数值分析-4.ppt

1课程内容课程内容第一章第一章 数值数值计算中的误差计算中的误差第二章第二章 方程（组）的迭代解法方程（组）的迭代解法第三章第三章 解线性方程组的直接解法解线性方程组的直接解法第四章第四章 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法第五章第五章 插值法插值法第六章第六章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分第四章第四章 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法23本章内容本章内容1 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质2 简单迭代法简单迭代法3 赛德尔迭代法赛德尔迭代法4 松弛迭代法松弛迭代法411 向量范数、矩阵范数、向量范数、矩阵范数、向量范数、矩阵范数、向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质谱半径及有关性质谱半径及有关性质谱半径及有关性质向量范数是用来度量向量长度的向量范数是用来度量向量长度的,它可以看成它可以看成是二、三维解析几何中向量是二、三维解析几何中向量长度概念长度概念的推广的推广定义定义4.1 对任一向量对任一向量X Rn，按照一定规则确按照一定规则确定一个实数与它对应，该实数记为定一个实数与它对应，该实数记为|X|，若若|X|满足下面三个性质：满足下面三个性质：1)|X|0;(|X|=0当且仅当当且仅当X=0)；(正定性正定性)2)对对任意任意实实数数a,|aX|=|a|X|；(齐次性齐次性)3)对任意向量对任意向量Y Rn，|X+Y|X|+|Y|(三角不等三角不等式式)则称该实数则称该实数|X|为向量为向量X的的范数范数5f(X)=|X|1 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 向量范数的定义向量范数的定义在在Rn中中，常用的几种范数有：常用的几种范数有：61-范数范数2-范数范数其中其中x1,x2,xn分别是分别是X的的n个分量。个分量。-范数范数1 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 向量范数的定义向量范数的定义例：例：计算向量计算向量X=(1,-2,3),Y=(3,4,0)的各种范数。的各种范数。解解:|X|1=1+2+3=6|X|=max(|1|,|-2|,|3|)=37|Y|1=3+4+0=7|Y|=max(|3|,|4|,|0|)=41 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 向量范数的定义向量范数的定义-范数也叫做范数也叫做最最大范数大范数，1）|X|0;(|X|=0当且仅当当且仅当X=0)；向量向量X=(x1,x2,xn),|X|=|xk|0,2）对任意实数对任意实数a,|aX|=|a|X|；任意实数任意实数a,a X=(a x1,a x2,a xn),|a X|=|a xk|=|a|xk|=|a|X|；3）对对任意向量任意向量Y Rn，|X+Y|X|+|Y|向量向量Y=(y1,y2,yn),|Y|=|ym|,向量向量X+Y=(x1+y1,x2+y2,xn+yn),|X+Y|=|xi+yi|xi|+|yi|xk|+|ym|=|X|+|Y|81 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 向量范数的定义向量范数的定义用记号用记号|.|泛指任何一种向量范数。泛指任何一种向量范数。91-范数范数2-范数范数-范数范数1 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 向量范数的定义向量范数的定义p范数：范数：都是都是p范数的特例。范数的特例。