第八组二模徐国庆周彤李帅.doc

个人收集整理 勿做商业用途
会议筹备的优化问题
摘要
论文主要研究会议筹备组在满足经济、方便及与会代表需求的前提下，为与会代表选择预订宾馆客房、租借会议室、租借客车的最优方案。
针对预订宾馆客房,运用软件,采用比例法和灰色预测法对与会人数进行预测，得出本届与会代表人数为人.由于无法获悉未知的与会代表对住房的要求，因此对发来回执且与会的代表和未发来回执但与会的代表分别安排房间.以房间总价钱最低为目标分别建立线性规划模型，运用软件求解并将数据调整后得出：在与会代表满意度为97.5％时，预订①、②、⑥、⑦、⑧号宾馆，总价钱最低为70048元。
针对租借会议室,采用均值法确定会议室的规模，结合总价钱最低 ，通过分析得到:选择⑦号宾馆140人的会议室2间,200人的会议室1间;选择⑧号宾馆160人的会议室1间，130人的会议室2间，总价钱最低为元.
针对租借客车，以租金最低为目标建立线性规划模型,运用软件求解得出在①、②、⑥、⑦、⑧号宾馆安排45座、36座、33座客车分别为2、1、2辆；3、1、0辆；3、1、0辆;0、1、2辆；1、0、3辆；总租金最低为元.

关键词:比例法；灰色预测法；线性规划；软件；软件

一. 问题重述
某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室,并租用客车接送代表。由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让参加会议的代表分散到若干家宾馆住宿。前提要尽量满足代表在价位等方面的需求、所选择的宾馆数量应尽可能少、距离比较靠近。
筹备组经过实地考察，筛选出10家宾馆作为备选，分别用代号①至⑩表示, 根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息。从以往几届会议情况看,有一些发来回执的代表不来开会,同时也有一些与会的代表事先不提交回执。
客房房费由与会代表自付，如果预订客房的数量大于实际用房数量,筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则参加会议的代表的满意程度会降低，降低程度太大就回引发一系列的麻烦。
会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆内租借会议室.由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客车接送代表。
从经济、方便、代表满意等方面考虑，制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。

二。模型假设
1．参加会议的代表回执的住房信息不会更改。
2. 假设会议只开一天，即与会人员只在宾馆住一天。
3。 参加分组会议的人只参加了一个分组会议.
4。 每位代表参加的分组会议以及上下午是否都参加是随机的。
5。 所有参加本宾馆外的分组会代表都需要车接送。
6。 每辆车只走一个单程,且不考虑中途有人上车情况。

三．符号说明

符号
意义

对未发回执但与会的101人安排的第号宾馆第种房间的数量(,）

发来回执且与会的代表预定房间总价格

未发回执但与会的代表所预定的房间总价格

预定的种类型的房间数量（）

第号宾馆安排的第类车的数量
（,表示45座、36座、33座的车辆）

四．模型的建立
4.1模型一
4.1。1模型一的分析
4。1。1。1预测与会代表人数
该题要求为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。为了解决该问题，需要先预测与会代表人数。预测的依据是代表回执数量及往届的与会人员数据。根据题目所给的数据，可知本届发来回执的数量为755人并能求出未知与会率和缺勤率。
未知与会率=未发回执但与会的代表数量/发来回执的代表数量；
缺勤率=发来回执但未与会的代表数量/发来回执的代表数量。
据此得出下表：
届次
第一届
第二届
第三届
第四届
缺勤率
0。282540
0.323034
0.296569
0.299578
未知与会率
0。180952
0。193820
0。183824
0。146273
运用软件，对缺勤率进行拟合预测,得出预测曲线呈递加趋势(如下图），并求解出第五届的缺勤率为0。2995.因前几届的缺勤率一直保持在0.3左右，因此认为第五届的缺勤率仍为0。3。从而，第五届的缺勤人数为人。为了保守起见，对226.5人进行向下求解，即第五届的缺勤人数为226人.

