第十章-重积分-(2).doc

习题10-1
1． 设一平面薄板占有平面上的闭区域，薄板上分布有面密度为的电荷，在上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电荷.
解 .
2. 用二重积分表示下列以曲面为顶，区域为底的曲顶柱体的体积：
（1） ：，其中；
（2） ：，其中.
解 （1）在上，,故；
（2）在在上，，故.
3. 利用二重积分性质，比较下列积分的大小：
（1） 与，其中积分区域是矩形区域：
；
（2） 与，其中积分区域是由圆周
所围成的有界闭区域；
（3） 与，其中积分区域是由单位圆所围成的有界闭区域.
解 （1）在积分区域上，如图10-1所示，，则 ，故
，
则有 ；

(图10-1)

（2）积分区域的边界与轴交点，曲线在点的切线方程为，故在积分区域上，，如图10-2所示，故
，
则有 ；

(图10-2)

（3）在积分区域上，，故
，
则有 .
4. 利用二重积分性质，估计下列积分值：
（1） ，其中是矩形区域：；
（2） ，其中是圆域：；
（3） ，其中是矩形区域：；
（4） ，其中是矩形区域：.
解 （1）在上，且区域的面积，故有
；
（2） 设 ，
因，，在内无驻点，
在的边界上，
令
即可得驻点，，
所以，,即为在上的最小值与最大值，且区域的面积，故有
；
（3）在上，且区域的面积
故有 ， 即 ；
（4） 在上 ，且区域的面积，故有
.
5. 利用被积函数及积分区域的对称性确定下列积分的值或所列积分之间的关系：
（1） ，其中是由，及围成, 为连续函数；
（2） ，其中： ，.
（3）与，其中；
；
（4） 与，其中是以、、为顶点的三角形区域，是在第一象限部分.
解 （1）积分区域关于轴对称，被积函数关于是奇函数，故；
（2）积分区域关于轴对称，被积函数关于是奇函数，故
；
（3））积分区域关于轴、轴都对称，被积函数关于、均为偶函数，故有 ；
（4）如图10-3所示，可以分为、、、，

；
故有 .

（ 图10-3）
5. 设在区域：上连续，求，其中：
.
解 由于在上连续，对充分小的，有，因而在上连续，由二重积分的中值定理得，存在，使

故

.

习题10-2（1）
1. 画出积分区域，并计算下列二重积分：
（1）,其中；
（2），其中是由两抛物线所围成的闭区域；
（3），其中是由直线及抛物线所围成的闭区域；
（4），其中是由直线及抛物线所围成的闭区域；
（5），其中；
解 （1）积分区域如图10-4所示，

；
（2）积分区域如图10-5所示，
；

（ 图10-4） （图10-5）
（3）积分区域如图10-6所示，

；
（4）积分区域如图10-7所示，

；

（图10-6） （图10-7）
（5）积分区域如图10-8所示，

；

（图10-8）
2. 计算下列二重积分：
（1）其中是顶点分别为的三角形闭区域；
（2），其中是由围成的闭区域；
（3），其中；
(4) ,其中是由两条抛物线和之间、直线以
的闭区域；
解 （1）
；
（2）将视为-型区域，分成如图10-9

；

（图10-9）
（3） 积分区域如图10-10，则

；

（图10-10） （图10-11）
（4）由于积分区域关于轴对称，如图10-11所示，故

.
3. 在两种积分次序下，化二重积分为二次积分，其中积分区域分别是：
（1） 由直线及双曲线所围成闭区域；
（2） 由轴及半圆周所围成的闭区域；
（3） 由直线及抛物线所围成的闭区域；
（4） 由直线及曲线所围成的闭区域.
解 （1）
或 ；
（2）
或 ；
（3）
或 ；
（4）
或 .
4. 交换下列二次积分的积分次序：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
解 （1） 积分区域如图10-12，则
原式；
（2）积分区域如图10-13，则
原式;

（图10-12） （图10-13）
（3）积分区域如图10-14，则
原式；
（4）积分区域如图10-15，则
原式；

（图10-14） （图10-15）
（5）积分区域如图10-16，则
原式；
（6）积分区域如图10-17，则
原式.

