安徽省太和一中2021届高三数学上学期开学摸底检测试题-理.doc

安徽省太和一中2021届高三数学上学期开学摸底检测试题 理

安徽省太和一中2021届高三数学上学期开学摸底检测试题 理

年级：
姓名：

17

安徽省太和一中2021届高三数学上学期开学摸底检测试题 理
本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，若复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于直线上，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．设，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个关于“奇偶归一”的猜想，对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是俩数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．右图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，若输入a的值为3，则输出结果为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
5．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．某校学生可以根据自己的兴趣爱好，参加各种形式的社团活动．为了解学生的意向，校数学建模小组展开问卷调查并绘制统计图表如下：
你最喜欢的社团类型是什么？—您选哪一项？（单选）
A．体育类如：羽毛球、足球、毽球等
B．科学类如：数学建模、环境与发展、电脑等
C．艺术类如：绘画、舞蹈、乐器等
D．文化类如：公关演讲、书法、文学社等
E．其他

由两个统计图表可以求得，选择D选项的人数和扇形统计图中E的圆心角度数分别为（ ）
A．500，28.8° B．250，28.6° C．500，28.6° D．250，28.8°
7．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，设，．若，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
9．如图，A，B，C，D四点共圆，，M，N在线段上，且，N是的中点．设，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
10．在菱形中，，将沿对角线折起使得二面角的大小为60°，则折叠后所得四面体的外接球的半径为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，直线分别交函数和的图象于点A和点B．若对任意都有成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（ ）
A． B． C．2021 D．
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．
13．若实数x，y满足则的最小值为__________．
14．在中，，则的外接圆的半径等于___________．
15．已知甲有2张印着数字2的卡片，乙有3张印着数字2的卡片和3张印着数字3的卡片，乙先从自己的卡片中任选2张卡片给甲，甲再从现有的卡片中任选2张还给乙，每张卡片被选中的可能性都相等，则甲给乙的两张卡片都印着数字2的概率为__________．
16．过椭圆上一点P及坐标原点O作直线l与圆交于A，B两点．若存在一点P满足，则实数a的取值范围是_________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知数列的前n项和为，点在抛物线上．
（1）求；
（2）求数列的前n项和．
18．（12分）
近年来，随着我国社会主义新农村建设的快速发展，许多农村家庭面临着旧房改造问题，为此某地出台了一项新的政策．为了解该地农村家庭对新政策的满意度，进行了相关调查，并从参与调查的农村家庭中抽取了200户进行抽样分析，其中，非务农户中对新政策满意的占，而务农户中对新政策满意的占．

满意
不满意
总计
非务农

100
务农

总计

（1）完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关（结果精确到0.001）？
（2）若将频率视为概率，从该地区的农村家庭中采用随机抽样的方法，每次抽取1户，抽取5次，记被抽取的5户中对新政策满意的人数为X，每次抽取的结果相互独立，求X的分布列和数学期望．
附表：

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
参考公式：，其中．
19．（12分）
如图，四边形是菱形，平面．

（1）证明：P，E，C，G四点共面．
（2）若，求二面角的正弦值．
20．（12分）
已知椭圆的离心率是，短轴长为2，A，B分别是E的左顶点和下顶点，O为坐标原点．
（1）求E的标准方程；
（2）设点M在E上且位于第一象限，的两边和分别与x轴、y轴交于点C和点D，求的面积的最大值．
21．（12分）
已知函数．
（1）求的单调区间．
（2）若在区间上不单调，证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）．
（1）若，求的普通方程；
（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若与相切，求实数a的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若关于x的方程有实数解，求实数k的取值范围．
理科数学
一、选择题
1．B 【解析】因为集合，所以，，，．
2．B 【解析】．因为复数在复平面内对应的点位于直线上，所以，所以．
3．A 【解析】，，，故．
4．C 【解析】

3
10
5
16
8
4
2
1

1
2
3
4
5
6
7
8
所以输出的结果为．
5．C 【解析】因为，所以是偶函数，排除A，D；，排除B．
6．A 【解析】设接受调查的学生的总人数为x，由调查结果条形图可知选择A的人数为300，通过调查结果的扇形统计图可知：选择A的人数比例为15%，所以，解得，而选择D的人数为：，扇形统计图中E的圆心角度数为：．
7．D 【解析】由题意知，，则，可知，则．设与曲线C的切点为，则，解得或（舍去），则，所以的方程为．
8．C 【解析】根据题意，设，则，则，．因为，即，即，所以，所以向量，的夹角为，．
9．C 【解析】连接，如图所示，易知是圆的直径．