缺勤率的预测图

运用软件，对未知与会率进行拟合预测，由于未知与会率变化相对剧烈，不适合应用比例方法确定,同时因数据有限，所以应用灰色预测方法比较合适,得出预测曲线呈递减趋势（如下图)：

运用灰色预测法预测的未知与会率

将往届未知与会率带入程序（见附录一）,可以得到第五届的未知与会率为0.1331。所以第五届未发回执但与会的代表数量为人。同样保守考虑，向上取整为101人。这样就可以预测得出本届的与会代表数量为人。
4。1.1。2安排发来回执且与会的代表的房间
由上述结果可知，发来回执且与会的代表人数占发来回执数量的70％，实际与会的代表数如下表所示:
发来回执且与会的人数
价格(元）
120-160
161-200
201-300
120—160
161-200
201—300
住房要求
合住1
合住2
合住3
独住1
独住2
独住3
男(人数)
108
73
23
75
48
29
女(人数)
55
34
12
42
20
14
总人数
163
107
35
117
68
43
房间数
82
54
18
117
68
43

4。1。1.2。1目标函数的分析
先对发来回执且与会的代表安排房间，考虑到经济方面让代表花最少钱住符合自己要求的房间。同时如果代表未到,会议筹备组也可少花空房钱，因此，以房间总价格最低建立目标函数：

4.1。1.2.2约束条件的分析
(1）价格在120～160元/天的房间：
所定的价格在此区间的双人标准间的数量必定要大于发来回执且与会的要求合住的代表所需的房间数量：

所定的双人标准间和单人间的数量要大于等于发来回执且与会的要求合住或者独住的代表所需的房间数量：

（2）价格在161~200元/天的房间：
同理,所定的价格在此区间的双人标准间的数量必定要大于发来回执且与会的要求合住的代表所需的房间数量，双人标准间和单人间的数量要大于等于发来回执且与会的要求合住或者独住的代表所需的房间数量，即：

（3)价格在201～300元/天间的房间：
同理，所定的价格在此区间的双人标准间的数量必定要大于发来回执且与会的要求合住的代表所需的房间数量，双人标准间和单人间的数量要大于等于发来回执且与会的要求合住或者独住的代表所需的房间数量,即：

(4）所定的每一种类型的房间数必定小于等于该类型房间的实有数，即:

4。1.2模型一的建立
以房间总价格最低为目标，建立线性规划模型:

4。1.3模型一的求解
运用软件求得的结果如下表所示：
符号
数值
符号
数值

30

35

30

40

1

30

50

30

50

14

14

8

50

63480
以上表格所求数值是发来回执并与会的代表所定各类房间的数量，下面对这些数值进行分析:
将房间数量按相应的宾馆号进行整理见下表:

宾馆号
符号
数值
宾馆号
符号
数值
①

30
⑤

35

30
⑥

40

1

30
②

50

30
③

50
⑦

14

14
⑧

26
④

50

以上表格所求数值是发来回执并与会的代表所定各类房间的数量，下面对这些数值进行分析：题目要求，宾馆之间距离最近,观察图中的宾馆之间相对距离，首先排除③、④宾馆，⑤号、⑥号宾馆到⑦号宾馆之间的距离都为300米，由距离公式，分别计算①、②、⑤、⑦、⑧号宾馆之间两两距离之和以及①、②、⑥、⑦、⑧号宾馆两两距离之和，比较后发现，①、②、⑥、⑦、⑧号宾馆两两之间距离之和较小。因此，将③、④、⑤号宾馆的房间安排到①、②、⑥、⑦、⑧号宾馆中。将数据调整后得下表：

宾馆号
符号
数值
宾馆号
符号
数值
①

14
⑥

40

30

30

30

30

1
⑦

50
②

50
⑧

10

35

40

8
由于5家宾馆各类型价格房间的数量有限，其中有10间价格在160元的宾馆被价格为180元的宾馆代替，因此，满意度不是100％。所预订的宾馆共有400间，其中10间不满足与会代表要求,求出满意度为1-10/400=97.5％。
综上所述，在满意度为97。5％时，安排①、②、⑥、⑦、⑧号宾馆给发来回执并与会的代表入住。
4。2模型二——安排未发回执但与会的代表的房间
4.2。1模型二的分析
4.2。1。1目标函数的分析
对剩下的未发回执但与会的101人安排入住①、②、⑥、⑦、⑧号宾馆的剩余房间，如下表所示：
宾馆号
房间价格(元)
房间种类（单/双）
剩余房间数
预定房间数
①
180
双
36

