2022年高考数学一轮复习专题 专题39 椭圆知识点和典型例题(解析版).pdf
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1、专题39椭圆知识点和典型例题(解析版)1、定义:平面内与两个定点为,死的距离之和等于常数(大于忸邑I)的点的 轨迹称为椭圆.即:|的|+|版3=24,(2团居|)。这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.2、椭圆的几何性质:焦点的位置焦点在无轴上焦点在y轴上图形-标准方程 占。)a b彳+=1(以 8 0)a b范围-a x a 且一8 yb-b x A2(2,0)B(0T)、B2(0,)A i(0,a)、A2(0,a)BI(-瓦 0、B2(0)轴长短轴的长=2Z长轴的长=2a隹占 八、八、瓦(c,0)、玛(c,0)尸F式0,c)焦距|牺卜加仗=展一护)对称性关于x轴、y轴、原点
2、对称离心率i71 e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁通径过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径:2b2/a焦半径公式1题型一:求椭圆的解析式例L求椭圆4?+92=36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标;IJ52 2【详解】椭圆4x2+9y2=36化为标准方程上+匕=1,9 4a=3,b=2,c=Va2 b1=,9-4=/5.,.椭圆的长轴长为2。=6,焦距为2c=2后,焦点坐标为片卜石,0),与(右,0),顶点坐标为 4(3,0),4(3,0),5,(0,-2),B2(O,2).例2.求适合下列条件的椭圆标准方程:(1)与椭圆、+/=1有相同的焦点,且经过点(1,5)(2)经过4(2,-巫),
3、8(-行两点【详解】椭圆+y=1的焦点坐标为(1,0),3.椭圆过点工5),*2a=j(l+I)2+(-1)2+J(1-Ip+(-|)2=4,a=2,b=J 3,2 2椭圆的标准方程为土+匕=1.4 3(2)设所求的椭圆方程为二+匕=l(z 0,n O,/77 w n).m n把4(2,-弓),3(-亚,-乎)两点代入,2=i n+m,解得加=8,=1,得:2y,y2将 X=X,歹=2,代入 2+y2=4,得/+(2/=4,化简得=_+了2=1.丫2.曲线C的方程为土+/=1;4例4.已知 中,角4 B、。所对的边分别为。、b、c,acb,且2c=a+b,c=2,求点C的轨迹方程.【详解】由题
4、意,以所在直线为轴,线段Z8的垂直平分线为了轴建立平面直角坐标系,如图所示,因为 c=2,则/(1,0),5(1,0),设 C(x,y),因为 a+b=2c,BP|C B +1 C A|=21 AB,_ _ 2 2即 X _ 1)2+V+1)2+V=4,整理得所以亍+_=1,因为a C BC A,所以点C只能在y轴的左边,即x0.乂 的三个顶点不能共线,所以点。不能在轴上,即XW2.2 2所以所求点C的轨迹方程为L+乙=1(-2 x 0,即左2 一疗+4 0,-2km m2-4且玉 X2=e74,玉“2=由刀=3而,得一芯=3%2,即 =3%2,3(X+x2)2+4XX2=0,12k2 m2
5、4(m2-4)75 71 二,P rnk1+m2 k1 4=0.(公+47 k+44_当 根2=1时、加2左2+加2 _左2 _4=0 不成立,:.吩=-,m2-5,4-m2,(4-m2)m2V k2-m2+40,A-m2+40,即 1_L0,m2-1 m2-l/.1 m2 4,解得 一2 -1 或 1 2.综上所述,冽的取值范围为机|一2相一1或加=0或1m0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点,相交。b.A二时,直线和圆锥曲线相切于一点,相切。c.A 6 0)的左,右焦点分别为片(血,0),耳(、反,。卜 且经过点”(、回,1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)若斜率为2的直线与椭圆C交于4,
6、5两点,且|力到二2,求该直线的方程.【详解】(1)依题意司.知c=JL根据椭圆的定义可知MF+MF=2a,6即 2a=,(2/)+12+a/o2+12=4 a=2,b=da2-c?二及,2 2所以椭圆C的标准方程为土+匕=1.4 2(2)设直线的方程为歹=2元+,y=2x+t由 12 y2 _消去并化简得9/+8笈+2产一4=0,u+T-由于直线和椭圆相交,所以A EM4x9x(24)0,解得3正设 4(%1,乂),%2,),则项+%=一2=2/4,9 9两边平方并化简得*=当,所以,=土豆巫.10 10所以直线AB的方程为y=2 需.2例8.已知夕是椭圆+丁=1上的一动点.求尸到直线2%+
