2022年上海市外国语大附属外国语学校九年级数学第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B＝25°，则∠C的大小等于( )

A．25° B．20° C．40° D．50°
2．方程x2－4＝0的解是
A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝±2 D．x＝±4
3．一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是（ ）

A． B． C． D．
4．下列成语所描述的事件是必然事件的是（　　）
A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．拔苗助长 D．水中捞月
5．如图，BA=BC，∠ABC=80°，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则∠BED为（ ）

A．50° B．55° C．60° D．65°
6．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=( )

A． B． C． D．
7．如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点．若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，以△ABC的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF，GH，DJ，如果△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．28 B．24 C．20 D．16
9．若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（　　）
A．y=5（x﹣2）2+1 B．y=5（x+2）2+1 C．y=5（x﹣2）2﹣1 D．y=5（x+2）2﹣1
10．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
11．已知反比例函数的图象经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知=3， =5，且与的方向相反，用表示向量为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为_____．
14．如图，等边△ABO的边长为2，点B在x轴上，反比例函数图象经过点A，将△ABO绕点O顺时针旋转a（0°＜a＜360°），使点A仍落在双曲线上，则a=_____．

15．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．
16．cos30°+sin45°+tan60°＝_____．
17．一组数据：3，2，1，2，2，3，则这组数据的众数是_____．
18．反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随值增大而减小．那么的取值范围是_____________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象的另一个交点为,射线与轴交于点,与轴交于点轴， 垂足为．
求反比例函数的解析式;
求的长
在轴上是否存在点，使得与相似，若存在，请求出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由．

20．（8分）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．

21．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求过B、C两点的直线的函数表达式；
（3）点P是第一象限内抛物线上的一个动点．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由；

22．（10分）关于的方程有实根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为且，求的值．
23．（10分）乐至县城有两座远近闻名的南北古塔，清朝道光11年至13年（公元1831--1833年）修建，南塔名为“文运塔”，高30米；北塔名为“凌云塔”.为了测量北塔的高度AB，身高为1.65米的小明在C处用测角仪CD，（如图所示）测得塔顶A的仰角为45°，此时小明在太阳光线下的影长为1.1米，测角仪的影长为1米.随后，他再向北塔方向前进14米到达H处，又测得北塔的顶端A的仰角为60°，求北塔AB的高度．（参考数据≈1.414,≈1.732，结果保留整数）

24．（10分）已知：关于x的方程，
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，两个边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
25．（12分）如图，已知直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝x2+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点P是x轴上方抛物线上一点，连接OP．
①若OP与线段BC交于点D，则当D为OP中点时，求出点P坐标．
②在抛物线上是否存在点P，使得∠POC＝∠ACO若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC

（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）求证：△ABC∽△DOA；
（3）若BC=2，CE=，求AD的长．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
【详解】如图，连接OA．

∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°．
∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠C＝40°．
故选C．
【点睛】
本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
2、C
【分析】方程变形为x1=4，再把方程两边直接开方得到x=±1．
【详解】解：x1=4，
∴x=±1．
故选C．
3、D
【解析】试题分析：根据所给出的图形和数字可得：主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，
则符合题意的是D；
故选D．
考点：1．由三视图判断几何体；2．作图-三视图．
4、B
【分析】根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件依次判定即可得出答案．
【详解】解：A选项为随机事件，故不符合题意；
B选项是必然事件，故符合题意；
C选项为不可能事件，故不符合题意；
D选项为不可能事件，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．
5、A
【分析】首先根据旋转的性质，得出∠CBD=∠ABE，BD=BE；其次结合图形，由等量代换，得∠EBD=∠ABC；最后根据等腰三角形的性质，得出∠BED=∠BDE，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，
∴∠CBD=∠ABE，BD=BE，
∵∠ABC=∠CBD+∠ABD，∠EBD=∠ABE +∠ABD，∠ABC=80°，
∴∠EBD=∠ABC=80°，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE=（180°-∠EBD）=（180°-80°）=50°，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理．解题的关键是根据旋转的性质得出旋转前后的对应角、对应边分别相等，利用等腰三角形的性质得出“等边对等角”，再结合三角形内角和定理，即可得解．
6、A
【解析】试题解析：是平行四边形,

故选A.
7、A
【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，即可得到答案．
【详解】∵，分别为，的中点，
∴MN是∆OBC的中位线，
∴OB=2MN=2×3=6，
∵四边形是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=6，即：AC=12，
∵AB=6，
∴AC=2AB，
∵∠ABC=90°，
∴=30°．
故选A．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等，是解题的关键．
8、B
【分析】过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，根据全等三角形的性质得到EM＝CN，于是得到S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，于是得到结论．
【详解】解：过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，
∴∠M＝∠N＝90°，∠EAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAB＝90°，
∴∠EAM=∠CAB
∵四边形ACDE、四边形ABGF是正方形，
∴AC=AE，AF＝AB，
∴∠EAM≌△CAN，
∴EM＝CN，
∵AF＝AB，
∴S△AEF＝AF•EM，S△ABC＝AB•CN＝8，
∴S△AEF＝S△ABC＝8，
同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，
∴图中阴影部分的面积＝3×8＝24，
故选：B．

