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期中复习期中复习2024/5/22 周三1三三角角形形三边都不相等的三角形三边都不相等的三角形等腰三角形等腰三角形底边和腰不相等的底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做相接所组成的图形叫做三角形三角形按边的关系2024/5/22 周三2三三角角形形锐角三角形锐角三角形直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形按角的关系2024/5/22 周三3三角形两边的和大于大于第三边三角形两边的差小于小于第三边已知一个三角形的两条边长分别为3cm和9cm，你能确定该三角形第三条边长的范围吗？解：设第三条边长为a cm,则 9-3a9+3 即6a122024/5/22 周三4下列长度的三条线段能否组成三角形？（1）3，4，8（2）6，2，5（3）5，6，10（4）5，6，11不能能能不能2024/5/22 周三5三角形的高三角形的高从三角形的一个顶点从三角形的一个顶点 向它的对边向它的对边所在直线作垂线所在直线作垂线，顶点顶点 和垂足和垂足之间的线段之间的线段 叫做叫做三角形这边的高，三角形这边的高，简称简称三角形的高。三角形的高。如图如图,线段线段ADAD是是BCBC边上的高边上的高.AB BC CD2024/5/22 周三6直角三角形的三条高直角三角形的三条高A AB BC C直角边直角边BCBC边上的高是边上的高是_;_;ABAB直角边直角边ABAB边上的高是边上的高是 ;CBCBD D斜边斜边ACAC边上的高是边上的高是_._.BDBD直角三角形的三条高直角三角形的三条高交于直角顶点交于直角顶点.2024/5/22 周三7拓展练习拓展练习2 2、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形锐角三角形 B.直角三角形直角三角形 C.钝角三角形钝角三角形 D.锐角三角形锐角三角形1 1、下列各组图形中下列各组图形中，哪一组图形中哪一组图形中AD是是ABC 的高的高()A AD DC CB BA AB BC CD DA AB BC CD DA AB BC CD D(A A)(B B)(C C)(D D)BD2024/5/22 周三8三角形的中线三角形的中线在在三角形中三角形中,连接一个连接一个 顶点与它对边中点的线段顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线叫做这个三角形这边的中线.ABCDAD是是 ABC的中线的中线BD=CD=12BC三角形的三条中线相交于一点三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部交点在三角形的内部.EFO（中线的定义）（中线的定义）2024/5/22 周三9三角形的角平分线三角形的角平分线叫做三角形的角平分线。叫做三角形的角平分线。ABCDAD是是 ABC的角平分线的角平分线 BAD=CAD=BAC在三角形中，一个在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段这个角的顶点与交点之间的线段,（角平分线的定义）（角平分线的定义）2024/5/22 周三10例例1 1、点、点D是是ABC的的BC边上的一点。边上的一点。BD=CD，线段线段AD是是ABC的的_ _ BAD=CAD，线段线段AD是是ABC的的_ADC=90，线段线段AD是是ABC的的_中线中线角平分线角平分线高高例题讲解例题讲解2024/5/22 周三11已知：AD,AM分别是ABC的高和角平分线，B=60，C=40求：MAD的度数.ABCDM2024/5/22 周三12三角形具有稳定性，三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性三角形木架的形状不会改变,而四边形木架的形状会改变.具有稳定性不具有稳定性不具有稳定性具有稳定性具有稳定性不具有稳定性练习下列图形中哪些具有稳定性下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说法正确的是()A、稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的B、稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值C、稳定性和不稳定性均有利用价值D、以上说法都不对C练习3vEvAvEvFvBvCvEvBv3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EFv固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是()vA,两点之间线段最短vB矩形的对称性vC矩形的四个角都是直角vD三角形的稳定性vDD三角形内角和定理三角形内角和定理:三角形的内角和等于三角形的内角和等于1801800 0.