7、歹+2=。距离的最大值.【详解】2尸在椭圆+丁=1上,设尸(及cos a si n 8),则产到直线2%+歹+2=0距离为|3sin(8+夕)+2,其中r max.当 sin(6+0)=l 时、&詈37弦长问题直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点,化解这个难点的方法是:设而不求,根据 根与系数的关系,进行整体代入。即当直线(斜率为k)与圆锥曲线ax2+by2=1交于点A(xi,yj,BL%)时,贝i j1A BLjl+k?ki-|=Vl+k2 Jki+J-4占勺=Fv 尻-%uFJ题型四:弦长公式例9.已知椭圆C:W+=l(ab0)的右焦点(6,0),且经过点1,日,点M是轴上的一点,过点
8、M的直线/与椭圆C交于43两点(点4在轴的上方)(1)求椭圆C的方程;4若|ZM|=2|倒,且直线/与圆。:2+歹2=,相切于点n,求pW|的长.a2 b2=c2=3试题解析:(1)由题意知,(-04(2即(4)(4/3)=0,又q2=3+Z?2 3,故/=46=1,椭圆C的方程为工+/=i.4(2)设”(也0),直线/:%=亚+私/(药,%),6(%2,%),由|/|二 2|血5,有弘=一2%,8X2 2 一,(-F y=1由 4x=yy+m=(J+4)J?+2my+m2-4=0,rra ZF4 2tm 2 2 4由韦达定理,十%=一不/%K由 乂歹2=-2,凹+%=-2%+y2=-y2,则
9、弘2=-2(弘+力)丁=一(弘+力,m2 4-片,化简得(田4)(产+4)=8严加2,原点0到直线的距离m1+/2 4 2又直线/与圆O:f+/=相切,所以一U 7 V1T7 V7m2-4)(*+4)=-St2m27 2Im4-16m2-16=0,即(3阴?-4)(7加2+力二t2=-m240,解得m22a/34 4 47)此时=;,满足A。,此时M 三一,0,3 3在 RtAOMN 中,甯所以网的长为噤d m-,即/二37例10在平面直角坐标系工。中,已知点6(20),C(-2,0),设直线ZC的斜率分别 为h,k2,且左42=;,记点N的轨迹为.(1)求E的方程;(2)若直线/:V=x+1
10、与相交于尸,。两点,求卢。|.【详解】解:(1)设点力(%,歹),则尢=上7,42二上;x-2 x+2因为左/2=一7,则力/2=一L 二一二-2 x-2 x+2 22 2整理得:+=1,斜率存在,所以xw2,4 292 2所以的方程:土+匕=1,(丁。0)4 2(2)设由V=%+1X2 2_,消去丁得到3/+4%2=0,则A=424x3x(2)=400,-1-14 2x1+x2=所以4,,则|尸0卜,1+42E司=芈3所以|尸。|二警.题型五:中点弦问题例11设椭圆+/=1伍60)的短轴长为4,离心率为巧.设点M(2,1)是直线I被椭圆所截得的线段的中点,求直线I的方程.【详解】设力(西,必
11、),6(工2,%),由.(2,1)在椭圆内,过点”(2,1)的直线与椭圆有两个交点,再由椭圆的对称性可确定直线的斜率一定存在.贝 1小 十?H(M%2)(再+%2)+4(%一%),(必+2)=。,%2+4%=16整理得:乂 一2_ X+%2%-%2-4(凹+%)_2所以斜率左=g,所以直线/的方程为尤+2歹4=0.点评关于中点弦问题,一般采用两种方法解决:联立方程组,消元,利用根与系数的关系进行设而不求,从而简化运算.(2)利用“点差法”求解,即若椭圆方程为。+=1,直线与椭圆交于点4(不,刈)、5(X2,及),且弦45的中点为 Mo,“),则10由一得/可一殓十力2爪一粉=0,.yi-yz_
12、 b2xi-rx2_ bxo*X1x2 a2 yi+J2 2 Jo*这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系,从而使问题能得以解决.题型六:定值问题1.与圆铢曲线有关的最值和范围的讨论常用以下方法(1)结合圆锥曲线的定义,利用图形中几何量之间的大小关系;(2)不等式(组)求解法,根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数 适合的不等式(组),通过解不等式(组),得出参数的变化范围;(3)函数值域求解法,把所讨论的参数作为一个函数,选一个适当的参数作为 自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围;(4)构造一个二次函数,利用判别式求解;利用不等式,若能将问题转化为“和为