220
单
19

②
180
双
30

200
双
35

⑥
160
单
40

⑦
160
单
40

300
单
30

⑧
180
双
30

180
单
37

考虑经济方面让代表花钱最少,并且代表如未到由会议筹备组花钱,因此以房间总价格最少为目标建立线性规划模型：

4。2。1。2约束条件的分析：
（1)假设所订房间均为双人间，因此房间数量必定大于:

(2)假定所订房间均为单人间，因此房间数量要小于101间房：

(3)所订宾馆的单人间和双人间人数之和应大于101人：

(4）安排给未发回执但与会的代表的房间数应不超过宾馆所剩的房间数：

4。2.2模型二的建立
以房间总价格最少为目标建立线性规划模型：

4。2。3模型二的求解
通过运用软件，求解得出下表：
符号
数值

36

1

14

6568
即：在①号宾馆安排36间双人房,在⑥号宾馆安排1间单人房，在⑧号宾馆安排14间双人房，总人数正好为101人,且所花价钱最少，为6568元。
将模型一和模型二所预订的房间数汇总,最终得出预订的①、②、⑥、⑦、⑧号宾馆不同规格的房间数如下表所示:
宾馆代号
客房
规格
预订间数
价格
①
普通双标间
50
180元
商务双标间
30
220元
普通单人间
30
180元
商务单人间
1
220元
②
普通双标间
50
140元
商务双标间
35
160元
⑥
普通单人间
1
160元
普通双标间
40
170元
商务单人间
30
180元
精品双人间
30
220元
⑦
普通双标间
50
150元
⑧
普通双标间A
24
180元
普通双标间B
10
160元
高级单人间
8
180元

4.3模型三-会议室的安排与车辆的租赁问题
4。3。1会议室的安排
关于会场租赁问题，由于需要6个会场，且每个会场与会人数不确定，我们只考虑了一种平均意义下的结果。实际的与会人数为630人，6个会议室平均一个会议室分布106人，因此，所预订的会议室规模要尽可能在106人以上,由此可排除①号宾馆60人会议室、②号宾馆30人和45人的会议室以及⑦号宾馆60人的会议室。根据题意,考虑到经济因素，所以优先选择⑦、⑧号宾馆中的800元的会议室,共四间.对于剩下的半天租金为1000元的会议室，在价格相同的情况下规模大的会议室优先选择。⑦、⑧号宾馆的1000元的会议规模较大且⑦、⑧号宾馆的位置在6个宾馆中相对居中，因此选择⑦、⑧号宾馆中2间的1000元会议室.
因此，选择⑦号宾馆140人的会议室2间，200人的会议室1间;选择⑧号宾馆160人的会议室1间，130人的会议室2间。

4。3。2车辆的租赁
4.3.2.1目标函数的分析
将各宾馆的双人间全部按住两人计算得出各宾馆的人员数量的最大值，具体数据如下表所示：
宾馆编号
①
②
⑥
⑦
⑧
人数

由于不知道代表在哪个宾馆的会议室开会，为满足便利、代表满意的要求，在每个宾馆都安排客车,各宾馆安排的客车数如下:

45座
36座
33座
①

②

⑥

⑦

⑧

以租车价格最低建立以下目标函数：

4。3.2.2约束条件的分析
第①号宾馆安排的所有客车座位数之和不小于该宾馆所住代表人数的最大值,得出如下约束条件：

同理，得出2、3、6、7、8号宾馆的客车座位数的约束条件：

客车数都为整数，所以

4.3.2.3模型的建立
以租车价格最低为目标建立线性规划模型:

4。3。2.4模型的求解
运用软件求得结果如下：

45座
36座
33座
①
2
1
2
②
3
1
0
⑥
3
1
0
⑦
0
1
2
⑧
1
0
3

因此，第①号宾馆45座、36座、33座三种类型的客车数量分别为2、1、2辆；
第②号宾馆45座、36座、33座三种类型的客车数量分别为3、1、0辆；
第⑥号宾馆45座、36座、33座三种类型的客车数量分别为3、1、0辆；
第⑦号宾馆45座、36座、33座三种类型的客车数量分别为0、1、2辆；
第⑧号宾馆45座、36座、33座三种类型的客车数量分别为1、0、3辆。
总费用的最低为：14200。00元