P=:10n向量范数向量范数定义向量长度定义向量长度(向量向量“大小大小”)n向量的误差：向量的误差：两个向量间的两个向量间的“距离距离”长度长度 两个向量差的范数两个向量差的范数 AX=B 是精确解，是精确解，X为其近似解，为其近似解，绝对误差绝对误差|X-|，相对误差相对误差1 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 向量范数的定义向量范数的定义定理定理:(向量范数向量范数f(x)的的连续性连续性）设非负函数）设非负函数f(X)=|X|为为Rn上的任一向量范数，则上的任一向量范数，则f(X)是是X的分量的分量x1,x2,xn的连续函数。的连续函数。定理定理:(向量范数向量范数f(x)的的等价性等价性）对于）对于Rn上的任上的任意两种向量范数意两种向量范数|X|p 和和|X|q，总存在正数总存在正数 c1和和 c2，使，使11 对一切对一切X Rn均成立。均成立。结论结论 向量范数具有向量范数具有等价性等价性，因此以后只需就一种范，因此以后只需就一种范数进行讨论，其余范数也都具有相似结论。数进行讨论，其余范数也都具有相似结论。比如：比如：如果在一种范数意义下向量序列收敛，则如果在一种范数意义下向量序列收敛，则在任何一种范数意义下该向量亦收敛。在任何一种范数意义下该向量亦收敛。1 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 范数函数的性质范数函数的性质定义定义4.2 设设A为任意为任意n阶方阵，阶方阵，按照一定规则确定按照一定规则确定一个实数与它对应，该实数记为一个实数与它对应，该实数记为|A|，若若|A|满满足：足：1）|A|0;|A|=0，当且仅当当且仅当A=0时；时；2）对任意实数对任意实数a，|a A|=|a|A|；3）|A+B|A|+|B|4）|AB|A|B|其中其中B也是也是n阶矩阵，阶矩阵，则称则称|A|为为矩阵矩阵A的范数。的范数。121 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 矩阵范数定义矩阵范数定义g(A)=|A|向量范数和矩阵范数的相容关系：向量范数和矩阵范数的相容关系：设设Rn中定义的向量范数为中定义的向量范数为|X|a,在在Rn n 中定义的矩阵范数为中定义的矩阵范数为|A|b，若向量范数与矩阵范数满足以下不等式若向量范数与矩阵范数满足以下不等式|AX|a|A|b|X|a 则则矩阵范数矩阵范数|.|b和向量范数和向量范数|.|a相容相容当定义一种矩阵范数时，应当使它能与某种当定义一种矩阵范数时，应当使它能与某种向量范数相容。向量范数相容。13相容条件相容条件1 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 矩阵范数定义矩阵范数定义定理定理4.1 设在设在Rn中给定了一种向量范数，对中给定了一种向量范数，对任一任一n阶方阵阶方阵A，令令14则由上式所定义的则由上式所定义的|.|是一种矩阵范数，并是一种矩阵范数，并且它与所给定的向量范数相容。且它与所给定的向量范数相容。n结论结论-称上式所定义的矩阵范数为称上式所定义的矩阵范数为从属从属于所给定于所给定向量范数的矩阵范数或向量范数的矩阵范数或由向量范数导出的由向量范数导出的矩阵范数矩阵范数。-这种矩阵范数实际上就是把矩阵看成是这种矩阵范数实际上就是把矩阵看成是Rn上线性变换的算子范数，所以称为矩阵的上线性变换的算子范数，所以称为矩阵的算子范数算子范数。1 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 矩阵范数定义矩阵范数定义定义定义4.5 设设n阶方阵阶方阵A的特征值为的特征值为 i(i=1,2,n),则则称称15为矩阵为矩阵A的的谱半径谱半径。1 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 谱半径定义谱半径定义161-范数范数2-范数范数-范数范数行范数行范数列范数列范数2-范数范数1 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 矩阵范数定义矩阵范数定义例例 计算计算A的各种范数：的各种范数：17|A|=max(1+1,2+3)=5|A|1=max(1+2,1+3)=41 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 矩阵范数定义矩阵范数定义181 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 矩阵范数定义矩阵范数定义例例 计算计算A的各种范数：的各种范数：19具有相容向量范数的矩阵范数和谱半径有关系具有相容向量范数的矩阵范数和谱半径有关系因为矩阵因为矩阵A的任一特征值的任一特征值 i与其对应的特征向量与其对应的特征向量Xi有关系式有关系式|i|Xi|A|Xi|i|A|A|是是A的特征值的上界。