《复变函数》考试试题与答案(一).doc

《复变函数》考试试题（一）
一、 判断题（20分）：
1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )
2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )
3.若收敛，则与都收敛. ( )
4.若f(z)在区域D内解析，且，则（常数）. ( )
5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )
6.若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点. ( )
7.若存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )
8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则. ( )
9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.
( )

10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（ ）
二.填空题（20分）
1、 __________.（为自然数）
2. _________.
3.函数的周期为___________.
4.设，则的孤立奇点有__________.
5.幂级数的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若，则______________.
8.________，其中n为自然数.
9. 的孤立奇点为________ .
10.若是的极点，则.
三.计算题（40分）：
1. 设，求在内的罗朗展式.
2.
3. 设，其中，试求
4. 求复数的实部与虚部.
四. 证明题.(20分)
1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.
2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值.
《复变函数》考试试题（一）参考答案
一． 判断题
1．×2．√　３．√　４．√　５．√ 　6．√　７．×８．×９．×10．×
二．填空题
1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 1
6. 整函数； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. .
三．计算题.
1. 解 因为 所以
.
2. 解 因为
,
.
所以.
3. 解 令, 则它在平面解析, 由柯西公式有在内,
.
所以.
4. 解 令, 则
.
故 , .
四. 证明题.
1. 证明 设在内.
令.
两边分别对求偏导数, 得
因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为
. 消去得, .
1) 若, 则 为常数.
2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .
所以. (为常数).
所以为常数.
2. 证明的支点为. 于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.
由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有的幅角增加. 所以
的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在的幅角为, 故.