三角形的证明测试题1(有答案).doc

三角形的证明测试题1

一、选择题（共11小题；共55分）
1. 已知 △ABC 的三边长分别为 5，13，12，则 △ABC 的面积为 ( )
A. 30 B. 60 C. 78 D. 不能确定

2. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=36∘，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 D，交 AB 于 E，则 ∠BEC 的度数为 ( )

A. 72∘ B. 36∘ C. 60∘ D. 82∘

3. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 5 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30∘ 夹角，这棵大树在折断前的高度为 ( )

A. 10 米 B. 15 米 C. 25 米 D. 30 米

4. 如图所示，已知 AD 是 △ABC 的高，AB=10，AD=8，BC=12，则 △ABC 为   

A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形 D. 不能确定

5. 如图，在 CD 上求一点 P，使它到 OA 、 OB 的距离相等，则 P 点是 ( )

A. 线段 CD 的中点 B. OA 与 OB 的中垂线的交点
C. OA 与 CD 的中垂线的交点 D. CD 与 ∠AOB 的平分线的交点

6. 如图所示，E 是等边 △ABC 中 AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对 △ADE 的形状判断准确的是   

A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 不等边三角形 D. 不能确定形状

7. 在 △ABC 中，下列说法正确的有   
①如果 ∠A:∠B:∠C=3:4:5，则 △ABC 是直角三角形
②如果 ∠A+∠B=∠C，则 △ABC 是直角三角形
③如果 △ABC 的三边之比为 6:8:10，则 △ABC 是直角三角形
④如果 △ABC 的三边长分别是 n2−1,2n,n2+1n>1，则 △ABC 是直角三角形
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

8. 如图，已知直角三角形的两直角边分别为 5 和 12，则斜边上的高是   

A. 125 B. 6013 C. 5 D. 135

9. 如图，△ABC 中边 AB 的垂直平分线分别交 BC，AB 于点 D，E，AE=3 cm，△ADC 的周长为 9 cm，则 △ABC 的周长是 ( )．

A. 10 cm B. 12 cm C. 15 cm D. 17 cm

10. 如图所示，在 △ABC 中，∠A=90∘，BD 平分 ∠ABC，AD=2，AB+BC=8，S△ABC 的值为   

A. 8 B. 4 C. 2 D. 1

11. 下列说法正确的是 ( )
A. 等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
B. 顶角相等的两个等腰三角形全等
C. 等腰三角形一边不可以是另一边的 2 倍
D. 等腰三角形的两个底角相等

二、填空题（共6小题；共30分）
12. 如图，△ABC 中，AB+AC=6 cm，BC 的垂直平分线 l 与 AC 相交于点 D，则 △ABD 的周长为   cm．

13. 如图，∠AOE=∠BOE=15∘，EF∥OB，EC⊥OB，若 EC=1，则 EF=  ．

14. 如图，△ABC 是等边三角形，点 D 为 AC 边上一点，以 BD 为边作等边 △BDE，连接 CE．若 CD=1，CE=3，则 BC=  ．

15. 如图，在 Rt△ABC 中，D，E 为斜边 AB 上的两个点，且 BD=BC，AE=AC，则 ∠DCE 的大小为  ．

16. 如图，在 △ABC 和 △EDB 中，∠C=∠EBD=90∘，点 E 在 AB 上．若 △ABC≌∠EDB，AC=4，BC=3，则 AE=  ．

17. 如图所示，CD 为 Rt△ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交 CD，CB 于点 E，F，FG⊥AB，垂足为 G，则图中与 CF 相等的线段是  ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，分别以 A，C 为圆心，大于 12AC 长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，连接 MN，与 AC，BC 分别交于点 D，E，连接 AE．

Ⅰ ∠ADE=   ∘；
Ⅱ AE   CE（填“ >，<，= ”）
Ⅲ AB=3，AC=5 时，△ABE 的周长是  ．

19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，分别以点 A，C 为圆心，大于 12AC 长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，连接 MN，与 AC，BC 分别交于点 D，E，连接 AE．

Ⅰ 求 ∠ADE；（直接写出结果）
Ⅱ 当 AB=3，AC=5 时，求 △ABE 的周长．

20. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B=90∘，AB=BC=2，AD=1，CD=3．
求 ∠DAB 的度数．

21. 如图所示，在 △ABC 中，∠ABC=∠ACB．

Ⅰ 尺规作图：过顶点 A 作 △ABC 的角平分线 AD；（不写作法，保留作图痕迹）
Ⅱ 在 AD 上任取一点 E，连接 BE,CE．求证：△ABE≌△ACE．

22. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，BD 平分 ∠ABC，AE⊥BC 于 E．求证：AF=AD．

