人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》.doc

(完整版)人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》
7。4。1 向量的内积
【教学目标】
1。 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．
2. 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．
3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．
【教学重点】
平面向量内积的概念,平面向量内积的基本性质及运算律．
【教学难点】
平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
F
一个物体在力F的作用下产生了位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？
q
s

力做的功为
W＝∣s∣∣F∣cos θ，
其中q是F与s的夹角．
∣F∣cos θ是F在物体前进方向上分量的大小．
∣s∣∣F∣cos θ称为位移s 与力向量F的内积．
教师提出问题．并简单讲解什么是功，让学生对功有个基本了解．
师生共同计算这个力所做的功．
我们知道，功只有大小,没有方向，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示,能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？引出课题．
此引例体现了数学知识与其他学科的联系，让学生了解所学内容在实际生活中的具体应用．

新
课

新
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新
课

1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与 b,作 ＝a，＝b,则∠AOB叫向量a与b的夹角．记作‹a，b›，规定0°≤‹a，b›≤180°．
说明：
（1)当‹a,b›＝0°时，a与b同向；
(2)当‹a，b›＝180°时，a与b反向；
(3)当‹a，b›＝90°时，a与b垂直，记做a⊥b;
（4）在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

2．向量的内积
已知非零向量a与b，‹a，b›为两向量的夹角，则数量| a ｜ ｜ b ｜ cos‹a，b›叫做a与b的内积．记作
a·b＝| a | ｜ b ｜ cos‹a，b›．
规定:0向量与任何向量的内积为0．
说明：
(1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，可以是正数、负数或零，符号由cos‹a，b›的符号所决定；
（2）两个向量的内积,写成a·b，符号“·"在向量运算中不是乘号，既不能省略,也不能用“×”代替。

例1 求 |a｜＝5，|b|＝4，‹a,b›＝120°．求a·b．
解 由已知条件得
a·b＝| a ｜ | b ｜ cos‹a，b›
＝5×4×cos 120°＝－10．

3．向量的内积的性质
设 a，b 为两个非零向量，e是单位向量,则：
（1）a·e＝e·a＝∣a∣cos ‹ a，e›；
（2）a^b Û a·b＝0；
（3)a·a＝| a ｜2或 ｜ a |＝;
（4）∣a·b∣≤∣a∣∣b∣．

4．向量的内积的运算律
（1）交换律：a·b＝b·a；
(2)结合律：(λa）·b＝λ(a·b）＝a·(λb)；
（3)分配律:(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

例2 求证：
（1）(a＋b）·(a－b）＝∣a∣2－∣b∣2；
（2)∣a＋b∣2＋∣a－b∣2
＝2（∣a∣2－∣b∣2）．
证明 (1)显然
(a＋b)·(a－b)
＝a·a－a·b＋b·a－b·b
＝∣a∣2－∣b∣2；
（2)因为
∣a＋b∣2＝(a＋b）·(a＋b）
＝∣a∣2＋2 a·b＋∣b∣2，
∣a－b∣2＝(a－b）·（a－b）
＝∣a∣2－2 a·b＋∣b∣2，
所以
∣a＋b∣2＋∣a－b∣2
＝2(∣a∣2－∣b∣2)．

练习
1．已知 ｜ a |,| b |，‹a,b›，求 a·b：
(1） | a |＝7，| b |＝12,‹a，b›＝120°;
(2) ｜ a ｜＝8，｜ b |＝4，‹a，b›＝π；
2．已知 ｜ a ｜，｜ b |，a·b,求 ‹a，b›:
（1） ｜ a ｜| b ｜＝16，a·b＝－8;
（2) | a ｜｜ b ｜＝12，a·b＝6．

学生阅读课本,讨论并回答教师提出的问题：
(1）当‹a， b›＝0°和180º时a与b的方向是怎样的？
（2）当‹a,b›＝90°时，a与b的方向又是怎样的？
师生共同总结，师重点强调说明(4）．

教师直接给出向量内积的基本表达式．
教师引导学生学习向量内积的概念．
学生阅读课本中向量内积的概念，在理解的基础上记忆向量内积的概念．
教师总结向量内积的含义，以及公式中的注意事项．

学生讨论求解．

学生阅读课本中向量内积的性质，在理解的基础上记忆向量内积的性质．
教师对于每一个性质都要引领学生从向量内积的表达式入手，仔细推导．

教师引导学生学习向量内积的运算律．让学生明确内积满足交换律和分配律,不满足结合律．比如,实数乘法满足结合律:(a·b)·c＝a·(b·c)，而向量的内积不满足；又如实数乘法满足:a·c＝b·c Þ a＝b，而向量的内积不满足这种推出关系．

学生分组讨论证明的方法；
小组讨论后,教师对学生的回答给以补充、完善，师生共同总结解答方法．
教师给出具体的证明步骤．

师生合作共同完成．

此问题是为本课重点向量的内积概念而准备．通过问题的详细探究给出概念，比直接给出更符合学生的特点，容易被学生接受．

在本节中首次引入了抽象的向量内积，学生往往只接受具体的基本表达式，而不能接受a·b的含义，所以应让学生从符号的含义开始认识，这部分教师必须讲解清楚．

求内积题目不必过难,重点在理解内积的概念．

两向量的内积是两向量乘法的一种，是学生以前所未接触过的，与以前数量间的乘法、实数与向量间的乘法有很大区别，因此运算法则、运算律都要重新推导，学生对于概念和运算法则的理解和掌握有些困难．它与实数乘法的概念，性质及运算律有联系也有区别，这一区别是教学的重点也是学生学习的难点．

通过例2可让学生加深对结合律与运算律的理解．
通过学生讨论，老师点拨，可以突出解题思路,深化解题步骤，分解难点．

学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况．
小
结
本节课我们主要学习了平面向量的内积，常见的题型主要有：
（1）直接计算内积；
（2）由内积求向量的模；
（3）运用内积的性质判定两向量是否垂直；
(4）性质和运算律的简单应用．
学生阅读课本，畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．
梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．
作
业
教材 P54 练习A 组第 2 题（1）（3），第 3 题（1）（2)；
（选做）练习 B 组第1题．

巩固拓展．