13、定值”或“积为定值”,则可以用基本 不等式求解;例12.(定点问题)已知椭圆C:三+京=1(。60)的离心率为苧,加(6,一乡是椭 圆C上的一点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P(-4,0)作直线/与椭圆。交于不同两点力、B,4点关于轴的对称点为。,问 直线是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.【详解】(1)=走,a2=b2+c2,:.a2=4b2,.*.-+-=1,a 2 4b2 b2将”(百,;)代入椭圆 C,,=1,,+(2)显然斜率存在,设方程为:歹=仪+4),区2=4+歹-1=(1+4左2)f+32后2%+64炉4=0,y=k(x+4)A=16 192 4 2 0
14、,左6 424设心,必),爪名),;,Xi+X2 再“7T11BDy+yx=乃+(x-xj,y=0时=西+马一再x2y1-xlyl _ 2kxx2+4左区+x2)左(X+%2)+8左64左24、.z.32k2、(+4公)+4仪7F)_128-8左28左7.32公k(-7)+8k1+4左2,.直线过定点(1,0).二一1,32左3+8左+32 左3例13(定值问题)已知直线-2歹+2=0经过椭圆。:5+J=1(a 方 0)的左顶 a b点/利上顶点D,设椭圆C的右顶点为B.(1)求椭圆C的标准方程和离心率e的值;(2)设点S是椭圆上位于x轴上方的动点,求证:直线/S与8S的斜率的乘积为定值.【详
15、解】(1)由已知得,椭圆。的左顶点为/(2,0),上顶点为。(0,1),。=2,b ,c-1a2-2=5/3,故椭圆。的方程为X+V=l,离心率e的值为乂5;4 2(2)设S(%o,%),且5(2,0),2 24=1,故%2=1-十,故ksksB=二=一;为定值.%+2%2 x0-4 4直线/S与BS的斜率的乘积为定值.例14.已知椭圆.:=+4=1(。b0)的离心率为变,且过点(2,、历).(1)求椭圆的方程;(2)若4,6分别为椭圆M的上,下顶点,过点5且斜率为(左 0)的直线/交椭圆M于 另一点N(异于椭圆的右顶点),交轴于点P,直线N N与直线 相交于点。.求证:直 线。的斜率为定值.
16、【详解】(1)设椭圆的焦距为2c,则g=正,a 24 21,又/=+/,由解得=8,b?=4,=4,2 2所以椭圆的标准方程为+二=1.8 4(2)证明:易得力(0,2),5(0,-2),直线/的方程为歹=去一2,因为直线/不过点(2后,0),所以左。一,由2 y=kx 2 f+2y2=8得(242+1卜2-8kx=0,12所以=8k2?+18k 4k2-2、2左2+12F+1,从而N42 2直线AN的斜率为丝gl-=-L,故直线AN的方程为y=-x+2.-2k 2k242+1(应、令 x=2瓢,得。2-x/2,-F 2,I k)直线。的斜率勺。&+2-r Z k2a/2-k_0+2A _0(
17、同_1)_0 242k-2-2(8 左一1)2J?所以直线尸。的斜率为定值.2题型七:求离心率2 2例15已知椭圆鼻+方=l(ab0)上有一点4,它关于原点的对称点为5,点产为椭圆71 71的右焦点,且满足,虾,ZABF=a,且ae,求该椭圆的离心率e的取值 12 6范围.【详解】如图所示,设椭圆的左焦点为耳,连接Z耳,幽,则四边形/EB片为矩形,:ABFF2c,AF+BF2a.*|AF=2c sin a,BF|=2 ccos a,/.2c sin a+2c cos a 2a,._ 1 _ 1sin a+cos a rz 不、.,2 sm a-I 4ja g71 7112?-61371OC H
18、-G4312T,4/.V2sin(tz+-1 g例16:椭圆的两个焦点的坐标分别为F1(-2,0),F2(2,0),且椭圆经过点(,,-1)(1)求椭圆标准方程.(2)求椭圆长轴长、短轴长、离心率.解:(1)设椭圆的标准方程为三齐?=1(ab0),则 2ad 仔2)斗(一微)(1-2)%:2 伍,即 a=VTo又,*c=2,I.b2=a2-c2=6,2 2故椭圆的标准方程为:J+二=1,10 6(2)由(1)得:椭圆的长轴长:2面,短轴长*、缶 2 V10 离心率e=7To=T,例17:已知直线/:、=履+相与椭圆1+5=1360)恰有一个公共点尸,/与圆 a b-f+y2=Q2相交于a,两点
