指数函数知识点总结.doc

指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
当是奇数时，，当是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）· ；
（2） ；
（3） ．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1

定义域 R
定义域 R
值域y＞0
值域y＞0
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1）
函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；
指数函数·例题解析

【例1】求下列函数的定义域与值域：

解 (1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．
(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．
(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，

练习：（1）；　 （2）； （3）；

【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ]
A．a＜b＜1＜c＜d
B．a＜b＜1＜d＜c
C． b＜a＜1＜d＜c
D．c＜d＜1＜a＜b
解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，
则得b＜a＜1＜d＜c．
练习：指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ).

【例3】比较大小：

(3)4.54.1________3.73.6

解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6
∴ 4.54.1＞3.73.6．

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．
练习： （1）1.72.5 与 1.73　　　　　　　　　　　( 2 )与

( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）和

【例5】作出下列函数的图像：

(3) y＝2|x-1| 　(4)y＝|1－3x|

解 (2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．

解 (3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．
解 (4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)
(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．

解 (1)定义域是R．</PGN0095A.TXT/PGN>

∴函数f(x)为奇函数．

即f(x)的值域为(－1，1)．
(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)

单元测试题
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1、化简，结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、等于（ ）
A、 B、 C、 D、
3、若,且,则的值等于（ ）
A、 B、 C、 D、2
4、函数在R上是减函数，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、下列函数式中，满足的是( )
A、 B、 C、 D、
6、下列是（ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数
7、已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
8、函数是（ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数
9、函数的值域是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、已知,则函数的图像必定不经过（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
11、是偶函数，且不恒等于零，则( )
A、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数
C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数
12、一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）
13、若，则 。
14、函数的值域是 。
15、函数的单调递减区间是 。
16、若，则 。
三、解答题：（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、设，解关于的不等式。

18、已知，求的最小值与最大值。

19、设，，试确定的值，使为奇函数。

20、已知函数，求其单调区间及值域。

21、若函数的值域为，试确定的取值范围。

22、已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证明是上的增函数。

指数与指数函数同步练习参考答案
一、
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
D
D
B
C
A
D
A
A
D
二、13、
14、，令，∵ ,又∵为减函数，∴。
15、，令， ∵为增函数，∴的单调递减区间为。
16、 0，
三、17、∵,∴ 在上为减函数，∵ , ∴
18、,
∵, ∴.
则当,即时,有最小值；当,即时，有最大值57。
19、要使为奇函数，∵ ,∴需,
∴,由,得,。
20、令,，则是关于的减函数，而是上的减函数，上的增函数，∴在上是增函数，而在上是减函数，又∵, ∴的值域为。
21、，依题意有
即，∴
由函数的单调性可得。
22、（1）∵定义域为,且是奇函数；
（2）即的值域为；
（3）设,且，
(∵分母大于零，且)
∴是上的增函数。