的特征值的上界。1 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 谱半径性质谱半径性质另一种常用的矩阵范数另一种常用的矩阵范数20这是另一种常用的矩阵范数，称这是另一种常用的矩阵范数，称|A|F为为A的的F-范数范数(Frobenius范数范数)。nF-范数与向量范数中的范数与向量范数中的2-范数相容，即范数相容，即|AX|2|A|F|X|21 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 矩阵范数定义矩阵范数定义定义定义4.3 对于对于Rn中的向量序列中的向量序列X(k),如果如果21则称向量序列则称向量序列X(k)收敛于收敛于Rn中的向量中的向量X。定义定义4.4 对于对于n阶方阵序列阶方阵序列A(k),如果如果则称方阵序列则称方阵序列A(k)收敛于收敛于n阶方阵阶方阵A。如果在一种范数意义下向量序列收敛时，则如果在一种范数意义下向量序列收敛时，则在任何一种范数意义下该向量序列亦收敛在任何一种范数意义下该向量序列亦收敛(范范数等价性数等价性)。1 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 向量、矩阵收敛问题向量、矩阵收敛问题定理定理4.2 Rn中的向量序列中的向量序列X(k)收敛于收敛于Rn中的中的向量向量X的必要充分条件是的必要充分条件是22其中其中xj(k)和和xj分别表示分别表示X(k)和和X中的第中的第j个分量个分量定理定理4.3 n阶方阵序列阶方阵序列A(k)收敛于收敛于n阶方阵阶方阵A的的充分必要条件是充分必要条件是 1 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 向量、矩阵收敛问题向量、矩阵收敛问题定理定理4.4 如果如果A为为n阶对称方阵阶对称方阵，则则|A|2=(A)231 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质 谱半径定义谱半径定义定理定理4.5：设设A是任意是任意n阶方阵，由阶方阵，由A的各次幂的各次幂所组成的矩阵序列所组成的矩阵序列I，A，A2，Ak，收敛于零，即收敛于零，即的必要充分条件是的必要充分条件是(A)1。24本章内容本章内容1 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质2 简单迭代法简单迭代法3 赛德尔迭代法赛德尔迭代法4 松弛迭代法松弛迭代法252 2 简单迭代法简单迭代法简单迭代法简单迭代法线性方程组线性方程组AX=B将其变形为等价的方程组将其变形为等价的方程组 X=MX+N,从而建从而建立迭代格式立迭代格式:26选取初始向量选取初始向量,由由X(k)计算出计算出X(k+1),得到向量得到向量序列序列 X(n)，使其收敛于某一向量，使其收敛于某一向量X*,X*就就是是线线性方程性方程组组AX=B的解的解。2 简单迭代法简单迭代法迭代矩阵迭代矩阵例：例：解为解为X*(1.1,1.2,1.3)T272 简单迭代法简单迭代法初值初值X(0)=(0,0,0)T迭代函数：迭代函数：迭代公式：迭代公式：X(9)=(1.09994,1.19994,1.29992)T282 简单迭代法简单迭代法2.1 迭代公式迭代公式2.2 简单迭代法的收敛条件简单迭代法的收敛条件29AX=B0=BAXX=BAX+XX=(IA)X+B迭代函数：迭代函数：X=CX+B迭代公式：迭代公式：X(k+1)=CX(k)+B迭代矩阵迭代矩阵2 简单迭代法简单迭代法 2.1 迭代公式迭代公式 2.1.1 迭代格式迭代格式130Cij=-aij(i j),Cii=1-aii 2 简单迭代法简单迭代法 2.1 迭代公式迭代公式 