湖北省武汉市汉阳二中2014-2015学年高二数学上学期12月月考试卷文.doc

湖北省武汉市汉阳二中2014-2015学年高二上学期12月月考数学试卷（文科）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣8x﹣2y+10=0，过点M（3，0）的最短弦所在的直线方程是（）
A． x+y﹣3=0 B． x﹣y﹣3=0 C． 2x﹣y﹣6=0 D． 2x+y﹣6=0

2．（5分）在复平面内，复数(1﹣2i)2的共轭复数对应的点位于（）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

3．（5分）给出命题：“若x2+y2=0,则x=y=0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）
A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个

4．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是124,则判断框①处应填入的条件是（）

A． n＞2 B． n＞3 C． n＞4 D． n＞5

5．（5分）对某同学的6次数学测试成绩(满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所
示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：
①中位数为83; ②众数为83；
③平均数为85； ④极差为12．
其中,正确说法的序号是（）

A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ②④

6．（5分）根据如下样本数据：
x 3 4 5 6 7
y 4 2.5 ﹣1 ﹣1 ﹣2
得到的线性回归方程为,则（）
A． a＞0,b＞0 B． a＞0，b＜0 C． a＜0,b＞0 D． a＜0，b＜0

7．(5分）有一个人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有1次中靶"的对立事件是（)
A． 至多有1次中靶 B． 2次都中靶
C． 2次都不中靶 D． 只有1次中靶

8．（5分）如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点)有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an，则=（)

A． B． C． D．

9．（5分)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类"，记为[k］，即［k］={5n+k|n∈Z｝，k=0，1,2，3，4．给出如下四个结论：
①2013∈[3]；
②﹣2∈[2］;
③Z=［0]∪［1]∪[2］∪［3］∪［4］；
④当且仅当“a﹣b∈［0]"整数a,b属于同一“类”．
其中,正确结论的个数为．(）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

10．(5分）已知直线l1：y=x和l2：y=﹣x，对于任意一条直线l：y=kx进行变换,记该变换为R,得另一条直线R（l）．变换R为：先经l1反射，所得直线（即以l1为对称轴，l的轴对称图形）再经l2反射，得到R（l）．令R（1)=R(l)，对于n≥2定义R(n)（l）=R(R（n﹣1）（l)），则使得R（m）（l）=l恒成立的最小正整数m为（)
A． 2 B． 3 C． 4 D． 6

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卷的横线上．.
11．（5分）某中学2014-2015学年高一年级有学生600人，2014-2015学年高二年级有学生450人,2015届高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2，若该校取一个容量为n的样本，则n=．

12．（5分）一个k进制数132与十进制数30相等，那么k等于．

13．（5分）已知直线l：y=x﹣1，点A（1，2),B（3，1)，若在直线l上存在一点P,使得|PA｜﹣｜PB｜最大,则点P坐标为．

14．（5分）多选题是标准化考试的一种题型,一般是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案才算答对，在一次考试中有一道多选题，甲同学不会，他随机猜测，则他答对此题的概率为．

15．（5分）用［x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣2。5］=﹣3，[2。5]=2，设函数f（x)=［x[x］］．
(1)f（3。6)=；
（2)若函数f(x)的定义域是[0,n),n∈N+,则其值域中元素个数为．

16．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P(x1，y1）,Q（x2，y2）之间的“折线距离"．在这个定义下，给出下列命题:
①到原点的“折线距离"等于1的点的集合是一个正方形；
②到原点的“折线距离"等于1的点的集合是一个圆；
③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离"之和为4的点的集合是面积为6的六边形；
④到M（﹣1，0）,N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．
其中正确的命题是．(写出所有正确命题的序号)

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分)已知函数f（x)=sin2x﹣2cos2x++a．
(1）求函数f（x）的单调递减区间;
(2)设x∈［0,］时，f（x）的最小值是﹣2，求f（x）的最大值．

18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是矩形，E是棱PD的中点，PA=AD=4,AB=3．
(1）证明PB∥底面ACE;
（2）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．

19．（13分)若Sn和Tn分别表示数列｛an}和｛bn}的前n项和,对任意正整数n,有an=﹣，4Tn﹣12Sn=13n．
（1）求数列{bn｝的通项公式;
(2）设cn=bn+，若++…+＞，求n的最小值．

20．（14分）从某校2015届高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高，据测量被测学生的身高全部在155cm到195cm之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组［155，160），第二组［160，165），…,第八组[190，195］，如图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知：第1组与第8组的人数相同，第6组、第7组和第8组的人数依次成等差数列．
(1)求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图；

分组 频数 频率 频率/组距
… … … …
［180,185） x y z
［185,190) m n p
… … … …
（2)若从身高属于第6组和第8组的所有男生中随机的抽取2名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足：｜x﹣y｜≤5事件的概率．