即在即在ABC中，中，A+B+C=180 CBA 直角三角形中，两锐角互余。直角三角形中，两锐角互余。即在直角即在直角 A B C 中，若中，若C=90，则则A+B=90。有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形3.ABC中,若ABC,则ABC是()A、锐角三角形B、直角三角形 C、钝角三角形D、等腰三角形4.一个三角形至少有（）A、一个锐角 B、两个锐角 C、一个钝角 D、一个直角BB巩固练习ABC已知ABC中,ABCC=2A,BD是AC边上的高，求DBC的度数。D解：设Ax0，则ABCC2x0 x2x2x180（三角形内角和定理）解得x36C2360720DBC1800900720（三角形内角和定理）在BDC中，BDC900(三角形高的定义）DBC180?例题讲解例题讲解1 15.如图ABC中,CD平分ACB,DEBC,A70,ADE50,求BDC的度数.ABCDE解:A70 ACB=180-A-B=180-70-50=60DE/BCB=ADE50 CD平分ACB巩固练习ACB1D外角定义：外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角角叫做三角形的外角.DABC三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。角的和。ACD=A+B2024/5/22 周三23ABC123三角形的外角和等于三角形的外角和等于36036012 3 360总结总结:2024/5/22 周三246.如图所示如图所示,1=_.14014080801 1120 8.已知等腰三角形的一个外角为已知等腰三角形的一个外角为150,则它的底则它的底角为角为_.30 或或75 2024/5/22 周三25不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做所组成的图形叫做三角形三角形三角形三角形 长方形长方形 六边形六边形 四边形四边形 八边形八边形在平面内，由若干条不在同一条直线在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的图形叫上的线段首尾顺次相连组成的图形叫做做多边形多边形。多边形的定义2024/5/22 周三周三26想一想：想一想：在平面内，内角都相等，边也都在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做相等的多边形叫做正多边形正多边形等边三角形等边三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形2024/5/22 周三周三27对角线对角线对角线对角线ABCDE读出图中所有的对角线读出图中所有的对角线对角线：连接多边形对角线：连接多边形不相邻不相邻的两个顶点的线段。的两个顶点的线段。2024/5/22 周三28n边形有边形有_个顶点，个顶点，_条边，条边，_个内角，个内角，_个外角，个外角，_条对角线。条对角线。总结总结1nnn2n2024/5/22 周三29 n n边形从一个顶点出发的对角线条边形从一个顶点出发的对角线条数为数为：条条(n3)(n3)n n边形共有对角线边形共有对角线 条条(n3)(n3)总结总结2(n3)2024/5/22 周三301、下列命、下列命题中正确的是（中正确的是（）A、各角都相等的多、各角都相等的多边形是正多形是正多边形形 B、各、各边都相等的多都相等的多边形是正多形是正多边形形 C、经过多多边形的一个形的一个顶点可引（点可引（n-2）条）条对角角线 D、正方形是正多、正方形是正多边形形2、九、九边形的形的对角角线有（有（）A、25条条 B、31条条 C、27条条 D、30条条3、十二、十二边形共有形共有 条条对角角线，过一个一个顶点可作点可作 条条对角角线，可把十二可把十二边形分成形分成 个三角形。个三角形。4、过n边形的一个形的一个顶点的所有点的所有对角角线，把多，把多边形分成形分成 8个三角个三角形，形，则这个多个多边形的形的边数是数是_。5、过m边形的一个形的一个顶点有点有7条条对角角线，n边形没有形没有对角角线，k边形有形有2条条对角角线，则m=；n=；k=；mn=。课后练习课后练习D DC C101054549 9101010103 34 47 72024/5/22 周三31课后练习课后练习6、一个多边形的对角线的条数等于它的边数的、一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多倍，求这个多边形的边数。边形的边数。解：设这个多边形的边数是解：设这个多边形的边数是n n，则对角线的，则对角线的条数是条数是4n4n4n=n(n-3)4n=n(n-3)2 2解得：解得：n=11n=11答：这个多边形的边数是答：这个多边形的边数是11.11.2024/5/22 周三周三32n边形内角和公式的应用边形内角和公式的应用 B ACDGFEn n边形内角和边形内角和=(n=(n2)2)1801802024/5/22 周三周三33（1）十二边形的内角和是多少？）