沪教版高一数学3.1函数的基本概念讲义(无答案).doc

沪教版高一数学3.1 函数的基本概念 讲义（无答案）
第九讲：函数的概念

【引例】下面我们举例对函数关系作进一步的分析，以便引入更为确定的语言来表达函数概念.
（1）在研究学生好奇心指标随年龄增长的变化规律时，通过某次实验得到的数据如图所示.

在这个图像中，给定10~15岁的每一个年龄（以岁为单位），就对应一个好奇心指标.
你能这个图中了解到哪些信息？
（2）农业科学家研究玉米的生长过程，把生长过程分为31个时间段，通过实验得到了各时间段与植株高度之间的相关数据，如图.

在玉米生长的31个时间段内，给定生长的某个时间段，就可从这张图中查到与这个时间段相应的玉米植株的高度.
（3）下表列出了我国从1998年到2002年，每年的国内生产总值.
年份
生产总值（亿元）
1998
78 345
1999
82 067
2000
89 442
2001
95 933
2002
102 398
在这张表中给定1998年到2002年中的任一年，都可从表中查到当年的国内生产总值.
（4）电路中的电压，电流与电阻之间的变化规律，用欧姆定律表示，即
.
这个公式表明，在电路中，电压（）不变，电流（）与电阻（）的变化成反比例关系只要测出电路中的电阻值，就可由上述公式计算出唯一的电流值.
1.什么是函数？试评注函数的要素.
如果在某个变化的过程中有两个变量，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某种对应法则，都有唯一确定的值和它对应，那么就是的函数，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，和对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，是的函数，记作.
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
[探究]　若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？
提示：不一定．如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y＝sin x与y＝cos x，其定义域都为R，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数．
常见基本初等函数的定义域：(1)分式函数中分母不等于零。(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0。 (3)一次函数、二次函数的定义域均为R。 (4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. (5) y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． (6)y＝tan x的定义域为. (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．
3．相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．
例1求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）.

练习1 （1）； （2）； （3）.

例2 判断下列各题两函数是否为同一函数？
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
练习2判断下列各题两函数是否为同一函数？
（1），；
（2），；
（3），.
练习3 有以下判断：
(1)f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数．
(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个．
(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数．
(4)若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.
其中正确判断的序号是________．

例3求函数，，在处的函数值和值域.

练习4 设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示定义域为M，值域为N的函数关系的有________(填序号)．

例4（1）若是一次函数，且，，求的解析式；
（2）已知函数，求；
（3）已知函数，求.

练习5（1）已知，求，；
（2）已知，求；
（3）已知，求.

课堂练习
（1）判断下列曲线所确定的与之间的关系，哪些是函数关系

（1） （2） （3） （4）
（2）作出下列函数的图像并求出其值域：
① ，； ② ； ③ .

（3）设是任意的一个实数，是不超过的最大整数，试问和之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图像.

复合函数的定义域和值域 问 什么是复合函数？
[说明]（1）复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。
（2）称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。
（3）与表示不同的复合函数。
（4）若的定义域为，则复合函数中，．注意：的值域.
例5已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于(　　)
A. B.
C．2 D．9

练习6 设函数，求．

练习7 （1）若函数的定义域是，求的定义域；

（2）若的定义域是，求函数的定义域；

（3）已知定义域是，求定义域.

（4）已知函数定义域是，求实数的取值范围.

练习8 已知函数定义域是，求的定义域.

【试总结复合函数求定义域的题型和方法】
例6（1）已知 求；

（2）已知 ，求.

练习9（1）已知 ，求；

（2）已知，求.

（3）设函数的定义域为，则函数的定义域为 ；函数的定义域为________；

（4）若函数的定义域为，则函数的定义域是 ；函数的定义域为 。

（5）知函数的定义域为，且函数的定义域存在，求实数的取值范围。

【试总结复合函数求解析式的题型和方法】
例7（1）已知是一次函数，满足，求；

（2）已知，求.

练习10（1）已知，求和；

（2）已知，求.
（3）设的定义域是，求的定义域.

练习11 (1)已知f(＋1)＝x＋2，求出f(x)的解析式．

(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，试求出f(x)的解析式．

问 什么是分段函数？试总结几种常见的分段函数类型.
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
例8 设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程
f(x)＝x的解的个数为________．

练习12 写出下列函数的解析式并作出函数的图像：
（1）设函数，当时，；当时，；
（2）设函数，当时，；当时，；当时，

例9已知函数，满足，且，.
求，，，，.

练习13已知一个函数的定义域为区间，当时，对应法则为，当时，对应法则为，试用解析法与图像法分别表示这个函数.

练习14已知函数，
（1）求，，的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若，求实数的取值范围.

练习15（1）设定义在上的函数，求的值.
（2）定义新运算：当时，；当时，.
函数，，，求实数的值.

课堂练习
1. 若函数的定义域是，则函数的定义域是_______________.

2. 作出下列函数的图像：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）.
3. 已知自变量与因变量之间有下列关系，写出函数表达式，并作出各函数的图像：
（1）； （2）.
4.（1）已知函数，满足，且，，求，，.
（2）已知函数，满足，且，，求，，，.

5. 作函数的图像，并求，，，.

6. 某学生离开家去学校,为了锻炼身体,开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.图中轴表示离学校的距离，轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是 （ ）

7. 已知函数，若，求的值.
11. 记为中的最小者，设，若，求.

9．下列各组中的两个函数是同一函数的为________(填序号)．
①y1＝，y2＝x－5；
②y1＝，y2＝；
③f(x)＝x，g(x)＝；
④f(x)＝，F(x)＝x；
⑤f1(x)＝()2，f2(x)＝2x－5.
10．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点数目是________．
11．已知f(x)＝若f(x)＝3，则x的值为________．
12．函数y＝的定义域为________．
13．设f(x)＝，g(x)＝，则f[g(3)]＝________，g[f(－)]＝________.
14．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝______.
15． (1)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)的表达式；

(2)若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x)的表达式；

(3)若函数f(x)＝，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的表达式．

作业
1. 函数的定义域为_______________.
2. 设是一次函数，且，则.
3. 函数的定义域是，则其值域是_______________.
4. 若，为一个正常数，且，则.
5. 若已知函数，，分别由下表给出：

1
2
3

1
3
1

1
2
3

3
2
1
则的值__________________；满足的的值__________________.
6. 下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
A．与； B．与；
C．与； D．与；
7. 若，则下列等式成立的是 （ ）
A．； B．； C．； D．.
8. 已知，，求的解析式.

9. 已知函数，
（1）求，的值； （2）求的值； （3）求的解析式.

10. 已知函数的定义域为，求（）的定义域.

11. 已知函数的定义域为，求（）的定义域.

12. 设函数的定义域为，且，求函数的定义域.

13. 已知的定义域为，求的定义域.
14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是_______________.
15. 若的定义域是，则的定义域是_______________.
16. 设函数定义域是，求函数的定义域.
17. 已知函数，又知，则.
18. 已知函数，又知，则.
19 已知函数，，求.

20 已知，求的解析式.

21. 已知二次函数满足，且，求.

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