（图10-16） （图10-17）
5. 计算下列二次积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解 （1）积分区域如图10-18，则
原式
；
（2）积分区域如图10-19，则
原式

；

（图10-18） （图10-19）
（3）积分区域如图10-20，则
原式

；
（4）积分区域如图10-21，则
原式

（图10-20） （图10-21）
6. 证明：.
证 如图10-22所示，左端交换积分次序得
左边

右边.

（图10-22）
7．计算由四个平面所围成的柱体被平面及
截得的立体的体积.
解

.
8. 求由三平面所围成的柱体被平面及旋转抛物面
截得的立体的体积.
解
.
习题10-2（2）
1. 画出积分区域，把积分表示为极坐标形式下的二次积分，其中
积分区域为：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
解 （1）积分区域如图10-23所示，则
；
（2）积分区域如图10-24所示，则
；

（图10-23） （图10-24）
（3）积分区域如图10-25所示，则
；
（4）积分区域如图10-26所示，则

(图10-25) （图10-26）
2. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：
（1）； （2）；
（2）； （4）.
解 （1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
3. 把下列二次积分化为极坐标形式，并计算积分值：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解 （1）原式;
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
4. 利用极坐标计算下列二重积分：
（1），其中；
（2），其中；
（3）,其中.
解 （1）原式
；
（2）原式；
（3）原式.
5. 选择适当的坐标系计算下列二重积分：
（1），其中是由直线及曲线所围成的闭区域；
（2）,其中是由圆周所围成的闭区域；
（3），其中；
（4），其中.
解 （1）原式；
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式.
6. 求抛物柱面与椭圆抛物面所围立体的体积.
解 其中

7. 求由两抛物面及所围立体的体积.
解 ，
其中
.
8. 求由平面，抛物面及圆柱面所围立体的体积.
解 其中

9. 求由平面，以及球心在原点，半径为的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.
解
10. 求下列曲线所围平面图形的面积：
（1） 双纽线围成的区域；
（2） 位于圆周的内部及心脏线的外部的区域.
解 （1）;
（2）
11.作适当的变换，计算下列二重积分：
（1）,其中是由圆所围成的区域；
（2）,其中是由直线所围成的区域；
（3）,其中是由椭圆所围成的区域.
解 （1）令则
；
（2）令则变换为且，由于
，所以
;
(3) 令 则

习题10-2（3）
1. 计算，其中是由曲线和曲线在第一象限所围成的区域.
解 积分区域如图10-27所示
原式
.

（图10-27）
2. 计算，其中：.
解 原式.
3. 计算，，为整个平面.
解 原式
.
4 计算，其中：.
解 原式

.
习题10-3
1. 证明:，其中
.
证 因为
又 ，则 ，故
又的体积，即证.
2. 设在上连续，求
其中.
解 对于充分小的，在上连续，由三重积分的中值定理得，存在，使
故

.

习题10-4
1. 根据积分区域，化三重积分 为三次积分：
（1） ： ；
（2） 由双曲抛物面 及平面 所围成的闭区域；
（3） 由圆柱面及平面 所围成的闭区域；
（4） 由旋转抛物面 及抛物柱面 所围成的闭区域.
解 （1）在平面的投影区域，故
；
（2）在平面的投影区域，故
；
（3）在平面的投影区域，故
；
（4）在平面的投影区域，故
.
2. 计算下列三重积分：
（1），其中是由平面及三坐标面所围成的闭区域；
（2），其中是由与所围成的闭区域；
（3），其中是由及所围成的
闭区域；
（4），其中： ；
（5），其中： .
解 （1）原式

