人教版九年级数学中考常错易错题第一讲数与式、方程与不等式(组).doc

中考常错易错题
第一讲 数与式 、方程与不等式（组）
明确目标﹒定位考点
中考定位 实数、二次根式，最简二次根式、同类二次根式；代数式、整式；整式的混合运算；乘法公式；因式分解。一元一次方程、二元一次方程组和一元二次方程的解法及应用；不等式及不等式组的解法及其不等式的应用。一元一次方程、二元一次方程组和一元二次方程的解法及应用；不等式及不等式组的解法及其不等式的应用的相关错题及常错题。
归纳总结﹒思维升华
1、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
2、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
3、一元二次方程根的判别式
根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
4、一元二次方程根与系数的关系
如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
5、分式方程
1、解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
2、分式方程的特殊解法
换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
6、不等式（组）
1、不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
2、用数轴表示不等式的方法
易错点聚焦﹒题型突破
易错点一 考查绝对值，相反数，倒数等概念及科学计数法
【例1】（1）-等于（ ）．
A． B． C． D．
易错分析 负数的绝对值是它的相反数，在解题过程中容易忽视绝对值，利用负负得正，导致结果出错。
【变式训练1】的相反数是( )
A. B. C. D.
易错点二 科学记数法
【例2】今年五月份香港举办“保普选反暴力”大联盟大型签名行动，9天共收集超121万个签名，将121万用科学记数法表示为( )
A. 1.21×106 B. 12.1×105 C. 0.121×107 D. 1.21×105
易错分析 把一个大于10的数表示成a×10^n（^表示方）的形式(其中a必须是整数数位只有一位的数，n是正整数)，这种记法我们叫做科学计数法。解题时处理万字时添零的个数易出错，还易把a写成整数位是零的小数。
【温馨提示】 在中考中以上属于送分题.对于这类题，一定要紧扣课本的概念，理清条理和思路，答题过程中细心即可．
【变式训练2】未来三年，国家将投入亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将亿元用科学记数法表示为（　　）
A.亿元　　B．亿元　　C．亿元　　D．亿元
易错点三 根式的化简技巧
【例3】若都是实数，且，求的值
易错分析 考查二次根式有意义的条件，对于一般形如“”的式子，其值一定为，此时.
温馨提示 本例明为给出条件的代数式的求值，实质依然是考查二次根式有意义的条件，对于一般形如“”的式子，其值一定为，此时.
【变式训练3】 计算：．
易错分析 按完全平方公式展开，再相减，运算太繁杂，占用时间过长，且计算过程中易出错。
温馨提示 若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．
易错点四. 常见的非负性
【例4】. 已知 ，求的值．
易错分析 乘法公式、多项式与多项式相乘以及合并同类项等知识点，“非负数的和为0，非负数都为0”这一重要结论，进而计算出a,b的值。公式多计算时很容易出错。
温馨提示 题目虽然简单，但考查的内容却是相当广泛，公式多，这样的题目，应该引起读者足够重视．
【变式训练4】已知直角三角形两边x,y 的长满足，求第三边的长.
温馨提示 本例主要考察了二次根式及绝对值的非负性，结合勾股定理的相关知识点，考查直角三角形边长的求法，题目难度不大，但容易忽略3为斜边的情况，从而产生漏解.
易错点五 一次方程的概念及其解法
【例5】关于的一元一次方程的解为____．
易错分析 题目中是有参变字母不确定，要对其做出合理的分类（如本例中的和且），做题时容易疏漏．
温馨提示 本例是典型的考查一元一次方程的概念的题目，对于这样一类考查概念性问题的题目，我们可以从两个方向把握：一是搞清所考查的概念的具体内容是什么，并应用该概念的限定条件，列出相关等式；二是要注意题目中是否有参变字母不确定，要对其做出合理的分类（如本例中的和且），慎防漏解．
【变式训练5】解下列方程（组）：
（1）； （2）
温馨提示 （1）①去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项；②去分母后，分数线起到括号的作用，尤其是分式前是负号的项．（2）用代入消元法解方程组，也可以用加减消元法解决问题，解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.