2.1.1 迭代格式迭代格式1迭代函数：迭代函数：X=CX+B迭代公式：迭代公式：X(k+1)=CX(k)+B31(k+1)(k+1)(k+1)(k)(k)(k)(k)(k)(k)(k)(k)(k)雅克比迭代法雅克比迭代法迭代公式：迭代公式：X(k+1)=GX(k)+F2 简单迭代法简单迭代法 2.1 迭代公式迭代公式 2.1.2 迭代格式迭代格式2a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2an1x1+an2x2+annxn=bn32迭代矩阵迭代矩阵迭代矩阵的特点：迭代矩阵的特点：对角线上的元素全部为对角线上的元素全部为0;其它元素为原系数矩阵的元素其它元素为原系数矩阵的元素除以所在行对角线上的元素并除以所在行对角线上的元素并在前面加负号。在前面加负号。令：令：A=D-L-UD:对角矩阵，对角矩阵，L:严格下三角矩阵严格下三角矩阵U:严格上三角矩阵严格上三角矩阵则：则：G=D-1(L+U)F=D-1B2 简单迭代法简单迭代法 2.1 迭代公式迭代公式 2.1.2 迭代格式迭代格式2迭代公式：迭代公式：X(k+1)=GX(k)+F(k+1)(k+1)(k+1)(k)(k)(k)(k)(k)(k)(k)(k)(k)33Gij=-aij/aii(i j)，Gij=0(i=j)，fi=bi/aii2 简单迭代法简单迭代法 2.1 迭代公式迭代公式 2.1.2 迭代格式迭代格式2迭代公式：迭代公式：X(k+1)=GX(k)+F上述建立的迭代公式上述建立的迭代公式:任取一组初值任取一组初值X(0)=(x1(0),x2(0),xn(0)作为根作为根X*=(x*1,x*2,x*n)的零次近似值，的零次近似值，按迭代按迭代公式公式进行迭代计算，进行迭代计算，如果迭代序列如果迭代序列X(k+1)有极限存在，有极限存在，则此极限为线性方程组的根。则此极限为线性方程组的根。称这种解法为称这种解法为简单迭代法。简单迭代法。342 简单迭代法简单迭代法 2.1 迭代公式迭代公式 2.1.2 迭代格式迭代格式2例例4.1 用雅克比迭代法解下列线性方程组用雅克比迭代法解下列线性方程组35迭代公式：迭代公式：2 简单迭代法简单迭代法 2.1 迭代公式迭代公式 2.1.2 迭代格式迭代格式2362 简单迭代法简单迭代法2.1 迭代公式迭代公式2.2 简单迭代法的收敛条件简单迭代法的收敛条件为叙述方便，把为叙述方便，把AX=B改写后的变形等价方程改写后的变形等价方程组统一表示为组统一表示为X=MX+N，或或37定理定理4.6 对任何初始向量对任何初始向量X(0)和常数项和常数项N，由由迭代公式迭代公式 X(k+1)=MX(k)+N (k=0,1,2,)产生的向量序列产生的向量序列X(k)收敛的必要充分条件是收敛的必要充分条件是(M)12 简单迭代法简单迭代法 2.2 简单迭代法的收敛条件简单迭代法的收敛条件证明证明：必要性，：必要性，设序列设序列Xk收敛于收敛于X*，则有，则有X*=MX*+N第第k次迭代的近似值和精确解之差为次迭代的近似值和精确解之差为38由定理由定理4.5即知即知(M)1。Xk X*MX(k1)+N(MX*+N)=M(X(k1)X*)反复使用上式得反复使用上式得 Xk-X*=M(Xk-1-X*)=M2(X(k-2)-X*)=Mk(X(0)-X*)对于任意初始向量对于任意初始向量X(0)，为使，为使2 简单迭代法简单迭代法 2.2 简单迭代法的收敛条件简单迭代法的收敛条件充分性，充分性，若若(M)1，则，则M的特征值的特征值 满足满足|1，|IM|0，方程组，方程组(IM)X=N有唯一解，设为有唯一解，设为X*,(IM)X*=N X*=MX*+N XkX*=M(X(k-1)X*)=M2(X(k-2)X*)=Mk(X(0)X*)因因(M)1，39即迭代过程收敛即迭代过程收敛。|IM|=01为为M的特征值的特征值2 简单迭代法简单迭代法 2.2 简单迭代法的收敛条件简单迭代法的收敛条件40说明：说明：迭代的收敛性只与迭代矩阵的谱半径有关迭代的收敛性只与迭代矩阵的谱半径有关迭代是否收敛与系数矩阵迭代是否收敛与系数矩阵A及演变方式有关及演变方式有关迭代的收敛性与常数项和初始向量的选择无迭代的收敛性与常数项和初始向量的选择无关。关。