线性代数公式手册.doc

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目 录
线性代数 1
(一) 行列式 1
(二)矩阵 2
(三) 向量 5
(四)线性方程组 8
(五)矩阵的特征值和特征向量 10
(六)二次型 11

精品资料
线性代数

(一) 行列式

考试内容
对应公式、定理、概念
行列式的概念和基本性质、行列式按行（列）展开定理
行列式按行（列）展开定理
(1)
或
即 其中

(2)设为阶方阵，则
但不一定成立

(4)

但
(6)范德蒙行列式
设A是n阶方阵，是A的n个特征值，则

(二)矩阵

考试内容
对应公式、定理、概念
矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，
矩阵：称为矩阵，简记为则称是阶矩阵或阶方阵.
矩阵的线性运算
1矩阵的加法 设是两个矩阵，则
矩阵称为矩阵 与的和，记为
2矩阵的数乘 设是矩阵，是一个常数，则矩阵称为数与矩阵的数乘，记为.
3矩阵的乘法 设是矩阵，是矩阵，那么矩阵，其中
称为的乘
积，记为
方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，
1三者之间的关系

但
不一定成立，
，
但不一定成立

2有关A*的结论

3)若可逆，则
4)若为阶方阵，则
3有关的结论

矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵等价，分块矩阵及其运算
1有关矩阵秩的结论
1）秩r（A）=行秩=列秩；
2）
3）；
4）
5）初等变换不改变矩阵的秩
6）特别若
则
7）若存在 若存在

若
若
8）只有零解
2分块求逆公式
；
；
；
这里A，B均为可逆方阵

(三) 向量

考试内容
对应公式、定理、概念
向量的概念，向量的线性组合和线性表示，向量的线性相关与线性无关
1有关向量组的线性表示
(1)线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示.
(2)线性无关，，线性相关可以由惟一线性表示.
(3)可以由线性表示
）
2有关向量组的线性相关性
(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.
(2) ① n个n维向量

n个n维向量线性相关

② n+1个n维向量线性相关.
③若线性无关，则添加分量后仍线性无关；
或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关
向量组的极大线性无关组，等价向量组，向量组的秩
1有关向量组的线性表示
(1)线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示.
(2)线性无关，，线性相关
可以由惟一线性表示.
(3)可以由线性表示

向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间及相关概念
1设，则的秩与的行列向量组的线性相关性关系为：
(1)若，则的行向量组线性无关.
(2)若，则的行向量组线性相关.
(3)若，则的列向量组线性无关.
(4)若，则的列向量组线性相关
n维向量空间的基变换和坐标变换，过渡矩阵
1基变换公式及过渡矩阵
若与是向量空间的两组基，则基变换公式为

其中是可逆矩阵，称为由基到基的过渡矩阵
2坐标变换公式
若向量在基与基的坐标分别是
，即
，则向量坐标
变换公式为
其中是从基到基的过渡矩阵
向量的内积，线性无关向量组的正交规范化方法
内积：
Schmidt正交化
若线性无关，则可构造使其两两正
交，且仅是的线性组合，再把
单位化，记，则是规范正交向量组.其中
，

…………………………………

规范正交基，正交矩阵及其性质
1正交基及规范正交基
向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基

(四)线性方程组

考试内容
对应公式、定理、概念
线性方程组的克莱姆法则，奇次线性方程组有非零解的充分必要条件
1克莱姆法则
线性方程组，如果系数行列式，则方程组有唯一解
，其中是把中第列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式.
2 n阶矩阵可逆只有零解.总有唯一解，一般地，
只有零解.
非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构
1设A为矩阵，若，则对而言必有从而有解.
2设为的解，则当时仍为的解；但当时，则为的解.特别为的解；为的解.
3非齐次线性方程组无解不能由的列向量线性表示.
奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解.
1齐次方程组恒有解(必有零解).当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系.
2 是的基础解系，即
(1) 是的解；
(2) 线性无关；
(3) 的任一解都可以由线性表出.
是的通解，其中是任意常数.

(五)矩阵的特征值和特征向量

考试内容
对应公式、定理、概念
矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，
1设是的一个特征值，则
有一个特征值分别为
且对应特征向量相同（
例外）.
2若为的n个特征值，则
从而没有特征值.
3设为的s个特征值，对应特征向量为
，若
则

相似变换、相似矩阵的概念及性质，
1若，则
(1)
(2)
(3)对成立
矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵，
1设为n阶方阵，则可对角化对每个重根特征值，有
2设可对角化，则由有，从而
3重要结论
(1)若，则.
(2)若，则，其中为关于阶方阵的多项式.
(3)若为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩()
实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵
1相似矩阵：设为两个阶方阵，如果存在一个可逆矩阵，使得成立，则称矩阵相似，记为.
2相似矩阵的性质
如果则有
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

(六)二次型

考试内容
对应公式、定理、概念
二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，二次型的秩
1个变量的二次齐次函数
，其中，称为元二次型，简称二次型. 若令
这二次型可改写成矩阵
向量形式.其中称为二次型矩阵，因为，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵的秩称为二次型的秩.
惯性定
理，二次
型的标准
形和规范形
1惯性定理
对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理.
2标准形
二次型经过合同变换化为称为
的标准形.在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由唯一确定.
3规范形
任一实二次型都可经过合同变换化为规范形，其中的秩，为正惯性指数，为负惯性指数，且规范型唯一.
用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定
性
1设正定正定；A可逆；，且
2 ，B正定A+B正定，但AB，BA不一定正定
3 A正定
A的各阶顺序主子式全大于零
A的所有特征值大于零
A的正惯性指数为n
可逆阵P使
存在正交矩阵Q，使
其中正定正定；
可逆；，且

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