五.模型的评价与推广
5。1模型的评价
1、本文通过对不同宾馆的房间数量、房间价格、各宾馆之间距离等约束条件进行分析,建立三个线性规划模型，求出预订的不同宾馆中各类房间数量、不同规模的会议室数量以及每个宾馆需要的客车数，使得预订的房间总价钱最低、租赁会议室和客车费用最低，从而解决了题中宾馆、会议室和车辆的安排问题。
2、运用和和等专用数学软件分别用于预测与会代表的实际人数和求解复杂的数学表达式，并且预测中采用了比例法和灰色预测法,因此，数据的得出有较强的真实性和科学性。
3、由于事先每个会议室开会的人数未知，在安排会议室时,我们先采用均值法，要求每个会议室的规模大于与会人数在每个会议室的平均值,通过对会议室规模和各宾馆距离的分析，结合会议室的租金最低，最终选取⑦、⑧号宾馆中的6个会议室作为会场,这种逐步分析的方法使复杂问题变得简单，最大限度地满足了会议的需求.
3、宾馆、会议室和车辆的安排与求解具有很好的针对性，并且具有较强的实用性和严密的逻辑性。
5.2模型的推广
本文中模型的建立不仅能解决了会议筹备中的宾馆、会议室和车辆的安排问题，对该模型加以改进还可以解决旅游游客的安排、晚会人员安排、机场预定机票等问题上.同时，题中的模型同样适用于生活中其它方面计算和预测,精确度较高，具有广泛的适用性.

六。参考文献
[1]卓金武，魏永生，秦健. MATLAB在数学建模中的应用[M].北京：北京航空航天大学出版社，2011
［2]姜启源，谢金星，叶俊.数学建模（第四版)［M]。北京：高等教育出版社,2011
［3］谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件［M］.北京:清华大学出版社，2005
[4]苏金明,阮沈勇。 MATLAB6.1实用指南［M］.北京：电子工业出版社,2002
[5］程理民,吴江. 运筹学模型与方法教程［M].北京:清华大学出版社,2000
[6]罗明安.运筹学［M]。北京:经济管理出版社,1998

七.附录
附录一
灰色预测（未知与会率公式）：
syms a b;
c=[a b］';
A=[0。180952，0。193820,0。183824，0.146273]；
B=cumsum（A）;
n=length(A);
for i=1：（n-1)
C(i)=（B（i)+B(i+1））/2;
end
D=A;D(1）=［］;
D=D’；
E=［-C；ones(1，n-1)]；
c=inv（E＊E')*E*D；
c=c';
a=c(1）；b=c(2);
F=［］；F(1）=A（1);
for i=2：（n+1)
F(i）=（A(1）-b/a）/exp（a*（i-1）)+b/a；
end
G=[］；G(1）=A（1)；
for i=2:(n+1)
G(i）=F(i）—F（i-1)；
end
t1=1：4；
t2=1：5;
G
plot（t1,A,'o',t2,G）

缺勤率 f(x) = p1*x^3 + p2＊x^2 + p3＊x + p4
p1 = 0。01607 p2 = —0.1299 p3 = 0.3177 p4 = 0.07865 y（5)= 0.2825 0.3230 0.2966 0.2996 0.2995
附录二
min=180＊x1+220*x2+180*x3+220*x4+140*x5+160*x6+180＊x7+200＊x8+150＊x9+180*x10+150*x11+140*x12+200*x13+140*x14+160＊x15+200*x16+160＊x17+170＊x18+180＊x19+220＊x20+150*x21+160*x22+300＊x23+180＊x24+160＊x25+180*x26+260＊x27+260*x28+280*x29+280*x30+260＊x31+280*x32；
x5+x6+x9+x12+x14+x15+x21+x25>82;
x5+x6+x9+x12+x14+x15+x21+x25+x11+x17+x22>199;
x1+x7+x8+x10+x13+x16+x18+x24〉54;
x3+x19+x26+x1+x7+x8+x10+x13+x16+x18+x24>122;
x2+x20+x27+x29+x31+x32>18;
x4+x23+x28+x30+x2+x20+x27+x29+x31+x32〉61;
x1〈50;
x2<30;
x3〈30；
x4〈20;
x5<50；
x6〈35;
x7〈30;
x8<35;
x9〈50;
x10〈24；
x11<27；
x12〈50;
x13<45；
x14<35；
x15〈35；
x16〈40;
x17〈40；
x18<40;
x19<30；
x20<30;
x21<50；
x22<40；
x23〈30；
x24〈40；
x25<40;
x26〈45；
x27〈30;
x28<30；
x29〈30；
x30<30；
x31<55；
X32〈45；

