数学高一上期末统考模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（）
A.2 B.4
C.6 D.8
2．甲、乙两位同学解答一道题：“已知，，求的值.”
甲同学解答过程如下：
解：由，得.
因为，
所以.
所以
.
乙同学解答过程如下：
解：因为，
所以

.
则在上述两种解答过程中（ ）
A.甲同学解答正确，乙同学解答不正确 B.乙同学解答正确，甲同学解答不正确
C.甲、乙两同学解答都正确 D.甲、乙两同学解答都不正确
3．如图，正方形中,为的中点,若,则的值为(　　)

A. B.
C. D.
4．设，，则的值为（）
A. B.
C.1 D.e
5．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸单位：，可得这个几何体得体积是　　

A. B.
C.2 D.4
6．幂函数的图象经过点，则（）
A.是偶函数，且在上单调递增
B.是偶函数，且在上单调递减
C.是奇函数，且在上单调递减
D.既不是奇函数，也不是偶函数，在上单调递增
7．下列命题正确的是
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
8．设，且，则等于（）
A.100 B.
C. D.
9．已知集合，集合，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
10．用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则的值为___________.
12．已知函数的图象上关于轴对称的点恰有9对,则实数的取值范围_________.
13．已知偶函数是区间上单调递增，则满足的取值集合是__________
14．如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点.现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.记，则_______.

15．函数的最大值为__________
16．设函数，若函数满足对，都有，则实数的取值范围是_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数过定点，函数的定义域为.
（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；
（Ⅲ）解不等式.
18．已知函数，.
（1）设函数，求函数在区间上的值域；
（2）定义表示中较小者，设函数.
①求函数的单调区间及最值；
②若关于的方程有两个不同的实根，求实数的取值范围.
19．已知定义在上的奇函数，当时，.

（1）求函数在上的解析式；
（2）在给出的直角坐标系中作出的图像，并写出函数的单调区间.
20．已知，且在第三象限，
（1）和
（2）.
21．已知
求的值；
求的值.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由给定条件求出扇形半径和弧长，再由扇形面积公式求出面积得解.
【详解】设扇形所在圆半径r，则扇形弧长，而，
由此得，所以扇形的面积.
故选：B
2、D
【解析】分别利用甲乙两位同学的解题方法解题，从而可得出答案.
【详解】解：对于甲同学，
由，得，
因为因为，
所以，
所以，故甲同学解答过程错误；
对于乙同学，
因为，
所以，故乙同学解答过程错误.
故选：D.
3、D
【解析】因为E是DC的中点，所以，∴，
∴，
考点：平面向量的几何运算
4、A
【解析】根据所给分段函数解析式计算可得；
【详解】解：因为，，
所以，所以
故选：A
5、B
【解析】先根据三视图得到几何体的形状，然后再根据条件中的数据求得几何体的体积
【详解】由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，如下图中的四棱锥

由题意得其底面面积，高，
故几何体的体积
故选B
【点睛】由三视图还原几何体的方法
（1）还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体
（2）注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线
（3）想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体
6、D
【解析】设幂函数方程，将点坐标代入，可求得的值，根据幂函数的性质，即可求得答案.
【详解】设幂函数的解析式为：，将代入解析式得：，解得，
所以幂函数，所以既不是奇函数，也不是偶函数，
且，所以在上单调递增.
故选：D.
7、C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
8、C
【解析】由，得到，再由求解.
【详解】因为，
所以，
则，
所以，
则，
解得，
故选：C
9、B
【解析】由题意得，结合各选项知B正确．选B
10、B
【解析】构造函数并判断其单调性，借助零点存在性定理即可得解.
【详解】，
令，在上单调递增，并且图象连续，，，在区间内有零点，
所以可以取的一个区间是.
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1或
【解析】由诱导公式、二倍角公式变形计算
【详解】,
所以或，
时，；
时，
故答案为：1或
12、
【解析】求出函数关于轴对称的图像，利用数形结合可得到结论.
【详解】若，则，，设为关于轴对称的图像，画出的图像，

