2021-2022学年高中数学-2-一元二次函数、方程和不等式-2.3-第1课时-一元二次不等式的解.doc

2021-2022学年高中数学 2 一元二次函数、方程和不等式 2.3 第1课时 一元二次不等式的解法课后素养落实新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 2 一元二次函数、方程和不等式 2.3 第1课时 一元二次不等式的解法课后素养落实新人教A版必修第一册

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课后素养落实(十四) 一元二次不等式的解法
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
A．　　　 B．
C．∅ D．
D　[(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－.]
2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于(　　)
A．{1,2,3} B．{1,2}
C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}
B　[(2x＋1)(x－3)<0，∴－<x<3，
又x∈N*且x≤5，则x＝1,2.]
3．若0<t<1，则不等式(x－t)<0的解集为(　　)
A． B．
C． D．
D　[∵0＜t＜1时，t<，∴解集为.]
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为(　　)
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2}
C　[由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，
∴ax2＋bx＋c＝ax2－ax－6a>0，
∵a<0，∴x2－x－6<0，
∴(x－3)(x＋2)<0，∴－2<x<3.]
5．(多选)二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则下列结论成立的是(　　)
A．a2＋b2＝5 B．a＋b＝－3
C．ab＝－2 D．ab＝2
ABD　[由题意，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根．由根与系数的关系，得解得
∴ab＝2，a＋b＝－3，a2＋b2＝5.故ABD正确．]
二、填空题
6．使根式有意义的实数x的取值范围是__________．
{x|－4≤x≤1}　[由－x2－3x＋4≥0得x2＋3x－4≤0，
解得－4≤x≤1.]
7．若关于x的不等式－x2＋2x＞mx的解集是{x|0＜x＜2}，则实数m的值是________．
1　[将原不等式化为x2＋(m－2)x＜0，即x(x＋2m－4)＜0，故0,2是对应方程x(x＋2m－4)＝0的两个根，代入得m＝1.]
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
{x|x<－2或x>3}　[根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)图象的草图，如图．

由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2或x>3}．]
三、解答题
9．求下列不等式的解集：
(1)x2－5x＋6>0；
(2)－x2＋3x－5>0.
[解]　(1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}．
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅.

10．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为.
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
[解]　(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，
由根与系数的关系，得
解得a＝－6，c＝－1.
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，
即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，
所以不等式的解集为.

1．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．0＜x＜2 B．－2＜x＜1
C．x＜－2或x＞1 D．－1＜x＜2
B　[根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是－2＜x＜1.]
2．(多选)不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是(　　)
A. B．R
C. D．∅
BCD　[因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D.]
3．关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是________．
{x|x<－1或x>3}　[由题意可知a>0，且＝1，即b＝a，
故不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)>0，解得x<－1或x>3，
故不等式的解集为{x|x<－1或x>3}．]
4．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a＝________.
　[由题意可知，x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两个实根，
∴
∴x2－x1＝
＝
＝6a.
又x2－x1＝15，
故6a＝15，∴a＝.]

解关于x的不等式：x2－2ax＋2≤0.
[解]　因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－<a<时，原不等式对应的方程无实根，又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.
当Δ＝0时，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根．
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}．
当Δ>0，即a>或a<－时，原不等式对应的方程有两个不等实数，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1<x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．
综上所述，
当－<a<时，原不等式的解集为∅；当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－};
当a>或a<－时，
原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．