2023届江苏省盐城市东台市三仓片区数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，正方形的边长是4，是的中点，连接、相交于点，则的长是（ ）

A． B． C． D．5
2．已知抛物线与二次函数的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为，它对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列事件是必然事件的是（　　）
A．某人体温是100℃ B．太阳从西边下山
C．a2+b2＝﹣1 D．购买一张彩票，中奖
4．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，且，则的长为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(4，2)，则的值是( )

A． B． C． D．2
6．如图，点A．B．C在⊙D上，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为（　　）

A．110° B．140° C．35° D．130°
7．如图是二次函数的图象，有下面四个结论：；；；，其中正确的结论是    

A． B． C． D．
8．一元二次方程x2+4x＝5配方后可变形为（ ）
A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝21
9．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
10．下列运算中正确的是（　　）
A．a2÷a＝a B．3a2+2a2＝5a4
C．（ab2）3＝ab5 D．（a+b）2＝a2+b2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆的直径长为__．
12．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面积为__________．（结果保留π）

13．如图，抛物线的图象与坐标轴交于点、、，顶点为，以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是__________．

14．在平面直角坐标系中，解析式为的直线、解析式为的直线如图所示，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形，……顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为______．

15．两个相似三角形的面积比为，其中较大的三角形的周长为，则较小的三角形的周长为__________．
16．若，则=___________．
17．二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是x=_______.
18．如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1 cm，则BF＝__________cm.

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个项点P，N分别在AB，AC上．

（1）当矩形的边PN=PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；
（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．
20．（6分）随着私家车的增多，“停车难”成了很多小区的棘手问题.某小区为解决这个问题，拟建造一个地下停车库.如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，入口处斜坡的坡角为，水平线.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入.请求出限制高度为多少米，(结果精确到，参考数据：，，)．

21．（6分）如图，在四边形中，，．已知A（-2，0）、B（6，0）、D（0，3）反比例函数的图象经过点．
（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；
（2）将四边形沿轴向上平移个单位长度得到四边形，问点是否落在（1）中的反比例函数的图象上？

22．（8分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a=　 　，b=　 　，样本成绩的中位数落在　 　范围内；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有多少人？

23．（8分）四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后,背面朝上放置在桌面上．

(1)求随机抽取一张卡片,恰好得到数字2的概率;
(2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏,游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗?请用列表法或画树形图法说明理由．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，D是边BC上一点，,E为线段AD的中点，连结CE并延长交AB于点F.
(1)求证：AD⊥BC.
(2)若AF:BF＝1:3，求证:CD:DB＝1:2.

25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，点D在BC上，且BD＝AD.求AC的长和cos∠ADC的值．

26．（10分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG．
（1）求证：△DCG≌△BEG；
（2）你能求出∠BDG的度数吗？若能，请写出计算过程；若不能，请说明理由．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】先根据勾股定理解得BD的长，再由正方形性质得AD∥BC，所以△AOD∽△EOB，最后根据相似三角形性质即可解答,
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，边长是4，
∴BD=， ，
∵是的中点，AD∥BC，
所以BC=AD=2BE，
∴△AOD∽△EOB，
∴,
∴OD=BD=×4=.
故选：C.
【点睛】
本题考查正方形性质、相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质.
2、D
【分析】先根据抛物线与二次函数的图像相同，开口方向相同，确定出二次项系数a的值，然后再通过顶点坐标即可得出抛物线的表达式．
【详解】∵抛物线与二次函数的图像相同，开口方向相同，

∵顶点坐标为
∴抛物线的表达式为
故选：D．
【点睛】
本题主要考查抛物线的顶点式，掌握二次函数表达式中的顶点式是解题的关键．
3、B
【解析】根据必然事件的特点：一定会发生的特点进行判断即可
【详解】解：A、某人体温是100℃是不可能事件，本选项不符合题意；
B、太阳从西边下山是必然事件，本选项符合题意；
C、a2+b2＝﹣1是不可能事件，本选项不符合题意；
D、购买一张彩票，中奖是随机事件，本选项不符合题意.
故选：B．
【点睛】
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4、C
【分析】由矩形的性质得到：设 利用勾股定理建立方程求解即可得到答案．
【详解】解： 矩形，

设
则
，

（舍去）

故选C．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
5、A
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数和图象中的数据即可解答本题．
【详解】如图：