易错点六 含字母的方程、不等式的解法
【例6】．已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是　　．
易错分析 本题的参数去掉绝对值时，不用对参数范围进行讨论；最后在求k的取值范围时，要分组讨论。
【温馨提示】本题考查了含绝对值符号且含参数的一元一次方程的解法， 对于这类问题，一般的步骤是去掉绝对值，整理成含参数的方程，再讨论参数字母的可能情况，用参数表示未知数，最后再根据情况，确定参数的范围.但本题没有对参数范围进行讨论，读者想想是为什么？
【变式训练6】若不等式组的解集为，则不等式的解集为　　．
易错点七 分式的概念、分式有意义的条件
【例7】．若，试判断是否有意义.
易错分析 在对等式左边进行整理合并时，不能够彻底的因式分解，就算因式分解后，容易得出结论两个都无意义。
【温馨提示】要判断是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断中至少有一个为0，从而可得出结论.
【变式训练7】若分式的值为零，则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【温馨提示】分式是0的条件中，应特别需要注意分母不能为0，这是常考知识点．分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，由此条件解出．
易错点八 分式的化简求值
【例8】．已知，求的值．
易错分析 可利用设的手段，将三个字母统一用一个字母表示，使得复杂的问题变得简单明，做题时想不起来转化思想，本题会变得复杂难解。
【温馨提示】 本例是一道很经典的老题，题目中利用设的手段，使得复杂的问题变得简单明了，充分的体现了转化思想在数学学习中的重要性。
【变式训练8】．已知：，求的值．
【温馨提示】相信一定有一部分的读者，看见本例，头皮会发麻的，题目中出现了，这是一个让人纠结的问题，本例巧妙的利用“取倒”的手段，避开了四次方，达到了降次的目的，也使得计算量大大简化，这种处理方法值得读者借鉴。
易错点九 分式方程的解法
【例9】方程的解为（　　）
A. B. C. D.
易错分析 容易忽视分式方程分母有意义的条件
【温馨提示】 本题考点虽然比较简单，但在解题时容易忽视分式方程分母有意义的条件，所以分式方程要记得验根
【变式训练9】解方程：．
易错点十 一元二次方程根的判别式
【例10】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）
A．B．且 C． 且 D． 且
易错分析 考查一元二次方程根的判别式的，借助判别式求参数的范围，容易忽略二次项系数不为零的前提条件
【温馨提示】方程二次项系数中如果含有参数字母，首先要考虑方程是否为一元二次方程，是，才可以用判别式，不是，则不能用，这个应引起读者足够重视.
【变式训练10】一元二次方程总有实数根，则应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
易错点十一 一元二次方程根与系数关系
【例11】.已知是关于的一元二次方程:的两个解，若:， 则的值为（ ）
A． B． C． D．
易错分析 考查根与系数的关系以及多项式乘多项式法则。借助整体换元法将根与系数代入所求的方程中，而求出a值，容易忽略换元法的使用。
【温馨提示】此题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系表示出 m+n 与mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n 与mn的值代入即可求出a 的值，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
【变式训练11】是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数使
成立？则正确的结论是（ ）
A．时成立 B．时成立 C．或时成立 D．不存在
易错点十二 一元二次方程的综合运用
【例12】某工厂生产的某种产品按质量分为个档次，第档次（最低档次）的产品一天能生产件，每件利润元．每提高一个档次，每件利润增加元，但一天产量减少件．
（1）若生产第档次的产品一天的总利润为元（其中为正整数，且），求出关于的函数关系式；
（2）若生产第档次的产品一天的总利润为元，求该产品的质量档次．
易错分析 注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说有条件限定的二次函数的最值不一定在时取得．
【温馨提示】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．求最值问题时，有条件限定的二次函数的最值不一定在时取得．
【变式训练12】九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价(元/件)
100
110
120
130
…
月销量(件)
200
180
160
140
…
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.
（1）请用含x的式子表示：
①销售该运动服每件的利润是 元；②月销量是 .件；（直接填写结果）
（2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
专题训练﹒对接中考
一、选择题
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2．是指大气中直径米的颗粒物，将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 使不等式与同时成立的x的整数值是
A. 3，4 B. 4，5 C. 3，4，5 D. 不存在
5. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
6. 函数的自变量的取值范围是 .
7.分式方程的解是 .
8．使式子有意义的最小整数m是　　．
三、解答题
9. 已知方程的两个根是和，求
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
10.某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元. 商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元.
（1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格﹣进货价格）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？
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