四川省南充高级中学2020届高三数学2月线上月考试题-理.doc

四川省南充高级中学2020届高三数学2月线上月考试题 理

四川省南充高级中学2020届高三数学2月线上月考试题 理

年级：
姓名：

- 26 -

四川省南充高级中学2020届高三数学2月线上月考试题 理（含解析）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【详解】由z（1﹣i）=2，得z=，
∴．
则z的共轭复数对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．
故选D．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.已知集合A＝，则A∩B元素个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求解方程组，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．
【详解】联立，解得
即和的图象有3个交点，，，
∴集合有3个元素，故选B.
【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．
3.“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
转化条件得，，再根据充分条件和必要条件的概念即可得解.
【详解】，
，
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查了不等式的解法和充分不必要条件，属于基础题.
4.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
比较、、与的大小关系，然后将利用换底公式化为，可比较出与的大小关系，从而可得出、、的大小关系.
【详解】，由换底公式可得，
，，，，，
则，而，因此，.
故选C.
【点睛】本题考查对数与指数的大小比较，解题时应充分利用指数函数与对数函数的单调性并结合中间值法得出各数的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
5.已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得，即，代入双曲线的渐近线方程可得答案.
【详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同，可得：，
即，∴，可得,
双曲线的渐近线方程为：,
故选A．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6.在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即，其中.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是，这个公式中的应该是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
分析】
首先根据三角形面积公式,确定应该等于,再根据余弦定理得到答案.
【详解】因为，所以.选C.
【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式，考查基本分析求解能力.属基本题.
7.若时，函数取得最小值，则是（ ）
A. 奇函数且图像关于点对称
B. 偶函数且图像关于直线对称
C. 奇函数且图像关于直线对称
D. 偶函数且图像关于点对称
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：时，函数取得最小值,∴+=-,=-,
∴f（x）=Asin（）=Asin（x-）,y=f（-x）=Asin（-x-）=-Acosx,选D.
考点：y=Asin（ωx+φ）的性质
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+ϕ）的性质求解析式，同时考查了y=Asin（ωx+ϕ）的性质．
8.如图，是圆的一条直径，，是半圆弧的两个三等分点，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题是用当基底向量，来表示，所以先在 中根据向量减法的三角形法则，用表示，再探究、的线性关系即可．
【详解】因为，是半圆弧的两个三等分点，
所以，且，所以.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.
9.十三届全国人大二次会议于年月日至日在北京召开，会议期间工作人员将其中的个代表团人员（含、两市代表团）安排至，，三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若、两市代表团必须安排在宾馆入住，则不同的安排种数为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
按入住宾馆的代表团的个数分类讨论.
【详解】如果仅有、入住宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有安排种数，
如果有、及其余一个代表团入住宾馆，则余下两个代表团分别入住，此时共有安排种数，
综上，共有不同的安排种数为，故选B.
【点睛】本题考查排列、组合计数，注意要先分组再分配，否则容易出现重复计数的错误.
10.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为(　　)

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，＝(a，a,0)，＝(0,2a,2a)，＝(a，－a，0)，＝(0,0,2a)，
设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)，
由⇒⇒⇒n1＝(1，－1,1)．
sinθ＝＝＝.
11.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（　　）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件，结合抛物线性质求出A点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B，由|PO|＝|PB，|知|PA|+|PO|的最小值为|AB|，由此能求出结果．
【详解】抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，∵|AF|=6，
∴A到准线的距离为6，即A点的横坐标为4，∵点A在抛物线上，不妨设为第一象限，
∴A的坐标A（4，4）∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（-4，0），
∴|PO|=|PB|，∴|PA|+|PO|的最小值：|AB|= ．
故选C．

【点睛】本题主要考查抛物线的相关知识．两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
12.设函数是定义在上的函数，是函数的导函数，若，，为自然对数的底数，则不等式的解集是　　
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令，，求出函数的导数，由可得，在递增，根据函数的单调性求出的范围即可．
【详解】令，，因为，
则，
故在递增，
而，故，即
即，故，即不等式的解集为，故选A．
【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知样本的平均数是8，方差是4，则__________.
【答案】55
【解析】
【分析】
由平均数和方差的概念可得，化简后即可得解.
【详解】由题意得，
化简得，
所以，解得.
故答案为：55.
【点睛】本题考查了平均数和方差的概念，属于基础题.
14.已知定义在上的函数和，其中的图象关于直线对称，的图象关于点中心对称，且，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，求出，，由对称性可得间的关系，间的关系，利用他们之间的关系通过计算可求得.
【详解】由条件知，①
.②
由，图象的对称性，可得，，结合①知，
，即.③
由②③解得.
故答案为.
【点睛】本题考查函数对称性的应用，注意赋值法的使用，本题是中档题.
15.代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时__________．
【答案】2.5
【解析】
【分析】
是台风中心，移动时间为，，由余弦定理求出，解不等式可得结论．
【详解】如图，是台风中心，上正北方向，设台风移动时间为小时，则，又，，
∴，
由，解得，
．
故答案为：2.5.

【点睛】本题考查解三角形的应用，根据图形选择恰当的公式是解题关键．
16.在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点在同一个球面上，则该球的表面积为____.
【答案】
【解析】
【分析】
取的中点,连接、，可知外接球的球心在面中，再作，分别求出与的长度后即可得解.
【详解】
如图1，取的中点,连接、，由已知易知面面，则外接球的球心在面中.由二面角的大小为可知.
在面中，设球心为，作，连接，
易知在面上的投影即为，平分，
为的中心，，，
，.
故答案为：
【点睛】本题考查了立体图形外接球体积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设数列满足，其中.
（Ⅰ）证明：是等比数列；
（Ⅱ）令，设数列的前n项和为，求使成立的最大自然数n的值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由递推公式凑出与的关系，即可得证
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即可得到的通项公式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解.
【详解】解：（Ⅰ）

是首项为，公比为的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
即，

①
②，
①减②得

.