十二边形的内角和是多少？解解：（：（12-2）180 =10 180 =1800 答：十二边形的内角和为答：十二边形的内角和为1800 练一练练一练2024/5/22 周三周三34(2)一个多边形的内角和为一个多边形的内角和为2700，求它的边数。，求它的边数。解解：设这是一个：设这是一个n边形，根据题意得：边形，根据题意得：（n-2）180=2700 解得：解得：n=17答：它的边数为答：它的边数为17.2024/5/22 周三周三35n边形外角和边形外角和=结论：结论：n n边形的外角和等于边形的外角和等于360360-(n-2)180=360 A1E BCD 2 3 4 5F nn n个平角个平角-n-n边形内角和边形内角和=n180 361.求下列图形中x的值：(1)(2)(3)CABDE(4)ABCD做一做做一做 37回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？每个内角的度数是每个内角的度数是每个外角的度数是每个外角的度数是38能够完全重合的两个图形叫做能够完全重合的两个图形叫做全等形全等形:全等图形的特征全等图形的特征全等全等图形的形的形状形状和和大小大小都相同都相同小结：能够完全重合的两个三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。叫做全等三角形。41全等三角形的性质：全等三角形的性质：全等三角形的全等三角形的对应边对应边相等相等全等三角形的全等三角形的对应角对应角相等相等图形参考图形参考42一、全等三角形一、全等三角形证明全等的方法有：证明全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）（直角三角形）注意：注意：不要忘记不要忘记公共角公共角、公共边公共边、对顶角对顶角这些隐含这些隐含条件条件2024/5/22 周三432024/5/22 周三44ABCABC三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等.(简写成简写成“边边边边边边”或或“SSS”)如何用符号语言来表达呢如何用符号语言来表达呢?结结论论 A=_ B=_ C=_2024/5/22 周三45准备条件：准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；证全等时要用的间接条件要先证好；三角形全等书写三步骤：三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论写出全等结论证明的书写步骤：证明的书写步骤：2024/5/22 周三46 如图，如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：求证：AEB ADC。证明：证明：BD=CE BD-ED=CE-ED，即即BE=CD CABDE在在AEB和和ADC中，中，AB=AC（已知）（已知）AE=AD（已知）（已知）BE=CD（已证）（已证）AEB ADC (sss)2024/5/22 周三47构造公共边是常添的辅助线构造公共边是常添的辅助线分析：要证两角获两线段相等，常先证这两角分析：要证两角获两线段相等，常先证这两角或两线段所在的两三角形全等，从而需构造全或两线段所在的两三角形全等，从而需构造全等三角形。等三角形。2024/5/22 周三48两角一边呢 有两边和它们的有两边和它们的夹角夹角对应相等的对应相等的 两个三角形全等两个三角形全等.可以简写成可以简写成 “边角边边角边”或或“SAS”边角边公理边角边公理2024/5/22 周三49在在ABCABC和和FDEFDE中中AB=FDAB=FDB=DB=DBC=DEBC=DE ABCFDE ABCFDE（SASSAS）数学符号数学符号2024/5/22 周三50证明三角形全等的步骤：证明三角形全等的步骤：1.1.写出在哪两个三角形中证明全等。写出在哪两个三角形中证明全等。（注意把表示对应顶点的字母写在对应（注意把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）的位置上）.2.2.按边、角、边的顺序列出三个条件，按边、角、边的顺序列出三个条件，用大括号合在一起用大括号合在一起.3.3.证明全等后要有推理的依据证明全等后要有推理的依据.2024/5/22 周三51 练习：练习：3.3.已知：如图，已知：如图，AB=AC AB=AC AD=AE.AD=AE.求证：求证：ABE ABE ACDACD.证明证明:在在ABE ABE 和和ACD ACD 中，中，AB=AC（已知），（已知），AE=AD（已知），（已知），A=A（公共角），（公共角），ABE ACD（SAS）.BEACD2024/5/22 周三52练习二练习二 1.已知已知：如图，点如图，点E，F在在BC上，上，BE=CF，AB=DC，B=C.