数形结合思想在高中数学中的应用.doc

数形结合思想在高中数学中的应用

———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：

9

个人收集整理 勿做商业用途
数形结合思想在高中数学中的应用
数、形是数学中两大基本概念，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。数形结合是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数意义,又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起。“数”和“形”常依一定的条件相互联系，抽象的数量关系常有形象与直观的几何意义，而直观的图形性质也常用数量关系加以精确的描述。我们在研究数量关系时,有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时，又常借助于数量关系去探求。
一、知识整合
1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合,常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数"。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图，见数想图,以开拓自己的思维视野。
二、例题分析
一、 以“形”助“数"
根据给出的“数”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，或根据已给图形分析数的特点，从而化抽象为直观，使解题过程变得简捷直观.教师在教学时要注意树立数形结合的思想，要按照把复杂问题化简单的原则培养学生的空间概念，提高学习兴趣。
二、以“数"助“形”
以“数”助“形”即有关“形”的问题可借助数式的推演，使之量化，从而准确揭示“形"的性质.初中阶段学生对于函数性质的学习,客观的说是有一定的难度的，所以在具体教学中，必须有意识的去体现和解释数学知识中的抽象概念和形象事物之间的联系，提高学生的数学思维。
三、数形结合在函数中的应用
函数是考查数形结合思想的良好载体，对函数的图象除了要求熟练掌握常见的函数图象外，还应加强对函数与方程、函数与曲线的区别与统一，善于发现条件的几何意义，刻画出相应的图形,还要根据图形的性质分析数学式的几何意义，这样才能巧妙地利用数形结合解决问题.
四、 数形结合在不等式中的应用
有些不等式问题，当用代数方法讨论较繁时，利用图形将代数问题转换成几何问题,合几何知识探求，也是一种解决的方法.
例1　如图，已知二次函数的图象经过点A和点B.
（1） 求该二次函数的表达式；
(2） 写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3) 点P（)与点Q均在该函数图象上(其中),且这两点关于抛物线的对称轴对称，求的值及点Q到轴的距离。
[解析］(1)观察图象,得A（—1，-1),B（3,-9）。

·

·
－1
A
O
－1
3
得方程组解得
∴该二次函数的表达式为。
(2）对称轴为;顶点坐标为（2，-10).
－9
(3)将（)代入表达式，解方程得。
B
∵, ∴。∵点P与点Q关于对称轴对称，
∴点Q到轴的距离为6.
例2。

分析：

例3。
分析：
构造直线的截距的方法来求之。

截距。

例4。
分析:

例5
解法一（代数法）：，

解法二（几何法）：

例6已知：　的解集为空集，则实数的取值范围（　　）.

[解析］构造函数： 和，要使的解集为空集，只需的图象比的图象高即可，由图可知：。
5
x
-2
2
O
4
6
8
y
图2.3.2

［点评］ 这道题目是已知不等式的解集求参数，是考察不等式解法的逆向运用。解这道题的一般思路是对进行分类讨论，去绝对值再多次解不等式，出错机会大，花费时间多.如果应用函数图形解则既简洁又直观。
三、总结提炼
数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。
四、强化训练
选择题：
1。 方程的实根的个数为（ ）
A。 1个 B. 2个 C。 3个 D. 4个
2。 函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A。 B.
C。 D。
3。 设命题甲：，命题乙:，则甲是乙成立的（ ）
A。 充分不必要条件 B。 必要不充分条件
C. 充要条件 D。 不充分也不必要条件
4. 适合且的复数z的个数为（ )
A。 0个 B. 1个 C。 2个 D。 4个
5. 若不等式的解集为则a的值为（ ）
A. 1 B。 2 C。 3 D。 4
6。 已知复数的最大值为（ ）
A. B。 C. D。
7。 若时，不等式恒成立,则a的取值范围为（ )
A。 （0，1) B。 （1，2） C。 (1，2］ D. ［1，2］
8。 定义在R上的函数上为增函数,且函数的图象的对称轴为，则（ ）
A。 B。
C. D.
填空题：
9. 若复数z满足，则的最大值为___________。
10. 若对任意实数t，都有，则、由小到大依次为___________。
11。 若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________。
12。 函数的最小值为___________。
13。 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________.
解答题：
14。 若方程上有唯一解,
求m的取值范围.