，
单调递增.
，
.
故使成立的最大自然数.
【点睛】本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题.
18.高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：.其中a，b，c成等差数列且.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）

分组

频数
6
9
20
10
5

（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；
（2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；
（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值.
【答案】（1）（分）；（2）75分；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据频率之和等于，a，b，c成等差数列，，解出的值，利用频率分布直方图，求出平均分；（2）根据物理成绩统计表，得到中位数所在的成绩区间，得到答案；（3）根据数学成绩“优”和物理成绩“优”，得到两科均为“优”的人数，计算出每种情况的概率，写出分布列，得到期望值.
【详解】（1）根据频率分布直方图得，
又因，
解得，
故数学成绩的平均分

（分），
（2）总人数50分，由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间，
所以物理成绩的中位数为75分.
（3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，
故两科均为“优”人数为3人，
故X的取值为0、1、2、3.

.
所以分布列为：
X
0
1
2
3
P

期望值为：
.
【点睛】本题考查频率分布直方图的特点，根据频率分布直方图求平均值，根据统计表求中位数，求随机变量的分布列和数学期望，属于简单题.
19.如图，三棱锥D-ABC中，，E，F分别为DB，AB的中点，且.

（1）求证：平面平面ABC；
（2）求二面角D-CE-F的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】
【分析】
（1）取的中点，可得，，从而得到平面，得到，由，，得到，从而得到平面，所以平面平面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用余弦定理和勾股定理，得到，，得到的法向量，平面的法向量，根据向量夹角的余弦公式，得到二面角的余弦值
【详解】（1）如图取的中点，连接，，

因为，所以，
因为，所以，
又因为，所以平面，
平面
所以.
因为，分别为，的中点，所以.
因为，即，
则.
又因为，
所以平面，
又因为平面DAB，
所以平面平面.
（2）因为平面，则以为坐标原点，
过点与垂直的直线为轴，为轴，AD为轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系.

因为，
在中，
，
所以.
在中，，
所以点，，
.
设平面的法向量为
.
所以，即，
可取.
设平面的法向量为
.
所以，即，
可取，
则
因为二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的夹角余弦值，属于中档题.
20.如图，已知抛物线的焦点是，准线是，抛物线上任意一点到轴的距离比到准线的距离少2.

（1）写出焦点的坐标和准线的方程；
（2）已知点，若过点的直线交抛物线于不同的两点（均与不重合），直线分别交于点，求证：.
【答案】（1）焦点为，准线的方程为；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知得抛物线的准线方程为，从而得抛物线方程，焦点坐标；
（2）设直线的方程为：，令,直线方程代入抛物线方程，整理后由韦达定理得，由直线方程求出的坐标，计算即可证得结论．
【详解】解：（1）由题意知，任意一点到焦点的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义得抛物线标准方程为，
所以抛物线的焦点为，准线的方程为；

（2）设直线方程为：，令，
联立直线的方程与抛物线的方程，消去得，
由根与系数的关系得：
直线方程为：，
当时，，∴，同理得：，
∴，
∴
，
∴，∴.
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查直线与抛物线相交问题．设出直线方程，设出交点坐标，由韦达定理得出，代入证明其为0．这就是设而不求思想．
21.已知，.
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）在上单调递减；在和上单调递增.（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先求函数的定义域，再进行求导得，对分成，，三种情况讨论，求得单调区间；
（2）要证由，等价于证明，再对分，两种情况讨论；证明当时，不等式成立，可先利用放缩法将参数消去，转化成证明不等式成立，再利用构造函数，利用导数证明其最小值大于0即可。
【详解】（1）的定义域为，
，
当时，由，得；
由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得或；
由，得；
所以在上单调递减，在和上单调递增；
当时，由，得在上单调递增；
当时，由，得或；由，得；
所以在上单调递减；在和上单调递增.
（2）由，得，
①当时，，，不等式显然成立；
②当时，，由，得，
所以只需证：，
即证，令，
则，，
令，
则，
令，
则，
所以在上为增函数，
因为，，
所以存，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
所以，
所以原命题得证
【点睛】本题考查含参数函数的单调性、放缩法证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，在分类讨论时要做到不重不漏，在运用放缩法时，要注意合理进行消参。
22.在新中国成立周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），为该曲线上的任意一点.

（1）当时，求点的极坐标；
（2）将射线绕原点逆时针旋转与该曲线相交于点，求的最大值.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
(1)将代入解得即可得到答案;
(2) 由题意可设，.,将它们代入到,得到,再利用勾股定理和三角函数性质可求得答案.
【详解】解：（1）设点在极坐标系中的坐标，
由，得，

或
所以点的极坐标为或
（2）由题意可设，.
由，得，.

故时，的最大值为.
【点睛】本题考查极径的几何意义,三角函数的性质,利用极径的几何意义是解题关键,属于基础题.
23.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）记的最大值为m，且正实数a，b满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；
（2）由（1）可得m，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值 ．
【详解】（1）当时，恒成立，∴，
当时，，解得，
当时，不成立，无解，
综上，原不等式的解集为．
（2）由（1），∴，
∴
，当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值是．
【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．