；
（2）原式

；
（3）原式

；
（4）利用对称性及先二后一法，得
原式 （对称性）
（先二后一法）
；
（5）由于被积函数关于为奇函数，积分区域关于面对称，由对称性，故
原式.
3. 设有三重积分，其中由曲面及平面所围成，分别在直角坐标、柱面坐标、球面坐标下化为三次积分，并选择其一计算之.
解 （直角坐标）
（球面坐标）
（柱面坐标）
.
4. 利用柱面坐标或球面坐标计算下列积分：
（1），其中：；
（2），其中由及所围成的闭区域；
（3），其中：；
（4），其中：；
（5），其中由柱面及平面所围成的闭区域；
（6），其中：.
（7），其中由锥面及平面所围成的区域；
解 （1）原式 （柱面坐标）
；
（2）原式 （柱面坐标）

；
（3）原式 （球面坐标）

；
（4）原式 （球面坐标）

；
（5）原式 （柱面坐标）

；
（6）原式 （球面坐标）

；
（7）令，得球面需将分成两部分、，
其中

而

所以 .
5. 利用三重积分计算下列曲面所围成立体的体积：
（1）旋转抛物面，抛物柱面及平面；
（2）旋转抛物面，圆锥面（）；
（3）球面（）及圆锥面（含有轴的部分）；
（4）球面及抛物面.
解 （1）
(令)

；
（2）
；
（3）

；
（4）

.
习题10-5
1. 求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.
解 曲面在面上的投影区域

.
2. 曲面（）所围立体的全部表面面积.
解 所求面积的曲面分成两部分、
是圆柱面，曲面和的交线在面投影区域
，由对称性，得

是抛物柱面，曲面和的交线在面投影区域
，由对称性，得

所以 .

3. 设平面薄片所占区域如下，求均匀薄片的质心：
（1）（）所围区域；
（2）；
（3）（）之间的区域.
解 （1）

因此 ， 即质心坐标为；
（2），由对称性可得

因此 ， 即质心坐标为；
（3），由对称性可得

因此
即质心坐标为.
4. 设有一物体所占有的空间区域是由所围成的，且区域上各点的密度为，求该物体的质量.
解

.
5. 球体占有空间区域，且区域内各点处密度等于该点到原点
的距离的平方，求该球体的质心.
解 由题意可知，球体各点的密度，则

，
由对称性可得，

因此 ，故质心坐标为.
6. 设均匀薄片（）所占平面区域如下，求指定的惯性矩：
（1）由抛物线与直线所围成，求及；
（2）由双纽线（）所围成，求.
解 （1）
;

；
（2）
.
7. 设一均匀物体所占空间区域是由曲面及
（）所围成，求该物体的体积、质心及对轴的惯性矩.
解
，
利用对称性可知：，故 ，

因此 ，故质心坐标为，
（为该物体的密度）

.
8. 设圆环薄片，的面密度为常数，求在圆环的圆心上方点（）处有一质量为的质点，求圆环对该质点的引力.
解 设，由对称性可知，

所以 .
9. 求半径为的均匀球体对位于（）处的单位质量的质点的引力.
解 设球的密度为，由球体的对称性及质量均匀分布可知，

所以 .
10. 设在上连续，且，证明下列不等式
.
证 原不等式等价于 ，
左 其中，
又因为
所以
右
即证.
总复习题十
1. 填空题
（1） 交换二重积分的次序 ；
（2）若在区域上连续，且
，则 ；
（3）设，则 ；
（4）设，则 ；
（5）曲面夹在圆柱面之间部分的面积为
.

