安徽省滁州市定远县育才学校2021届高三数学下学期开学考试试题-理.doc

安徽省滁州市定远县育才学校2021届高三数学下学期开学考试试题 理

安徽省滁州市定远县育才学校2021届高三数学下学期开学考试试题 理

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14

安徽省滁州市定远县育才学校2021届高三数学下学期开学考试试题 理
本卷满分150分，考试用时120分钟。

第I卷（选择题 共60分）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知全集U={-1,0,1,2,3,4}，集合，集合，则（ ）
A.{-1,0,1,2,3} B.{-1,0,4} C.{4} D.{-1,0,3,4}
2.已知复数满足为虚数单位) ，则在复平面内复数对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.一个算法的程序框图如图所示，若执行该程序输出的结果是，则判断框内可填入的条件是（ ）

A. B. C. D.
4.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：

①样本数据落在区间的频率为0.45；
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；
③样本的中位数为480万元.
其中正确结论的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
5.函数f（x）＝2sin2（ωx﹣）＞（ω＞0）的最小正周期为π．则f（x）在上的最小值是（ ）
A.1+ B. C.2 D.1﹣
6.已知函数，若，，，则有（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，点A的坐标为，点C的坐标为．函数，若在矩形内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为（ ）

A. B. C. D.
8.在三棱锥中，平面平面，，且直线与平面所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
9.正项等比数列中，，且与的等差中项为2，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.若函数且）在R上既是奇函数,又是减函数,则的图象是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数，若函数至多有个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 90分）
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知单位向量的夹角为，若向量与向量的夹角为，则实数________.
14.函数f（x）＝，则f（f（））＝_____.
15.已知双曲线的左、右焦点为、，点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是________．
16.四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_____．
三、解答题(共6小题 ,共70分。需给出必要的演算步骤。)
17. （本小题满分12分）已知中三个内角A，B，C满足．
（1）求；
（2）若，b是角B的对边，，求的面积．
18. （本小题满分12分）某芯片公司为了制定下一年的某种产品研发投入计划，需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）和年收益（单位：亿元）的影响，为此收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据并对这些数据作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.为了进一步了解年研发资金投入量对年销售额的影响，公司三位员工查阅大量资料，对历史数据进行对比分析，分别提出了三个回归方程模型：①；②；③.

40
66
770
250
200

3.60
0.49
9.80
6
5.00
30.00

表中，.
（1）根据散点图及表中数据，请分别选用两个比较恰当的回归方程模型，建立关于的回归方程；
（2）①根据（1）的回归方程模型，从数据相关性的角度考虑，判断哪一个更适宜作为年销售额关于年研发资金投入量的回归方程？并说明理由；
②已知这种产品的年收益服正态分布，那么这种产品的收益超过54.31亿元（含54.31亿元）的概率为多少？
附：①最小二乘估计以及相关系数公式：；
②若，则有，；
③参考数据：.
19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，，是的中点.

（1）证明：平面；
（2）若，三棱锥的体积为，求底棱的长.
20. （本小题满分12分）已知椭圆的焦点与抛物线的焦点之间的距离为.

（1）求抛物线的方程；
（2）设与在第一象限的交点为，过点斜率为的直线与的另一个交点为，过点与垂直的直线与的另一个交点为.设，试求的取值范围.
21. （本小题满分12分）已知函数，
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若对于任意的，不等式，恒成立，求的范围.
四、选考题
22. （本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，P（0，1），曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）曲线C1与C2交于M，N两点，求||PM|﹣|PN||．
参考答案
1.B 2.B 3.D 4.D 5.D 6.B 7.D 8.B 9.C 10.D 11.A 12.B
13. 14. 15.2 16.
17.（1）（2）
解：（1）在中，，即，
∴，
由题意得．
两边平方可得，
根据，
可整理为，
解得或（舍去）．
∴．
（2）由，且，
可得，为钝角，
∴，
又，
由正弦定理得，
∴，．
又为钝角，由（1）得．
∴的面积为

综上所述，的面积为．
18.（1）选用②，③两个回归方程模型；，；（2）①模型②更适宜作为收益关于投入量的回归方程；答案见解析；②.

【解析】（1）因为散点图中与之间不是线性关系，故可以判断模型①不适合.
故选用②，③两个回归方程模型.
令，先建立关于的线性回归方程：
设关于的线性回归方程为.
由于，，
所以关于的线性回归方程为，因此模型②为；
由，得，令，
所以，
先建立关于的线性回归方程.由于
，，
所以关于的线性回归方程为，因此模型③为；
（2）①模型②中，相关系数
，
模型③中，相关系数
，
可得，说明变量与的线性相关程度更好，
即模型②：拟合效果更好，
故模型②更适宜作为收益关于投入量的回归方程.
②依题意服从正态分布，
所以，
所以.
19.解：（1）∵ ，， ∴ ，
又∵ ，∴ 为等边三角形，
又∵，是的中点
∴ ，，
又∵ ，平面
∴ 平面；
（2）∵ 平面，∴ ，
又∵ ，，平面
∴ 平面，又∵ 平面，
∴ ，∵ ， ∴ ，
又∵ ，，平面，
∴ 平面
∵
∴点到平面的距离等于点到平面的距离
∴ ，
又∵
，解得：.
20.（1）；（2）.
【解析】（1）由椭圆，得，，，
所以，椭圆的右焦点为，
抛物线的焦点为，
由题意可得，，，
因此，抛物线的方程为；
（2）联立椭圆和抛物线的方程，解得，可得点，
设点、，
联立直线与椭圆的方程，
消去得，，
由题意可知，是关于的二次方程的一个根，
由韦达定理得，，
，
直线的方程为，
联立直线与抛物线的方程，消去得，
由题意可知，是关于的二次方程的一个根，
由韦达定理得，，
，
所以，，
因此，的取值范围是.
21.解：（1）∵，定义域为
若，则对成立，
∴在区间单调递增；
若，则在区间单调递减，
在区间单调递增.
（2）原命题可化为，恒成立.
取，
∴，
∴.
若，即，
∴存在使得，，所以在单调递减，
又∵，所以，∴在单调递减，
又∵，∴，不合题意，∴
若，则对成立，
若，可知在单调递增，
∴，.
∴时，，，∴在单调递增，
∴，，∴在单调递增，
∴，.
综上，的范围为.
22.（1），，（2）

解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），
消去参数t得普通方程为，
曲线C2的极坐标方程为，两边同乘以，
得，所以其直角坐标方程为
（2）曲线C1过点P（0，1），则其参数方程为，
将其代入方程得，
，
化简得，
设上式方程的根为，所以，
所以