2 简单迭代法简单迭代法 2.2 简单迭代法的收敛条件简单迭代法的收敛条件简单迭代法简单迭代法41X=MX+N充分条件充分条件1：若若|M|1，则对任意初值，简，则对任意初值，简单迭代法收敛，且单迭代法收敛，且2 简单迭代法简单迭代法 2.2 简单迭代法的收敛条件简单迭代法的收敛条件简单迭代法简单迭代法42X=MX+N充分条件充分条件2：若若|M|11，则对任意初值，简，则对任意初值，简单迭代法收敛，且单迭代法收敛，且2 简单迭代法简单迭代法 2.2 简单迭代法的收敛条件简单迭代法的收敛条件简单迭代法简单迭代法43X=MX+N充分条件充分条件3：若若p|M|F1，则对任意初值，简，则对任意初值，简单迭代法收敛，且单迭代法收敛，且2 简单迭代法简单迭代法 2.2 简单迭代法的收敛条件简单迭代法的收敛条件在线性方程组的情况下，由式在线性方程组的情况下，由式知知mij在任意初值下都为常数在任意初值下都为常数,因此上述三因此上述三个充分条件都属大范围收敛充分条件个充分条件都属大范围收敛充分条件(收收敛性与初值的选取无关敛性与初值的选取无关)。442 简单迭代法简单迭代法 2.2 简单迭代法的收敛条件简单迭代法的收敛条件三个充分条件可以用下边的定理描述三个充分条件可以用下边的定理描述定理定理4.7 若迭代矩阵若迭代矩阵M的算子范数的算子范数|M|=q1，则则简单迭代法收敛，且迭代序列简单迭代法收敛，且迭代序列X(k)的第的第k次迭次迭代的近似值和精确解代的近似值和精确解X*的误差有估计式的误差有估计式45n定理定理4.8 若迭代矩阵若迭代矩阵M的算子范数的算子范数|M|1，则迭代则迭代序列序列X(k)的第的第k次迭代的近似值次迭代的近似值X(k)和精确解和精确解X*的的误差有估计式误差有估计式2 简单迭代法简单迭代法 2.2 简单迭代法的收敛条件简单迭代法的收敛条件定义定义 若矩阵若矩阵A的对角线元素满足的对角线元素满足46且至少有一个且至少有一个i值，使上式中有严格不等号成值，使上式中有严格不等号成立，则称立，则称A具有具有弱对角占优弱对角占优。n定义定义4.6：若矩阵若矩阵A不能通过行的次序的调换不能通过行的次序的调换和和相应列相应列的次序的调换成为的次序的调换成为其中其中A11，A22为方阵，则称为方阵，则称A为为不可约矩阵不可约矩阵；否则称为否则称为可约矩阵可约矩阵。2 简单迭代法简单迭代法 2.2 简单迭代法的收敛条件简单迭代法的收敛条件定理定理4.9 若系数矩阵若系数矩阵A不可约且具有弱对角不可约且具有弱对角占优或系数矩阵占优或系数矩阵A严格对角占优，则雅可比严格对角占优，则雅可比迭代法必定收敛。迭代法必定收敛。472 简单迭代法简单迭代法 2.2 简单迭代法的收敛条件简单迭代法的收敛条件方程变形：方程变形：得到收敛的迭代公式。得到收敛的迭代公式。迭代公式不收敛。迭代公式不收敛。48本章内容本章内容1 向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质向量范数、矩阵范数、谱半径及有关性质2 简单迭代法简单迭代法3 赛德尔迭代法赛德尔迭代法4 松弛迭代法松弛迭代法493 3 赛德尔迭代法赛德尔迭代法赛德尔迭代法赛德尔迭代法503 赛德尔迭代法赛德尔迭代法3.1 迭代格式迭代格式3.2赛德尔迭代法的收敛条件赛德尔迭代法的收敛条件513 赛德尔迭代法赛德尔迭代法 3.1 迭代格式迭代格式赛德尔迭代：赛德尔迭代：高斯高斯-赛德尔迭代法赛德尔迭代法：如果对雅克比迭代格式：如果对雅克比迭代格式组合赛德尔迭代格式组合赛德尔迭代格式52(k+1)(k+1)(k+1)(k)(k)(k)(k+1)(k)(k)(k+1)(k+1)(k+1)3 赛德尔迭代法赛德尔迭代法 3.1 迭代格式迭代格式a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2an1x1+an2x2+annxn=bn例例4.2 用高斯用高斯-赛德尔迭赛德尔迭代法解下列线性方程组代法解下列线性方程组53解：解：3 赛德尔迭代法赛德尔迭代法 3.1 迭代格式迭代格式543 赛德尔迭代法赛德尔迭代法 3.1 迭代格式迭代格式解为：解为：553 赛德尔迭代法赛德尔迭代法3.1 迭代格式迭代格式3.2赛德尔迭代法的收敛条件赛德尔迭代法的收敛条件X=MX+N X(k+1)=M1 X(k+1)+M2 X(k)+N 563 赛德尔迭代法赛德尔迭代法 3.2 赛德尔迭代法的收敛条件赛德尔迭代法的收敛条件赛德尔迭代法的收敛的充分必要条件赛德尔迭代法的收敛的充分必要条件X(k+1)=M1 X(k+1)+M2 X(k)+N(IM1)X(k+1)=M2 X(k)+NX(k+1)=(IM1)-1M2 X(k)+(IM1)-1N57迭代矩阵迭代矩阵3 赛德尔迭代法赛德尔迭代法 3.2 赛德尔迭代法的收敛条件赛德尔迭代法的收敛条件 必要充分条件必要充分条件 58若若|M|1，则对任意初值，赛德尔迭代法收敛。