19、.14(H)点。与点尸关于坐标原点。对称.若当左=-1时。力5的面积取到最大值求 椭圆的离心率.【详解】y=kx+m,2a2kmx+贝L I A=(2q2而)4(a2k2+h1a2 m1 b化简整理,得桃2=上2+;(ID因点。与点P关于坐标原点0对称,12)=0故A QZ3的面积是A O4B的面积的两倍.2所以当左=-大时,A 045的面积取到最大值一 2 2从而原点。到台线/的距离d=宕,H m2 a2故f一 二 一.qE+1 左2+2,“、zB a2k2+b2 a2,2,2b2再由(I),得-=一,则左2=1上z+1 2 a2/_ 1-2 12b2 1 Hn b2 3又k=一不,故左2=
20、-=,即r=_,2/4 a?&u 而 2/b2 5 Vioa2 a2 8 42 2例18椭圆一=1(。60)的中心在原点,此时。4_LO8,片,巴分别为左、右焦点,43分别是椭圆15的上顶点和右顶点,尸是椭圆上一点,且轴,PFJ/AB,求椭圆的离心率.【详解】如图所示:Z(O,b),6(a,0),月(c,0),因为伏_Lx轴,所以尸c,一,I a)_(b2 _.PF2=2c,-,AB=(a,b).I a)因为 PF?/AB,所以2bc+a=0,b=2c.a所以 a=y/b2+c2-J(2c+02 册c,e=.题型八:求面积例19.已知椭圆的焦点在轴上,长轴长为6,焦距为2石,设尸为椭圆上的一点
21、,片,是该椭圆的两个焦点,若/月尸石=60。,求:(1)椭圆的标准方程;(2)方片鸟的面积.【详解】X(1)设椭圆的标准方程为。+a-y2=l(a b0),因为长轴长为6,焦距为2石,故。=3,c=B 所以6=2,2 2故椭圆方程为+匕=1.9 416(2)由椭圆的定义可得|正耳|+|正月|=6,由余弦定理可得归片+10闾2 210片|尸用cos60=20,整理得到归片+归入一归片归国=20,归用2+归到2+2归耳忖用二36,所以陷|明罟,故S.二x阀|叫xsin6(r=冬导=华.。/4 3 32 2例20.椭圆0:三+3=1(。/?0)的离心率为且,且过其右焦点歹与长轴垂直的直线被 2椭圆C
22、截得的弦长为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P是椭圆C的一个动点,直线/:歹=且X+走与椭圆c交于43两点,求4PAB4 2面积的最大值.试题解析:解:(1)椭圆C:=l(ab0)的离心率为-,.e=,2c=5/3走进高考一、单选题1.2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(全国卷3正式版)已知椭圆C:LX(ab0)的左、右顶点分别为A”A且以线段A 1A 2为直径的圆与直线区。歹+2ab=0相切,则C的离心率为A C B G 3 3八加 1C.-D.一3 3【答案】A【解析】以线段44为直径的圆是f+y2=a2,直线灰即+2ab=o与圆相切,所以圆。A心到直线的距离2=/61=。
23、,整理为=3/,即/=3储2一02)=2/=3c2,即 y/a2+b2 1 718e=:存故选,则。的方程为2 2B.二+匕=13 22 2C,土+匕=14 32 2D.二+匕=15 42.2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I)已知椭圆C的焦点为瓜-1,0),月(1,0),过尸2的直线与c交于4 B两点.若|AF2=2|F2B,AB=BFA.+y2=1 2【答案】B【解析】【分析】由已知可设优刈=,则忸媪=4S|=3,得=在八台中求得cos/耳力5=;,再在4月片中,由余弦定理得二乎,从而可求解.【详解】法一:如图,由已知可设优同=%则忸彳|二|/同=3,由椭圆的定义有2a=忸6|
24、+忸闾=4,.4用=2。一|4闾二2.在八4耳8中,由余弦定理推论得42+9%2_9 2 1 1cosZEAB=一在/片月中,由余弦定理得42+42222;=4,1 2-2n-3n 3-3解得=立.22a-4=23,.a=/3.b2=a2 c2=3 1=2,.,.所求椭圆方程为-=1?故3 2选B.法二:由已知可设怩4=,则|盟|=2,忸周=|/同=3,由椭圆的定义有20=忸片|+忸闾=4,.明=2。一|4闾二2.在力月月和小月中,由余弦定理得4/72+4-2 2 2 cos/AF/=An2,n2+4-2-77-2-cos/BF?F=9n2乂/ABK,NBF2K 互补,19/.cos AAF2
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