要使图像上有至少9个点关于轴对称，即与有至少9个交点，则，且满足
，即
则，解得，
故答案为
【点睛】解分段函数或两个函数对称性的题目时，可先将一个函数的对称图像求出，利用数形结合的方式得出参数的取值范围；遇到题目中指对函数时，需要讨论底数的范围，分别画出图像进行讨论.
13、
【解析】因为为偶函数，所以等价于，
又是区间上单调递增，所以.
解得.
答案为：.
点睛：本题属于对函数单调性应用的考查，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.
14、
【解析】设，则，利用勾股定理求得，进而得出
，根据正弦函数的定义求出，由诱导公式求出，结合同角的三角函数关系和两角和的正弦公式计算即可.
【详解】设，则，
在中，，所以，
即，解得，所以，
所以在中，，
则，
又，
所以.
故答案为：
15、
【解析】利用二倍角余弦公式，把问题转化为关于的二次函数的最值问题.
【详解】
，
又，
∴函数的最大值为.
故答案为：.
16、
【解析】首先根据题意可得出函数在上单调递增；然后根据分段函数单调性的判断方法，同时结合二次函数的单调性即可求出答案.
【详解】因为函数满足对，都有，
所以函数在上单调递增.
当时，，
此时满足在上单调递增，且；
当时，，其对称轴为，
当时，上单调递增，所以要满足题意，需，
即；
当时，在上单调递增，所以要满足题意，需，
即；
当时，单调递增，且满足，所以满足题意.
综上知，实数的取值范围是.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得解析式，根据奇函数的定义，即可得证；
（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；
（Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】（Ⅰ）函数过定点，定点为，
，定义域为，
.
函数为奇函数.
（Ⅱ）上单调递增.
证明：任取，且，
则.
，，
，，
，即，
函数在区间上是增函数.
（Ⅲ），即，
函数为奇函数

在上为单调递增函数，
， ，解得：.
故不等式的解集为：
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.
18、 (1)；(2)①.答案见解析；②..
【解析】（1）为上的单调增函数，故值域为.（2）计算得，由此得到的单调性和最值，而有两个不同的根则可转化为与的函数图像有两个不同的交点去考虑.
解析：（1）∵函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，∴函数在区间上单调递增，故，即，所以函数在区间上的值域为.
（2）当时，有，故；当时，，故，故，由（1）知：在区间上单调递增，在区间上单调递减，故，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.有最大值4，无最小值.
②∵在上单调递减，∴.又在上单调递增，∴.∴要使方程有两个不同的实根，则需满足.即的取值范围是.

点睛：求函数值域，优先函数的单调性，对于形如的函数，其图像是两个图像中的较低者.
19、（1）
（2）图像答案见解析，单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】（1）由函数的奇偶性的定义和已知解析式，计算时的解析式，可得所求的解析式；
（2）由分段函数的图像画法，可得所求图像，结合的图像，可得的单调区间
【小问1详解】
设，则，所以，
又为奇函数，所以，
又为定义在上的奇函数，所以，
所以
【小问2详解】
作出函数的图像，如图所示：

函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
20、（1），
（2）
【解析】（1）利用同角三角函数关系求解即可.
（2）利用同角三角函数关系和诱导公式求解即可.
【小问1详解】
已知，且在第三象限，
所以，
【小问2详解】
原式
21、（1）；（2）
【解析】（1）作的平方可得,则,由的范围求解即可；
（2）先利用降幂公式和切弦互化进行化简,得原式,将与代入求解即可
【详解】（1）由题,,
则,
因为
又,则,所以
因此,
（2）由题

,
由（1）可,代入可得原式
【点睛】本题考查同角的平方关系式及完全平方公式的应用,考查降幂公式,考查切弦互化,考查运算能力