，则对任意初值，赛德尔迭代法收敛。|.|1r2r3 2r1=0 3rn n3 赛德尔迭代法赛德尔迭代法 3.2 赛德尔迭代法的收敛条件赛德尔迭代法的收敛条件 充分条件充分条件 59|.|S1t1t2S2t3S3tnSn3 赛德尔迭代法赛德尔迭代法 3.2 赛德尔迭代法的收敛条件赛德尔迭代法的收敛条件 充分条件充分条件 60S1t1t2S2t3S3tnSn3 赛德尔迭代法赛德尔迭代法 3.2 赛德尔迭代法的收敛条件赛德尔迭代法的收敛条件 充分条件充分条件 61令：令：A=DLU迭代公式：迭代公式：Xk+1=D-1(LXk+1+UXk)3赛德尔迭代法赛德尔迭代法 3.2 赛德尔迭代法的收敛条件赛德尔迭代法的收敛条件高斯高斯 赛德尔迭代法的收敛条件赛德尔迭代法的收敛条件定理定理4.10 若若A为为不可约且弱对角占优矩阵或不可约且弱对角占优矩阵或严格对角占优矩阵，则严格对角占优矩阵，则高斯高斯-赛德尔赛德尔迭代法迭代法必定收敛。必定收敛。证明：证明：要证明要证明高斯高斯-赛德尔迭代法收敛，赛德尔迭代法收敛，根据定理根据定理4.6，只要证明，只要证明(M)1即可，即可，M是高斯是高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵。赛德尔迭代法的迭代矩阵。因为因为高斯高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为赛德尔迭代法的迭代公式为 X(k+1)=D-1(LX(k+1)+UX(k)+B)将它化成等价的简单迭代法形式：将它化成等价的简单迭代法形式：623赛德尔迭代法赛德尔迭代法 3.2 赛德尔迭代法的收敛条件赛德尔迭代法的收敛条件高斯高斯 赛德尔迭代法的收敛条件赛德尔迭代法的收敛条件X(k+1)=D-1(LX(k+1)+UX(k)+B)(ID-1L)X(k+1)=D-1UX(k)+D-1B两边同乘以两边同乘以(ID-1L)-1X(k+1)=(ID-1L)-1 D-1UX(k)+(ID-1L)-1 D-1B =D(ID-1L)-1UX(k)+D(ID-1L)-1 B =(DL)-1UX(k)+(DL)-1B所以所以高斯高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵为赛德尔迭代法的迭代矩阵为M=(DL)-1U迭代矩阵迭代矩阵M的的特征方程：特征方程：|IM|=|I(DL)-1U|0633赛德尔迭代法赛德尔迭代法 3.2 赛德尔迭代法的收敛条件赛德尔迭代法的收敛条件高斯高斯 赛德尔迭代法的收敛条件赛德尔迭代法的收敛条件|I(DL)-1U|(DL)-1 (DL)U|(DL)-1|(DL)U|(DL)-1|0所以特征方程为：所以特征方程为：|(DL)U|=064假设存在特征值假设存在特征值|1,则则(DL)U与与A同为同为不不可约且弱对角占优矩阵或可约且弱对角占优矩阵或严格对角占优矩阵严格对角占优矩阵则则|(DL)U|0与与 为为特征值特征值矛盾矛盾所有所有|1 超松弛超松弛 1 低松弛低松弛相关定理相关定理定理定理4.12 松弛法收敛的必要条件是松弛法收敛的必要条件是0 2定理定理4.13 若若A为对称正定矩阵，则当为对称正定矩阵，则当0 2时，时，松弛法恒收敛松弛法恒收敛定理定理4.14 若若A为不可约且弱对角占优矩阵或严格为不可约且弱对角占优矩阵或严格对角占优，并且松弛因子对角占优，并且松弛因子 满足满足0 1时，则时，则松弛法必定收敛松弛法必定收敛89松弛迭代法松弛迭代法 4.松弛法的收敛条件松弛法的收敛条件90本章作业本章作业本章作业本章作业 4.1,4.2,4.1,4.2,4.4,4.4,4.64.6,4.8,4.8