（1）答案 “”.
解
其中
故 原式；
（2）答案 “”.
解 设，由已知等式可得
即 ，解得，即得 ；
（3）答案 “”.
解 曲线将区域分成、两个区域，如图10-28所示

；

(10-28)
（4）答案 “”.
解 利用“先二后一”法求三重积分得
；
（5）答案 “”.
解 因为，
故 面积.
2. 选择题
（1）设区域由及两坐标轴围成，记，
，，则（ ）；
（） （）
（） （）
（2）设区域由曲线围成，则（ ）；
（） （） （） （）
（3）设平面区域，则（ ）；
（） （） （） （）
（4）设有空间区域；及
，则（ ）；
（） （）
（） （）
（5）设为连续函数，则等于（ ）.
（） （）
（） （）
（6）设为连续函数，则二次积分等于（ ）.
（） （）
（） （）
（7）曲面之内及曲面之外所围的立体体积（ ）；
（） （）
（） （）
（8）设平面区域，且，则（ ）；
（） （） （） （）
（9）设为连续函数，，则（ ）；
（） （） （） （）
（10） 设函数有连续导数且，则（ ）
其中.
（） （） （） （）

（1）答案 选（）.
解 显然在上，则
，
从而有 ，故应选（）；
（2）答案 选（）.
解 作曲线，则将区域分成四块：、、、，其中、关于轴对称，、关于轴对称.由于关于为奇函数而关于也为奇函数，所以

从而
；
（3）答案 选（）.
解 由于区域关于直线对称，也关于直线对称，由对称性
得
；
（4）答案 选（）.
解 由于积分区域关于面、面对称，被积函数关于、为偶函数，
故 ；
（5）答案 选（）.
解 由题设可知积分区域是由圆周及直线围成；
（6）答案 选（）.
解 当时，的反函数为，故应选（）；
（7）答案 选（）.
解 利用三重积分几何意义及柱面坐标计算法即得结论；
（8）答案 选（）.
解 利用直角坐标计算二重积分

；
（9）答案 选（）.
解 交换积分次序
则有 ， 故 ；
（10）答案 选（）.
解 利用球面坐标可得

故
.
.
3.设函数与均在有界闭区域上连续且不变号，证明:至少存在一点，使得
.
证 不妨设在上，由在区域上连续可知，存在，使得
，故有

由二重积分的性质可知

（1） 若，则结论显然成立；
（2） 若，则，故有

利用介值定理可知，至少存在一点使，即有
.
4. 计算下列二重积分：
（1），其中是由圆和所围成的
平面区域；
（2），其中是由所围成的，为
连续函数.
解 （1）区域关于轴对称，如图10-29，，

.
(2) 作曲线将区域分成、，如图10-30，其中关于轴对称，关于轴对称，
原式

.

（图10-29） （图10-30）
5. 设，求，其中
.
解 如图10-31，记，则

.

(10-31)

6. 计算下列三重积分：
（1），其中是由平面上曲线绕轴旋转一周形成的曲面与两平面所围成的区域；
（2），其中是由抛物面与球面所围成的公共区域.
解 （1）旋转曲面方程为: ,利用“先二后一”法计算

；
（2） 被积函数 ，
由于积分区域关于、面对称，所以
故

.
7． 求.
解 （交换积分次序）
（令）
故 原式
.
8. 设函数连续且恒大于零，，其中
，，证明：在内单调增加.
解 因为
，

（）
故在内单调增加.
9. 设半径为的球面的球心在定球面()上，问当取什么值时，球面在定球面内部的那部分面积最大.
解 由题意设球面的方程为，则两球面的交线在面投影为
记为在定球面的部分，则在面投影区域为
由于的方程为，则的面积为

下面求的最大值
，
令，得驻点（舍去）， 又
因此为极大值，即为最大值，故当时，球面在定球面内部的那部分面积最大.
10. 设有一半径为的球体，是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与
该点到距离的平方成正比（比例系数），求球体的质心位置.
解 设球心为，以球心为坐标原点，射线为正轴建立坐标系，则点的坐标为，球面方程为
设 球体的质心位置，由对称性，得
， ， ，
而

（由轮换对称性）
故，球体的质心位置.
注：若以为坐标原点，射线为正轴建立坐标系，则球体的质心位置
为.