过点（4，2）作直线CD⊥x轴交OA于点C，交x轴于点D，
∵在平面直角坐标系中，直线OA过点（4，2），
∴OD=4，CD=2，
∴tanα=＝＝，
故选A．
【点睛】
本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
6、B
【解析】根据圆周角定理可得∠ADC=2∠ABC=140°，故选B.
7、D
【分析】根据抛物线开口方向得到，根据对称轴得到，根据抛物线与轴的交点在轴下方得到，所以；时，由图像可知此时，所以；由对称轴，可得；当时，由图像可知此时，即，将代入可得.
【详解】①根据抛物线开口方向得到，根据对称轴得到，根据抛物线与轴的交点在轴下方得到，所以，故①正确.
②时，由图像可知此时，即，故②正确.
③由对称轴，可得，所以错误，故③错误；
④当时，由图像可知此时，即，将③中变形为，代入可得，故④正确.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题．
8、B
【分析】两边配上一次项系数一半的平方可得．
【详解】∵x2+4x=5，
∴x2+4x+4=5+4，即（x+2）2=9，
故选B．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的基本技能，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键．
9、B
【分析】根据一元二次方程配方法即可得到答案.
【详解】解：∵x2+4x=3
∴ x2+4x+4=3+4
∴（x+2）2=7
故选B
【点睛】
此题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握一元二次方程各种解法是解题的关键.
10、A
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以，积的乘方和完全平方公式的知识求解即可求得答案．
【详解】解：A、，故A选项正确；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以，积的乘方和完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1．
【分析】根据题意，写出已知条件并画出图形，然后根据勾股定理即可求出AB，再根据圆周角为直角所对的弦是直径即可得出结论.
【详解】如图，已知：AC＝8，BC＝6，

由勾股定理得：AB＝＝1，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴这个三角形的外接圆直径是1；
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是求三角形的外接圆的直径，掌握圆周角为直角所对的弦是直径是解决此题的关键.
12、9﹣3π
【解析】试题解析：连结AD．

∵直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，
∴∠C=60°，AB=6，
∵AD=AC，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∴图中阴影部分的面积=
13、
【分析】先求出A、B、E的坐标，然后求出半圆的直径为4，由于E为定点，P是半圆AB上的动点，N为EP的中点，所以N的运动路经为直径为2的半圆，计算即可.
【详解】解：，
∴点E的坐标为（1，-2），
令y=0，则，
解得，，，
∴A（-1，0），B（3,0），
∴AB=4，
由于E为定点，P是半圆AB上的动点，N为EP的中点，所以N的运动路经为直径为2的半圆，如图，
∴点运动的路径长是.

【点睛】
本题属于二次函数和圆的综合问题，考查了运动路径的问题，熟练掌握二次函数和圆的基础是解题的关键.
14、
【分析】由题意利用一次函数的性质以及等边三角形性质结合相似三角形的性质进行综合分析求解.
【详解】解：将代入分别两个解析式可以求出AO=1，
∵为边作第一个等边三角形，
∴BO=1，
过B作x轴的垂线交x轴于点D，

由可得，即，
∴，，即B的横轴坐标为，
∵与轴平行，
∴将代入分别两个解析式可以求出，
∵,
∴，即相邻两个三角形的相似比为2，
∴第2020个等边三角形的边长为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查一次函数图形的性质以及等边三角形性质和相似三角形的性质的综合问题，熟练掌握相关知识并运用数形结合思维分析是解题的关键.
15、1
【分析】根据面积之比得出相似比，然后利用周长之比等于相似比即可得出答案．
【详解】∵两个相似三角形的面积比为
∴两个相似三角形的相似比为
∴两个相似三角形的周长也比为
∵较大的三角形的周长为
∴较小的三角形的周长为
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
16、
【分析】把所求比例形式进行变形，然后整体代入求值即可．
【详解】，，；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的方法是解题的关键．
17、1
【分析】利用公式法可求二次函数y=x2-2x+1的对称轴．也可用配方法．
【详解】∵-=-=1，
∴x=1．
故答案为1
【点睛】
本题考查二次函数基本性质中的对称轴公式；也可用配方法解决．
18、2+
【详解】过点E作EM⊥BD于点M,如图所示：

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=45°，∠BCD=90°，
∴△DEM为等腰直角三角形．
∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，
∴EM=EC=1cm，
∴DE=EM=cm.
由旋转的性质可知：CF=CE=1cm，
∴BF=BC+CF=CE+DE+CF=1++1=2+cm.
故答案为2+.

三、解答题(共66分)
19、（1）矩形零件PQMN的面积为2304mm2;（2）这个矩形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.
【分析】（1）设PQ=xmm，则AE=AD-ED=80-x，再证明△APN∽△ABC，利用相似比可表示出,根据正方形的性质得到（80-x）=x,求出x的值，然后结合正方形的面积公式进行解答即可．
（2）由（1）可得，求此二次函数的最大值即可．
【详解】解：（1）设PQ=xmm，
易得四边形PQDE为矩形，则ED=PQ=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
，
即，
，
∵PN=PQ，
，
解得x=1．
故正方形零件PQMN面积S=1×1=2304（mm2）．
（2）
当时，S有最大值==2400（mm2）．
所以这个矩形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.
【点睛】
本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及二次函数的最大值的求法．
20、2.6米．
【分析】根据锐角三角函数关系得出CF以及DF的长，进而得出DE的长即可得出答案．
【详解】过点D作DE⊥AB于点E，延长CD交AB于点F．

