云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题.doc

云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题

云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题

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云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
（试卷满分150分，考试时间120分钟）
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简集合A，B，根据集合的交集运算即可.
【详解】因为或，，
所以，
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次不等式，对数不等式，集合的交集运算，属于容易题.
2.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：
考点：三角函数诱导公式及求值
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数成立的条件可得，解方程组得出结论.
【详解】根据题目条件可得：
解得：
∴函数的定义域为.
故选：B.
【点睛】本题考查函数定义域的知识点，属于简单题.
4. 在中，点为的中点，若，，则=（　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形中线的性质将，分别用表示，然后进行向量的模的运算即可.
【详解】因为点为的中点，
所以,
所以，
故选：B
【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则，向量的数量积的运算，考查了运算能力，属于中档题.
5. 函数的零点必落在区间( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得，，，根据函数零点存在性定理可得出答案．
【详解】由题得，，
而，
根据函数零点存在性定理可得函数在区间上存在零点．
故答案为B.
【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题．
6. 已知函数（其中 ），其部分图像如下图所示，将的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到 的图像，则函数的解析式为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：根据图像可知：解得，所以由且解得：，所以将其横坐标变为原来的倍，得到，再向右平移一个单位得到：，所以答案为B.
考点：1.三角函数的图像；2.三角函数图像变换.
7. 已知函数最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的最大值以及函数最小正周期，即可求出，然后利用正弦函数的单调性，求出函数的单调增区间．
【详解】由已知得，解得，所以，
令，
解得，又，
所以，所以函数在上的单词递增区间为.
故选：C
【点睛】本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键．属于中档题.
8. 已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用对数的性质判断大小即可
【详解】，，

故选
【点睛】本题考查了对数值大小的比较方法，一般找中间量“”或“”，以及转化为底数相同的对数，再由对数函数的单调性进行判断，考查了转化思想
9. 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化，求解即可.
【详解】∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．则f(|2x－1|)<f.
又∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴|2x－1|<，解得<x<.
故选：.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属综合基础题.

10. 当时，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数的图象先得到对恒成立，
最后再转化不等式得到并求解即可.
【详解】解：根据与的两个函数图象，如图
要求在上，成立，
所以，即对恒成立，
所以，解得：

故选：B.
【点睛】本题考查含指数对数不等式问题，是中档题.
11. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用诱导公式化为同名的三角函数，然后再进行平移，即可求得答案.
详解】
为了得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个单位长度
故选：A.
【点睛】本题考查了诱导公式及三角函数图象变换，关键是利用诱导公式先化为同名三角函数，要注意图象在左右平移时，是在自变量上加减一个常数.
12. 已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是
A. B. [，] C. [，]{} D. [，）{}
【答案】C
【解析】
试题分析：由在上单调递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的取值范围是，故选C.
【考点】函数性质综合应用
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 的值等于______________
【答案】1
【解析】
，故填：1.
14. 函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________．
【答案】9
【解析】
当，即时，点定点的坐标是，幂函数图象过点，，解得，幂函数为，则，故答案为.
15. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题目意思可以得到，进一步解出答案.
【详解】因为函数在上有最小值
所以
所以
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数在区间上的最值，属于基础题型.
16. 函数的图象为，以下说法：
（1）其中最小正周期为；
（2）图象关于点对称；
（3）由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；
（4）直线是其图象的其中一条对称轴．
其中正确命题的序号是__________．
【答案】（1）（2）（4）
【解析】
【分析】
根据正弦型函数周期公式，正弦型函数对称中心坐标，正弦型函数对称轴等知识，逐项验证，即可求得答案．
【详解】对于（1），根据正弦型函数周期公式：
可得：函数最小正周期为：，故（1）正确；
对于（2），根据正弦函数图象的对称中心为
正弦型函数
令，解得
其对称中心坐标为
当时，对称中心坐标为，故（2）正确；
对于（3），将的图象向右平移个单位长度
可得：

将的图象向右平移个单位长度不能得到图象，故（3）错误；
对于（4），根据正弦函数的图象的对称轴方程为，
正弦型函数
令，解得
当时，，
一条对称轴，故（4）正确；
故答案为：（1）（2）（4）．
【点睛】本题解题关键是掌握整体法求正弦函数图象的对称中心和对称轴的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
三．解答题：（本大题共6小题，共70分．其中17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
17. 已知向量，，，．
（1）求与的夹角；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
(1)先求与坐标，再代入向量的夹角公式求解.(2)由题得，解方程即得解.
【详解】（1）∵，，，，
∴，，，，
∴；
又∵，∴；
（2）当时，，
∴，则，∴．
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角的计算和向量垂直的坐标运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
18. 已知函数其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．
（1）求的解析式；
（2）当，求的值域．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入即可求得，把代入即可得到函数的解析式．
（2）根据x的范围进而可确定当的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．
【详解】（1）由最低点为得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得，
即，由点在图象上的，
，即，
故
又，故；
（2），
当，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值，
故的值域为.

19. 某市由甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，活动时间不少于15小时，也不超过40小时，设在甲家租一张球台开展活动小时的收费为元，在乙家租一张球台开展活动小时的收费为元．
（1）写出与的解析式；
（2）选择哪家比较合算？请说明理由．
【答案】（1），； （2）见解析
【解析】
【分析】
(1)利用已知条件直接列出函数的解析式即可.
(2)由,得或,求出,然后讨论经济实惠的乒乓球俱乐部.
【详解】（1）由题设有，.
（2）令时，解得；
令，解得，
所以：当时，，选甲家比较合算；
当时，，两家一样合算；
当时，，选乙家比较合.
【点睛】本题考查分段函数在实际问题中的应用,难度较易.
20. 已知是定义在上的增函数，且满足，.
（1）求的值，
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据条件的关系式，赋特殊值，令，求；
（2）赋特殊值可得，根据条件的关系式，可得，所有不等式转化为，再根据函数是定义在的增函数，可得不等式组求解.
【详解】(1).
(2) 由条件,
得,
由条件及,
得,
由题意是定义在上的增函数，
得,即，解得得,
所以不等式解集为.
【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，比如给变量赋特殊值或是赋特殊变量，对于第二问解不等式也是抽象函数常考查类型，一般根据条件转化为的形式，然后再利用函数的单调性比较的大小，还需注意函数的定义域.
21. 已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若，求函数在上的值域．
【答案】（1）答案详见解析，证明详见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据单调性的定义，进行作差变形整理，分和，对差式判断正负可求得答案；
（2）根据（1）的单调性，求出函数在上的最大值和最小值即可.
【详解】（1）当时，函数在上是减函数；当时，在上是增函数，
证明如下：
当时，任取，

因为，，，
所以，得，故函数在上是减函数；
当时，任取，

因为，，，
所以，得，
所以函数在上是增函数，得证.
（2）当时，由（1）得在上是减函数，
从而函数在上也是减函数，其最小值为，
最大值为.
由此可得，函数在上的值域为．
【点睛】本题给出分式函数，讨论了函数的单调性并求函数在闭区间上的值域，着重考查了函数单调性的判断与证明和函数的值域等知识，属于基础题.
22. 在中，满足，是中点.
（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若是线段上任意一点，且，求的最小值.
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：
（1）由向量的夹角公式可求；
（2），则，，由此可用表示出，从而可得最小值．
试题解析：
（1）设向量与向量的夹角为,,令， .
（2）∵，∴，设，则.
而，所以 .当且仅当时， 的最小值是.