因为，所以．在中，，故A不正确；在中，．又因为，所以，故D不正确；，故B不正确；因为，所以．又因为，易知与全等，所以，所以．又因为N是的中点，所以，所以，所以，所以，故C正确．
10．A 【解析】如图，取的中点记为O，连接，，根据题意需要找到外接球的球心，取上离O点近的三等分点记为E，同理取上离O点近的三等分点记为F，自这两点分别作平面、平面的垂线，交于点P，则P就是外接球的球心，连接，，

易证就是二面角的平面角，所以是边长为的等边三角形，所以．在中，，所以．又，所以．
11．D 【解析】由题意，设，则问题可以转化为在区间内．因为，所以在区间上单调递增，所以．因为，所以，所以，即．
12．A 【解析】令，得．又因为，所以．由，得，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以．
二、填空题
13． 【解析】由约束条件作出可行域，

由，得，作直线，将直线l平移经过M点时在y轴上的截距最小．
此时．
14． 【解析】在中，易求．又，由余弦定理可得，解得．设外接圆的半径为r，则由正弦定理，得，所以．
15． 【解析】可分为三种情况：①乙选两张印着数字3的卡片给甲；②乙选1张印着数字2和1张印着数字3的卡片给甲；③乙选2张印着数字2的卡片给甲，所以．
16． 【解析】如图所示．

．又因为，所以．若存在一点P，使得，即，解得．
三、解答题
17．解：（1）因为点在抛物线上，
所以，所以．
当时，； （1分）
当时
． （3分）
所以 （4分）
（2）易求 （5分）
当时，； （7分）
当时，． （11分）
综上， （12分）
18．解：（1）根据已知数据得到如下列联表:

满意
不满意
总计
非务农
70
30
100
务农
50
50
100
总计
120
80
200
（1分）
根据列联表中的数据，得到
的观测值， （3分）
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关． （4分）
（2）由列联表中的数据可知，对新政策满意的农村家庭的频率是，将频率视为概率，即从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是． （5分）
由题意知， （6分）
，
，
，
，
，
． （9分）
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P

（10分）
． （12分）
19．（1）证明：如图，取的中点M，连接． （1分）
因为，所以，

所以四边形是平行四边形，
所以． （2分）
由题意知，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，所以 （3分）
所以四边形是平行四边形，
所以P，E，C，G四点共面． （4分）
（2）解：因为平面，，
所以平面．
在中，由余弦定理得
，

所以，所以． （5分）
以A为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系．
则． （6分）
设平面的法向量为，
则即 （7分）
令，得所以． （8分）
设平面的法向量为，
则即 （9分）
令，得所以． （10分）
设二面角的平面角为，
所以，
所以， （11分）
所以二面角的正弦值为． （12分）
20．解：（1）因为椭圆E的离心率，短轴长为2，所以．
又因为，解得．
故椭圆E的方程为． （3分）
（2）设点．
因为，且A，D，M三点共线，所以，解得， （4分）
所以，
同理得， （5分）
因此

． （7分）
因为点在椭圆上，所以，即，
代入上式得． （8分）
设过点M且与直线平行的直线l的方程为，
当l与椭圆相切时，消元整理得， （9分）
所以，解得． （10分）
所以直线l的方程为．
所以． （11分）
所以的面积的最大值为． （12分）
21．（1）解：由题意，， （1分）
令．
①当时，，此时，
函数在R上单调递减； （2分）
②当时，，令，则，，
当时，，所以单调递减， （3分）
当时，，所以单调递增， （4分）
当时，，所以单调递减． （5分）
综上所述，当时，函数的单调递减区间为R，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为． （6分）
（2）证明：由（1）知，
因为，所以，得， （7分）
要证，只需证． （8分）
对于函数，有．
因为在R上单调递增，且，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，即不等式恒成立，
当且仅当时“=”成立，
故当时，，即 ①． （10分）
因为且，所以，
可得，所以 ②． （11分）
由①+②得，，
故得证． （12分）
22．解：（1）当时，曲线的参数方程为（为参数），消去，
所以． （3分）
（2）曲线的参数方程为（为参数），消去可得，所以曲线是圆心为，半径为2的圆． （4分）
曲线的极坐标方程为，可化为． （6分）
若与相切，则的圆心到的距离等于的半径，
即， （8分）
解得或． （10分）
23．解：（1）原不等式等价于
或或 （3分）
解得或或， （6分）
所以不等式的解集为． （7分）
（2）因为， （8分）
方程，即函数与的图象有交点，
只需， （9分）
解得或．
所以实数k的取值范围为． （10分）