求证：求证：A=D.2024/5/22 周三53 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角边角”或“ASA”）角角边边角角定定理理2024/5/22 周三54 符号语言符号语言2024/5/22 周三55如图：点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,B=C.求证AD=AE.2024/5/22 周三56 有两个角及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等。(简写成“角角边”或“AAS”）2024/5/22 周三57符号语言符号语言2024/5/22 周三58例例2.已知，如图，已知，如图，1=2，C=D 求证：求证：AC=AD 在在ABD和和ABC中中1=2 （已知）（已知）D=C（已知）（已知）AB=AB（公共边）（公共边）ABDABC（AAS）AC=AD （全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）证明：证明：1259斜斜边、直角、直角边公理公理(HL)ABCA BC 在RtABC和Rt 中AB=BC=RtABCC=C=90斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.60例题例题1：如图：如图：ACBC，BDAD，AC=BD.求证：求证：BC=AD.共共 同同 学学 习习ABCDO在在Rt ACB和和Rt BDA中中,则则 AB=BA（共公边）（共公边）AC=BD.(已知）已知）Rt ACB Rt BDA(HL).BC=AD(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等).证明：证明：ACBC，BDAD D=C=902024/5/22 周三61AB BCED2024/5/22 周三62角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等边的距离相等角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。2024/5/22 周三63二、角平分线二、角平分线（一）、性质（一）、性质AP平分平分BAC（或者（或者BAP=CAP），），PDAB，PEACPD=PE（二）、判定（二）、判定PD=PE，PDAB，PEACAP平分平分BAC2024/5/22 周三64n如图，在中，中，C=90，AD平分平分BAC，CD=4cm,BD=6cm,那么点那么点D到直线到直线AB的距离是？的距离是？ACBDE4CM2024/5/22 周三652 2、如图，点、如图，点D D、B B分别在分别在A A的两边上，的两边上，C C是是A A 内一点，且内一点，且ABABADAD，BCBCDCDC，CECEADAD，CF CFABAB，垂足分别为，垂足分别为E E、F F，求证：求证：CECECFCF。2024/5/22 周三66如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。ABCEFD2024/5/22 周三67定义定义 如果_沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够_,这个图形叫做_.这条直线就是它的_.一个图形一个图形互相重合互相重合轴对称图形轴对称图形对称轴对称轴2024/5/22 2024/5/22 周三周三6868定义定义1.把_沿着某一条直线折叠,如果它能够与_图形_,那么就说这两个图形_或者说这两个图形成轴对称。2.同样,我们把这条直线叫做_.3.折叠后重合的点是对应点,叫做_.一个图形一个图形另一个另一个重合重合关于这条直线对称关于这条直线对称对称轴对称轴对称点对称点2024/5/22 2024/5/22 周三周三6969垂直平分线：垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线2024/5/22 周三70成轴对称的两个图形的性质：成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂何一对对应点所连线段的垂直平分线即对称点所连线直平分线即对称点所连线段被对称轴垂直平分；段被对称轴垂直平分；对称对称轴垂直平分对称点所连线段轴垂直平分对称点所连线段 ABCMNPABC71轴对称图形的性质：轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线一对对应点所连线段的垂直平分线 ABlAB直线l 是线段AA，BB的垂直平分线72C1ABCA1B1m轴对称的性质轴对称的性质:1.成轴对称的两个图形全等（对应角相等成轴对称的两个图形全等（对应角相等,对应边相等）对应边相等）73mC1ABCA1B1轴对称的性质轴对称的性质2如果两个图形成轴对称，那么对称轴是如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线段的对称点连线段的垂直平分线垂直平分线74线段的垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。