在△ACF中，∠ACF=90°，∠CAF=20°，AC=12，
∴，
∴(m)，
∴(m)，
在△DFE中，，
又∵DE⊥AB，
∴，
∴，
∴(m)，
答: 地下停车库坡道入口限制高度约为2.6m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，主要是余弦、正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
21、（1）；（1）点恰好落在双曲线上
【分析】（1）过C作CE⊥AB，由题意得到四边形ABCD为等腰梯形，进而得到三角形AOD与三角形BEC全等，得到CE＝OD＝3，OA＝BE＝1，可求出OE的长，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
（1）由平移规律确定出B′的坐标，代入反比例解析式检验即可．
【详解】解：（1）过C作CE⊥AB．
∵DC∥AB，AD＝BC，
∴四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠A＝∠B，DO＝CE＝3，CD＝OE，
∴△ADO≌△BCE，
∴BE＝OA＝1．
∵B(6，0)
∴OB=6
∴OE＝OB﹣BE＝6﹣1＝4，
∴C（4，3），
把C（4，3）代入反比例函数解析式得：k＝11，
则反比例解析式为y；
（1）由平移得：平移后B的坐标为（6，1），
把x＝6代入反比例得：y＝1，
则平移后点落在该双曲线上．

【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
22、（1）8，20，2.0≤x＜2.4；（2）补图见解析；（3）该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人．
【解析】（1）根据题意和统计图可以求得a、b的值，并得到样本成绩的中位数所在的取值范围；
（2）根据b的值可以将频数分布直方图补充完整；
（3）用1000乘以样本中该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生比例即可得.
【详解】（1）由统计图可得，
a=8，b=50﹣8﹣12﹣10=20，
样本成绩的中位数落在：2.0≤x＜2.4范围内，
故答案为：8，20，2.0≤x＜2.4；
（2）由（1）知，b=20，
补全的频数分布直方图如图所示；

（3）1000×=200（人），
答：该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人．
【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、中位数等，读懂统计图与统计表，从中找到必要的信息是解题的关键.
23、（1）P（抽到数字2）=;（2）游戏不公平,图表见解析．
【详解】试题分析：（1）根据概率公式即可求解;
（2）利用列表法,求得小贝胜与小晶胜的概率,比较即可游戏是否公平．
试题解析：（1）P（抽到数字2）=;
（2）公平．
列表：

2

2

3

6

2

（2,2）

（2,2）

（2,3）

（2,6）

2

（2,2）

（2,2）

（2,3）

（2,6）

3

（3,2）

（3,2）

（3,3）

（3,6）

6

（6,2）

（6,2）

（6,3）

（6,6）

由上表可以看出,可能出现的结果共有16种,它们出现的可能性相同,所有的结果中,满足两位数不超过32的结果有10种．
所以P（小贝胜）=,P（小晶胜）=．所以游戏不公平．
考点：游戏公平性．
24、 (1)见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由等积式转化为比例式，再由相似三角形的判定定理，证明△ABD∽CBA,从而得出∠ADB=∠CAB=90°；
（2）过点D作DG∥AB交CF于点G,由E为AD的中点，可得△DGE≌△AFE，得出AF=DG，再由平行线分线段成比例可得出结果.
【详解】证明：（1）∵AB2=BD·BC，
∴
又∠B=∠B,
∴△ABD∽CBA，
∴∠ADB=∠CAB=90°，
∴AD⊥BC.
（2）过点D作DG∥AB交CF于点G,
∵E为AD的中点，
∴易得△DGE≌△AFE，
∴AF=DG，
又AF:BF＝1:3,
∴DG:BF＝1:3.
∵DG∥BF，
∴DG：BF=CD:BC=1：3，
∴CD:DB＝1:2.

【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，遇到比例式或等积式就要考虑转化为三角形相似来解决问题.
25、AC＝1； cos∠ADC＝
【详解】解：在Rt△ABC中，∵BC＝8，，
∴AC＝1．
设AD＝x，则BD＝x，CD＝8－x，
由勾股定理，得（8－x）2＋12＝x2．
解得x＝3．
∴．
26、（1）见解析；（2）∠BDG＝45°，计算过程见解析
【分析】（1）先求出∠BAE＝45°，判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB＝BE，∠AEB＝45°，从而得到BE＝CD，再求出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CG＝EG，再求出∠BEG＝∠DCG＝135°，然后利用“边角边”证明即可．
（2）由△DCG≌△AEG，得出∠DGC＝∠BGE，证出∠BGD＝∠EGC＝90°，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，∠AEB＝45°，
∵AB＝CD，
∴BE＝CD，
∵∠CEF＝∠AEB＝45°，∠ECF＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG＝EG，∠FCG＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
（2）解：∵△DCG≌△BEG，
∴∠DGC＝∠BGE，DG＝BG，
∴∠BGD＝∠EGC＝90°，
∴△BDG等腰直角三角形，
∴∠BDG＝45°．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．