23. 如图，点 A 为线段 BD 上一点，△ABC，△ADE 都是等边三角形，BE 交 AC 于点 M，CD 交 AE 于点 N．求证：

Ⅰ BE=CD；
Ⅱ AM=AN；
Ⅲ MN∥BD．

24. 一船在灯塔 C 的正东方向 8 海里的 A 处，以 20海里/时 的速度沿北偏西 30∘ 方向行驶．

Ⅰ 多长时间后，船距灯塔最近?
Ⅱ 多长时间后，船到灯塔的正北方向?此时船距灯塔有多远?（其中 162−82≈13.92）

25. 如图，AD 是 △ABC 的角平分线，点 F，E 分别在边 AC，AB 上，且 FD=BD．

Ⅰ 求证 ∠B+∠AFD=180∘；
Ⅱ 如果 ∠B+2∠DEA=180∘，探究线段 AE，AF，FD 之间满足的等量关系，并证明．

答案
第一部分
1. A 2. A 3. B 4. A 5. D
6. B 7. C 8. B 9. C 10. A
11. D
第二部分
12. 6
13. 2
14. 4
15. 45∘
16. 1
17. FG，CE

第三部分
18. （1） 90
      （2） =
      （3） 7
19. （1） ∠ADE=90∘．
      （2） ∵ 在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，AB=3，AC=5，
∴BC=52−32=4 ．
∵MN 是线段 AC 的垂直平分线，
∴AE=CE ．
∴△ABE 的周长为 AB+AE+BE=AB+BC=3+4=7．
20. 连接 AC，

在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，AB=BC=2，
所以 ∠BAC=∠ACB=45∘，
所以 AC2=AB2+BC2．
所以 AC=22．
因为 AD=1，CD=3，
所以 AC2+AD2=CD2．
在 △ACD 中，AC2+AD2=CD2．
所以 △ACD 是直角三角形，即 ∠DAC=90∘．
因为 ∠BAD=∠BAC+∠DAC，
所以 ∠BAD=135∘．
21. （1） 如图 AD 即为所求．

      （2）
∵AD 是 △ABC 的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
在 △ABE 和 △ACE 中，
AB=AC,∠BAE=∠CAE,AE=AE,，
∴△ABE≌△ACE SAS．
22. ∵ ∠BAC=90∘，
∴ ∠ADF=90∘−∠ABD．
∵ AE⊥BC 于 E，
∴ ∠AFD=∠BFE=90∘−∠DBC．
∵ BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠ABD=∠DBC，
∴ ∠AFD=∠ADF，
∴ AF=AD．
23. （1） ∵△ABC，△ADE 都是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60∘ .
∴∠CAE=180∘−∠BAC−∠DAE=60∘ .
∴∠BAE=∠CAD=120∘ .
在 △BAE 和 △CAD 中，
AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD.
∴△BAE≌△△CAD SAS .
∴BE=CD．
      （2） ∵△BAE≌△CAD ，
∴∠EBA=∠DCA .
在 △BAM 和 △CAN 中，
∠EBA=∠DCA,∠BAM=∠CAN=60∘,BA=CA,
∴△BAM≌△CAN .
∴AM=AN．
      （3） ∵∠CAE=60∘，AM=AN ，
∴△AMN 为等边三角形.
∴∠AMN=60∘=∠BAC .
∴MN∥BD．
24. （1） 由题意可知，当船航行到 D 点时，距灯塔最近，此时 CD⊥AB．
因为 ∠BAC=90∘−30∘=60∘，所以 ∠ACD=30∘．
所以 AD=12AC=8×12=4（海里）．
而 4÷20=0.2（小时）=12（分），
所以 12 分后，船距灯塔最近．
      （2） 当船到达灯塔的正北方向的 B 点时，BC⊥AC，此时 ∠B=30∘，
所以 AB=2AC=2×8=16（海里），
所以 BC2=AB2−AC2=162−82≈13.92，
即 BC≈13.9（海里）．
而 16÷20=0.8（小时）=48（分），
故 48 分钟后，船到达灯塔的正北方向，此时船距灯塔约 13.9 海里．
25. （1） 在 AB 上截取 AG=AF．

∵AD 是 △ABC 的角平分线，
∴∠FAD=∠DAG．
∵AD=AD，
∴△AFD≌△AGD．
∴∠AFD=∠AGD，FD=GD．
∵FD=BD，
∴BD=GD．
∴∠DGB=∠B．
∴∠B+∠AFD=∠DGB+∠AGD=180∘．
      （2） AE=AF+FD．
过点 E 作 ∠DEH=∠DEA，点 H 在 BC 上．

∵∠B+2∠DEA=180∘，
∴∠HEB=∠B．
∵∠B+∠AFD=180∘，
∴∠AFD=∠AGD=∠GEH，
∴GD∥EH．
∴∠GDE=∠DEH=∠DEG．
∴GD=GE．
∵AF=AG，
∴AE=AG+GE=AF+FD．

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