75三、垂直平分线三、垂直平分线（一）、性质（一）、性质CD垂直平分垂直平分ABCA=CB,DA=DB,OA=OB（注意不是平分角）（注意不是平分角）（二）、判定（二）、判定CA=CB点点C在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上DA=DB点点D在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上CD垂直平分线段垂直平分线段AB2024/5/22 周三762.2.如图，若如图，若AC=12AC=12，BC=7BC=7，ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于E E，交，交ACAC于于D D，求，求BCDBCD的周长的周长.D DC CB BE EA A【解析解析】EDED是线段是线段ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，BCDBCD的周长的周长=BD+DC+BC=BD+DC+BC BCD BCD的周长的周长=BD=ADBD=AD，AD+DC+BCAD+DC+BCAC+BCAC+BC12+7=19.12+7=19.2024/5/22 周三771 1、如图所示，、如图所示，AC=ADAC=AD，BC=BDBC=BD，ABAB与与CDCD相交相交于点于点E E。求证：直线。求证：直线ABAB是线段是线段CDCD的垂直平分的垂直平分线。线。2024/5/22 周三78点（点（x,yx,y）关于关于x x轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为_.点（点（x,yx,y）关于关于y y轴对称的点轴对称的点的坐标为的坐标为_.(x,(x,y)y)(x,y)x,y)1.1.点点P(-5,6)P(-5,6)与点与点Q Q关于关于x x轴对称，则点轴对称，则点Q Q的坐标为的坐标为_._.2.2.点点M(a,-5)M(a,-5)与点与点N(-2,b)N(-2,b)关于关于x x轴对称，则轴对称，则a=_,b=_.a=_,b=_.(-5,-6)(-5,-6)-2-25 5【跟踪训练跟踪训练】3.3.点点P(-3,2)P(-3,2)与点与点Q Q关于关于y y轴对称，则点轴对称，则点Q Q的坐标为的坐标为_._.4.4.点点M(a,-6)M(a,-6)与点与点N(-2,b)N(-2,b)关于关于y y轴对称，则轴对称，则a=_,a=_,b=_.b=_.(3,2)(3,2)2 2-6-61.B=C（等边对等角）（等边对等角）2.BD=CD4.ADB=ADC=903.BAD=CADAD 为底边上的中线为底边上的中线AD为顶角平分线为顶角平分线AD为底边上的高为底边上的高如图：如图：ABC为等腰三角形，为等腰三角形，D是是BC的中点，的中点，连接连接AD。你能得出什么结论？。你能得出什么结论？三线合一三线合一等腰三角形的判定方法等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等如果一个三角形有两个角相等,那么这两个那么这两个角所对的边也相等角所对的边也相等(简写成简写成“等角对等边等角对等边”)ABC应用格式:在在ABC中中 B=C AB=AC（等角对等边等角对等边）知识回顾知识回顾:1.等边三角形的三边都相等。等边三角形的三边都相等。2.等边三角形的内角都相等等边三角形的内角都相等,且都等于且都等于60 3.等边三角形等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴是轴对称图形，有三条对称轴4.等边三角形各边上中线等边三角形各边上中线,高和所对角的平分高和所对角的平分线都三线合一线都三线合一.1.三边相等的三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形.2.三个内角都等于三个内角都等于60 的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形.3.有一个内角等于有一个内角等于60 的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形.(2)等边三角形的判定等边三角形的判定:(1).等边三角形的性质等边三角形的性质在在直角三角形直角三角形中中,如果一个如果一个锐角等于锐角等于30那么它那么它所对的直角边所对的直角边等于等于斜边的一半。斜边的一半。A）30CB数学语言数学语言:C=90,A30BC=AB定理定理5、等腰三角形的一个角是、等腰三角形的一个角是50，则它的底角，则它的底角是多少度？是多少度？6、等腰三角形的一条边是、等腰三角形的一条边是6，周长是，周长是22，则，则它的底边长是多少？它的底边长是多少？7、等腰三角形一腰上的高是腰的一半，求顶、等腰三角形一腰上的高是腰的一半，求顶角的度数角的度数。2024/5/22 周三87