Global optimal solution found。
Objective value： 63480。00
Total solver iterations: 10

Variable Value Reduced Cost
X1 0。000000 0。000000
X2 30.00000 0。000000
X3 30。00000 0。000000
X4 1.000000 0.000000
X5 50.00000 0.000000
X6 0。000000 10.00000
X7 0.000000 0。000000
X8 0.000000 20。00000
X9 50.00000 0.000000
X10 14.00000 0。000000
X11 0。000000 0。000000
X12 50。00000 0.000000
X13 0。000000 20。00000
X14 35.00000 0.000000
X15 0.000000 10。00000
X16 0.000000 20.00000
X17 0.000000 10.00000
X18 40。00000 0.000000
X19 30.00000 0。000000
X20 30。00000 0.000000
X21 14。00000 0.000000
X22 0.000000 10。00000
X23 0。000000 80.00000
X24 0.000000 0.000000
X25 0.000000 10.00000
X26 8。000000 0.000000
X27 0.000000 40。00000
X28 0.000000 40.00000
X29 0.000000 60。00000
X30 0.000000 60.00000
X31 0.000000 40.00000
X32 0.000000 60.00000

Row Slack or Surplus Dual Price
1 63480.00 -1.000000
2 117。0000 0.000000
3 0。000000 —150.0000
4 0.000000 0.000000
5 0.000000 —180.0000
6 42.00000 0。000000
7 0。000000 —220。0000
8 50.00000 0.000000
9 0.000000 0.000000
10 0。000000 0。000000
11 19。00000 0.000000
12 0。000000 10。00000
13 35.00000 0。000000
14 30.00000 0。000000
15 35.00000 0.000000
16 0。000000 0.000000
17 10.00000 0。000000
18 27。00000 0.000000
19 0。000000 10。00000
20 45.00000 0。000000
21 0.000000 10。00000
22 35.00000 0。000000
23 40。00000 0。000000
24 40。00000 0.000000
25 0.000000 10。00000
26 0。000000 0.000000
27 0.000000 0.000000
28 36.00000 0。000000
29 40。00000 0.000000
30 30.00000 0.000000
31 40。00000 0。000000
32 40.00000 0.000000
33 37.00000 0。000000
34 30。00000 0。000000
35 30.00000 0。000000
36 30.00000 0。000000
37 30.00000 0。000000
38 55.00000 0。000000
39 45.00000 0。000000

min=800*（m11+m21+m61+m71+m81)+700＊（m12+m22+m62+m72+m82)+600＊(m13+m23+m63+m73+m83）;
45＊m11+36＊m12+33*m13>191；
45*m21+36*m22+33*m23〉170;
45*m61+36＊m62+33＊m63>171；
45＊m71+36＊m72+33＊m73>100;
45*m81+36*m82+33＊m83>136;
＠gin（m11）;
@gin(m12）；
@gin（m13)；
＠gin（m21)；
@gin(m22)；
＠gin（m23）;
＠gin(m61）;
@gin（m62）;
@gin（m63）；
＠gin（m71)；
＠gin(m72);
@gin（m73）;
＠gin(m81)；
＠gin（m82）;
＠gin(m83)；
Global optimal solution found。
Objective value： 14200.00
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost
M11 2.000000 800。0000
M21 3。000000 800。0000
M61 3.000000 800。0000
M71 0.000000 800。0000
M81 1.000000 800。0000
M12 1.000000 700.0000
M22 1。000000 700.0000
M62 1。000000 700.0000
M72 1。000000 700.0000
M82 0。000000 700.0000
M13 2。000000 600。0000
M23 0。000000 600。0000
M63 0。000000 600。0000
M73 2。000000 6