高数一 多元函数积分学复习课2.pdf

多元函数积分学复习课A JJ I j m*HHI一、内容提要 二、例题选解-；-;-;-首页 上页 返回 下页 结束 铃内容提要:二重积分的定义“ny）dcr=lim（晶力）40jJ 40；iD 1=1以闭区域。为底，曲面z/：x,y)为顶的曲顶柱体的体积为V=U*x,y)do.D占有闭区域面密度为pfcy)的平面薄片的质量为 M=y)db.D平面薄片的质心坐标为内容提要:二重积分的性质:性质1设.、Q为常数，则qjf f(x.y)da+c2 g(见 y)dcr.jj q/(x,y)+c2g(%,y)da=D D D:性质2如果闭区域。被一条曲线分为两个闭区域。1与。2,则a=ff/(x)db+jj fHy)do.DM d2:性质3 JJl.4cr=JJdcr=cr(cr 为。的面积).D D内容提要:二重积分的性质:性质4如果在。上，次 y）g（%9 y则有不等式JJ/(%y)dcr v JJ g(x,y)dcrDD:性质5设、机分别是/（九y）在闭区域。上的最大值和最小值,防。的面积,则有mafy）daMa.D:性质6（二重积分的中值定理）设函数y）在闭区域。上连续，。为。的面积,则在。上至少存在一点6）使得D内容提要:化二重积分为二次积分 如果。是X型区域：。=(%,2a)，小夕4,则JJ f(x,y)da=fJ：于(x,y)dyVx.D 6”如果。是丫型区域：。=(九 cy=0.D(2)若 f(-x,y)=J(x,y),则 JJ/(%,y)da=2jj f(x,y)da,D D其中2为。在y轴右半部分.提示：/(x,y)dx)f(x,y)dx 司 XA0/(羽 y)b=f dyj：D ajp(x,y)db=gy内容提要:利用极坐标计算二重积分坐标变换公式：x=pcos0 y=夕 sin。面积元素：do=pdpdO如果积分区域可表示为。:%（兆正心（仇 屋任以则J a J 1（，），夕 sin。）pdp内容提要:曲面的面积设曲面2：z=/3 y),(兀则上的面积为内容提要:三重积分的定义:三重积分的物理意义设物体占有空间区域Q,体密度为夕=夕(%,y,z),则物体 的质量为M=jjj/?(x,y,z)加Q物体的质心坐标为彳=5 3卬入 了=2 jp ypdV，彳=2 3内容提要:三重积分计算之投影法则设积分区域。：(x,y)z内容提要:对弧长的曲线积分设光滑曲线弧L的参数方程为X=%),y=y(t)(at/3),则有7 处、2/dy、2 7ds=()+(一)dtV dt dtf/(x,y)ds=y(t)J()2+(空尸力Jl Ja V dt dt内容提要:对坐标的曲线积分设L:x=x(t y=y(t),起点和终点对应的参数分别为新1以 则有J P(X,y)dx+Q(x,y)dy=Px(t),y(t)dx(t)+Qx(t),y(t)dy(t):格林公式.设闭区域。由分段光滑的曲线围成,函数P月及。（%,月内容提要:格林公式的应用设P(x,y),e(x,y)在单连通区域D内具有连续偏导数,则 在。内下列条件等价：名=吆；dy dx(2)曲线积分上尸。)办+。)办与路径无关；(3)存在函数M(x,y),使du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.函数W(x,y)的计算公式u=C+%)Pdx+Qdy,C=u(x0,y0).例题选解例1改换I的积分次序，并化I为极坐标形式的二次积分:,2 r2x-x2，=Jo 去 Jo解积分区域。如图示，表示为丫型区域：0 y 1,1 Jl-J V x V1+y/=y）公JO Jl-y/l-y提示：y=2x-x2(x-1)2=l-y nx=l Jl-y首页 上页 返回 下页 结束 知识点例题选解例1改换I的积分次序，并化I为极坐标形式的二次积分：,2 r2x-x2J。J。|y/y=2x解 积分区域。如图示,表示为。型区域：/y=2x-Y00 arctan2,0 p(2-tan0)sec0/=jj/(夕 cos。,/?sin OpdpdO D-X/arctan 2/(2-tan 9)sec 0=J dg f(p cos 0,p sin 0)pd p提示：抛物线y=2x-x2在点(0,0)处的切线方程为y=2x,7y=2x-x npsin。=2夕cos。一(夕cos。)n/7=(2-tan/9)sec/9首页 上页 返回 下页 结束 知识点例2计算JXJdy提示：Jdy的计算较繁,考虑改换积分次序.i+y解 积分区域。如图示，表示为侬区域:D:0 y 1,0 xy.ptZ xf1*rdy=dyVdx 11-1 dy=-ln(l+y3)=-In23l Jo 3Jo Jjq+y3 J Jo Jo+y3二1iy=i二XoX首页 上页 返回F页 结束 知识点3例3设区域0：OKywTlTx2,计算1=2/2 2sin3 OdO.o+-1+夕2)dp一 112 p3 71 8一-p+arctan p-3 3 n 3 9一，u首页上页返回下页结束知识点例4已知曲面心与曲面“，它们的方程为：2=12 一,2,%：2=(1)求两曲面所围成的立体。的体积V；求立体。的部分的表面积A.解。在Oy面的投影区域为D.x1+y2-tz2 2 _V=jj(也2_%2_、2 _+/)dxdyD=Jo d。Jo QJ-p-p)pdp=2m _g(2_p2)3/2-a!也3竺显兀/首页 上页 返回o 3下页 结束 知识点例4已知曲面心与曲面“，它们的方程为1:z=yja1 2-x2-y2.Y2:z=y/x2+y2.p1 z Sz、2/Sz、2 7 71+(丁)+(t-)dxdy=ex cy(1)求两曲面所围成的立体。的体积%(2)求立体。的部分的表面积A.解 与：z=标3/,(羽y)eDD:x2+y2-tz22Adxdy=(2 首页 上页 返回 下页 结束 知识点例5求常密度物体的质心，设物体占有空间区域Q:0 z-x22-y角星 x=y=Ov=dv=L de.pdp.Q2dz=JJJJz4式 pdpQa-p2zdz 2a一716Qz=fff zdv=V咽 3物体的质心坐标为(0,0,)首页 上页 返回 下页 结束 知识点例6已知L为圆周x2+y2=2ax(a0),计算J/解1利用圆的标准参数方程来计算.L:x=a(l+cost y=asint,0t 2tc.ds=5y(sin7)T(acosZ)dt=adty/x2+y2=J2ax=2a2 Q+cost)例6已知L为圆周x2+y2=2ax（a0）,计算J/解2利用圆的极坐标方程来计算.L:p=2cosa 0=24.3,二=出4 2 2 2首页 上页 返回 下页 结束 知识点例8验证曲线积分J；o；(%2-y)dx-(x+sin2 y)dy 与路径无关,并计算积分值.解记 P=x2-y,Q=一(x+sin2 y),=T返=-1-dy dx.空=K,所以曲线积分与路径无关.dy dxA(U)oxr(M)J(O,O)(x2-y)dx-(x+sin2y)dy=J：dx J：(1+sin2 y)dysin 2 7-46首页 上页 返回 下页 结束 知识点