【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，正确的作辅助线是解题的关键．
9、A
【解析】试题解析：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位,
得到的抛物线的解析式是
故选A.
点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减.
10、D
【分析】先由题意列出第一轮传染后患流感的人数，再列出第二轮传染后患流感的人数，即可列出方程．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），
因此可列方程，1+x+x（1+x）=1．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
11、A
【分析】把代入反比例函数的解析式即可求解.
【详解】把代入得：
k=-4
故选：A
【点睛】
本题考查的是求反比例函数的解析式，掌握反比例函数的图象和性质是关键.
12、D
【分析】根据=3， =5，且与的方向相反，即可用表示向量.
【详解】=3， =5，
=,
与的方向相反,

故选D.
【点睛】
考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1：1．
【解析】试题分析：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：1．
考点：相似三角形的性质．
14、30°或180°或210°
【分析】根据等边三角形的性质，双曲线的轴对称性和中心对称性即可求解．
【详解】根据反比例函数的轴对称性，A点关于直线y=x对称，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴AO与直线y=x的夹角是15°，
∴a=2×15°=30°时点A落在双曲线上， 根据反比例函数的中心对称性，
∴点A旋转到直线OA上时，点A落在双曲线上，
∴此时a=180°，
根据反比例函数的轴对称性，继续旋转30°时，点A落在双曲线上，
∴此时a=210°；
故答案为：30°或180°或210°．
考点：(1)、反比例函数图象上点的坐标特征；(2)、等边三角形的性质；(3)、坐标与图形变化-旋转．
15、1
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
16、
【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简进行计算，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后求得计算结果．
【详解】cos30°+sin45°+tan60°
=
=
=
故填：.
【点睛】
解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
17、1．
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．
【详解】在数据：3，1，1，1，1，3中，1出现3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是1，
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是求一组数据的众数，掌握众数的定义是解决此题的关键．
18、
【分析】直接利用当k＞1，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜1，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小，
∴k＞1．
故答案为：k＞1．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，掌握基本性质是解题的关键．

三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）2；（3），
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）过点作于点M，求出点B的坐标，从而得，进而得，即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当轴时，， ②当时，，分别求出点P的坐标，即可．
【详解】∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
过点作于点M，
把代入，得：，
∴，
，
，

∴；
∵AD⊥y轴，
∴AD∥x轴，
∴∠1=∠OEC=∠DAC=30°，
①当轴时，，此时：；
②当时，，
，
，
∴．
综上所述：，．

【点睛】
本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合，掌握反比例函数的性质与相似三角形的性质，是解题的关键．
20、（1）证明见解析；（2）AD=2．
【解析】（1）如图，连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB=BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．
【详解】（1）如图，连接OA，交BC于F，

则OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A；
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴，FB=BC，
∴AB=AC，
∵BC=2，AC=2，
∴BF=，AB=2，
在Rt△ABF中，AF==1，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，
∴OB=4，
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD=．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
21、（1）y＝﹣x2+x+4；（2）y＝﹣x+4；（3）存在，（1，4）或（，）．
【分析】（1）将点A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c即可；
（2）先求出点C的坐标为（0，4），设直线BC的解析式为y＝kx+4，再将点B（4，0）代入y＝kx+4即可；
（3）先判断存在点P，求出AC，BC的长及∠OCB＝∠OBC＝45°，设点P坐标为（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），用含m的代数式表示出QM，AM的长，然后分①当AC＝AQ时，②当AC＝CQ时，③当CQ＝AQ时三种情况进行讨论，列出关于m的方程，求出m的值，即可写出点P的坐标．
【详解】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，，
解得，，
∴此抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
（2）在y＝﹣x2+x+4中，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+4，
将点B（4，0）代入y＝kx+4，
得，k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
（3）存在，理由如下：
∴A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），
∴OA＝3，OC＝OB＝4，
∴AC＝＝5，BC＝＝4，∠OCB＝∠OBC＝45°，
设点P坐标为（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），
∴QM＝﹣m+4，AM＝m+3，
①当AC＝AQ时，则AC＝AQ＝5，
（m+3）2+（﹣m+4）2＝25，
解得：m1＝1，m2＝0（舍去），
当m＝1时，﹣m2+m+4＝4，
则点P坐标为（1，4）；
②当AC＝CQ时，CQ＝AC＝5，
如图，过点Q作QD⊥y轴于点D，
则QD＝CD＝OM＝m，
则有2m2＝52，
解得m1＝，m2＝﹣（舍去）；
当m＝时，﹣m2+m+4＝，
则点P坐标为（，）；
③当CQ＝AQ时，（m+3）2+（﹣m+4）2＝2m2，
解得：m＝（舍去）；
故点P的坐标为（1，4）或（，）．

【点睛】
本题考查求二次函数解析式、求二元一次方程解析式和解二次函数，解题的关键是掌握求二次函数解析式、求二元一次方程解析式和解二次函数.
22、（1）m≤1;（2）m=.
【分析】（1）根据一元二次方程方程有实根的条件是列出不等式求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得，再根据，求出的值，最后求出m的值即可．
【详解】解：根据题意得

（2）由根与系数的关系可得

【点睛】
本题考查了一元二次方程有根的条件及根与系数的关系，根据题意列出等式或不等式是解题的关键．
23、北塔的高度AB约为35米．
【分析】设AE=x，根据在同一时间，物体高度与影子长度成正比例关系可得CD的长，在Rt△ADE中，由∠ADE=45°可得AE=DE=x，可得EF=(x-14)米，在Rt△AFE中，利用∠AFE的正切列方程可求出x的值，根据AB=AE+BE即可得答案.
【详解】设AE=x，
∵小明身高为1.65米，在太阳光线下的影长为1.1米，测角仪CD的影长为1米，
∴
∴CD=1.5（米）
∴BE=CD=1.5（米），
∵在Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∴DE=AE=x，
∵DF=14米，
∴EF=DE－DF=(x－14)米，
在Rt△AFE中，∠AFE=60°，
∴tan60°==，
解得：x=()（米），
故AB=AE+BE=+1.5≈35米．
答：北塔的高度AB约为35米．

【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握各三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键.
24、（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为1．
【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；
（2）分a为底边和a为腰两种情况，当a为底边时，b=c，可得方程的判别式△=0，可求出k值，解方程可求出b、c的值；当a为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k值，解方程可求出b、c的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．
【详解】（1）∵判别式△=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k-2)²≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．
（2）当a=1为底边时，则b=c，
∴△=(k-2)²=0，
解得：k=2，
∴方程为x2-4x+4=0，
解得：x1=x2=2，即b=c=2，
∵1、2、2可以构成三角形，
∴△ABC的周长为：1+2+2=1．
当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，
∴1-（k+2）+2k=0，
解得：k=1，
∴方程为x2-3x+2=0，
解得：x1=1，x2=2，
∵1+1=2，
∴1、1、2不能构成三角形，
综上所述：△ABC的周长为1．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键．
25、（2）y＝﹣x2+x+2；（2）①点P坐标为（2，3）；②存在点P（，﹣2）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO
【分析】（2）与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，2），由题意可得即可求解；
（2）①过点P作PE∥OC，交BC于点E．根据题意得出△OCD≌△PED，从而得出PE＝OC＝2，再根据 即可求解；
②当点P在y轴右侧，PO∥AC时，∠POC=∠ACO．抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，则点A坐标为（-2，0）．则直线AC的解析式为y=2x+2．直线OP的解析式为y=2x，即可求解；当点P在y轴右侧，设OP与直线AC交于点G，当CG=OG时，∠POC=∠ACO，根据等腰三角形三线合一，则CF=OF=2，可得：点G坐标为即可求解．
【详解】（2）∵y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，2）．
由题意可得，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①如图，过点P作PE∥OC，交BC于点E．

∵点D为OP的中点，
∴△OCD≌△PED（AAS），
∴PE＝OC＝2，
设点P坐标为（m，﹣m2+m+2），点E坐标为（m，﹣m+2），
则PE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝2，
解得m2＝m2＝2．
∴点P坐标为（2，3）；
②存在点P，使得∠POC＝∠ACO．
理由：分两种情况讨论．
如上图，当点P在y轴右侧，
PO∥AC时，∠POC＝∠ACO．
∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，
∴点A坐标为（﹣2，0）．
∴直线AC的解析式为y＝2x+2．
∴直线OP的解析式为y＝2x，
解方程组，解得：x＝（舍去负值）
∴点P坐标为（，﹣2）．
如图，当点P在y轴右侧，
设OP与直线AC交于点G，当CG＝OG时∠POC＝∠ACO，
过点G作GF⊥OC，垂足为F．
根据等腰三角形三线合一，则CF＝OF＝2．
∴可得点G坐标为（﹣，2）
∴直线OG的解析式为y＝﹣2x；
把y＝﹣2x代入抛物线表达式并解得x＝（不合题意值已舍去）．
∴点P坐标为（，﹣7）．
综上所述，存在点P（，﹣2）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等、解直角三角形、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．
26、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）要证AD是半圆O的切线只要证明∠DAO=90°即可；
（2）根据两组角对应相等的两个三角形相似即可得证；
（3）先求出AC、AB、AO的长，由第（2）问的结论△ABC∽△DOA，根据相似三角形的性质：对应边成比例可得到AD的长．
【详解】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴∠AOD+∠BAC=90°，
又∵∠D=∠BAC，
∴∠AOD+∠D=90°，
∴∠OAD=90°，
∴AD⊥OA，
∴AD是半圆O的切线；
（2）证明：由（1）得∠ACB=∠OAD=90°，
又∵∠D=∠BAC，
∴△ABC∽△DOA；
（3）解：∵O为AB中点，OD∥BC，
∴OE是△ABC的中位线，则E为AC中点，
∴AC=2CE，
∵BC=2，CE=，
∴AC=
∴AB=，
∴OA=AB=，
由（2）得：△ABC∽△DOA，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．同时考查了相似三角形的判定与性质，难度适中．