21．（14分)已知圆x2+y2﹣x=0与直线x+y﹣1=0交于P，Q两点，动圆C过P,Q两点．
（1）若圆C圆心在直线y=x上，求圆C的方程；
（2）求动圆C的面积的最小值；
（3）若圆C与x轴相交于两点M，N（点N横坐标大于1）．若过点M任作的一条与圆O：x2+y2=4交于A，B两点直线都有∠ANM=∠BNM，求圆C的方程．

湖北省武汉市汉阳二中2014—2015学年高二上学期12月月考数学试卷（文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣8x﹣2y+10=0,过点M(3,0）的最短弦所在的直线方程是（)
A． x+y﹣3=0 B． x﹣y﹣3=0 C． 2x﹣y﹣6=0 D． 2x+y﹣6=0

考点: 直线与圆的位置关系．
专题: 直线与圆．
分析： 由题意可得点M(3，0）在圆的内部,故当直线和CM垂直时,弦长最短，求出最短的弦所在直线的斜率,用点斜式求得过点M（3，0）的最短弦所在的直线方程．
解答: 解：圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0，即 (x﹣4）2+（y﹣1)2 =7,表示以C（4,1）为圆心，半径等于的圆,显然点M（3，0）在圆的内部，
故当直线和CM垂直时，弦长最短，
故最短的弦所在直线的斜率为==﹣1，故过点M（3，0)的最短弦所在的直线方程是y﹣0=﹣（x﹣3)，即x+y﹣3=0，
故选：A．
点评： 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
2．（5分）在复平面内，复数（1﹣2i）2的共轭复数对应的点位于(）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点: 复数代数形式的乘除运算．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．
解答： 解:在复平面内,复数（1﹣2i)2=﹣3﹣4i的共轭复数﹣3+4i对应的点（﹣3，4）位于第二象限,
故选：B．
点评： 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义,属于基础题．

3．（5分)给出命题：“若x2+y2=0，则x=y=0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()
A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个

考点： 四种命题．
专题： 计算题；规律型;简易逻辑．
分析： 先写出其命题的逆命题,只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题、逆否命题的真假．
解答： 解：“若x2+y2=0,则x=y=0”，是真命题,
其逆命题为：“若x=y=0，则x2+y2=0”是真命题,
据互为逆否命题的两个命题真假相同,可知其否命题为真命题、逆否命题是真命题,
故真命题的个数为3．
故选:D．
点评： 本题考查四种命题及真假判断,注意原命题和其逆否命题同真假，属容易题．

4．(5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是124,则判断框①处应填入的条件是（）

A． n＞2 B． n＞3 C． n＞4 D． n＞5

考点: 程序框图．
专题： 算法和程序框图．
分析： 分别计算n=1，2，3，…时的s的值,直到满足S=124时，进而即可得出判定框①中的条件．
解答： 解答：解：由s=0,n=1得出s=(0+1）×1=1,n=2；
由s=1,n=2得出s=（1+2)×2=6；
由s=6，n=3得出s=（6+3）×3=27．
由s=27，n=4得出s=（27+4）×4=124，n=5，此时不满足条件为输出结果，应终止循环，
因此判定框①中应为n＞4．
故选C．
点评： 点评:本题主要考查程序框图的识别和应用，正确理解循环结构和判断框的功能是解题的关键．

5．(5分）对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所
示，给出关于该同学数学成绩的以下说法:
①中位数为83； ②众数为83；
③平均数为85； ④极差为12．
其中,正确说法的序号是（）

A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ②④

考点： 茎叶图;极差、方差与标准差．
专题： 概率与统计．
分析： 根据统计知识，将数据按从小到大排列，可以发现，①不正确，不能选A，②正确不能选C,③正确只能选B
解答： 解：将各数据按从小到大排列为:78，83，83，85，90,91．可见:中位数是=84，∴①是不正确的；
众数是83，②是正确的;=85，∴③是正确的．极差是91﹣78=13，④不正确的．可见,只有选项B是正确的．
极差是91﹣78=13．
故选B
点评： 本题借助茎叶图考查了统计的基本概念,属于基础题．

6．（5分)根据如下样本数据：
x 3 4 5 6 7
y 4 2.5 ﹣1 ﹣1 ﹣2
得到的线性回归方程为，则（)
A． a＞0,b＞0 B． a＞0,b＜0 C． a＜0，b＞0 D． a＜0，b＜0

考点： 线性回归方程．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 利用公式求出b,a，即可得出结论．
解答： 解:样本平均数=5.5，=0。25，
∴（）=﹣24。5,2=17.5，∴b=﹣=﹣1.4,
∴a=0。25﹣（﹣1.4）•5。5=7。95，
故选：B．
点评: 本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．

7．(5分）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶"的对立事件是（）
A． 至多有1次中靶 B． 2次都中靶
C． 2次都不中靶 D． 只有1次中靶

考点: 互斥事件与对立事件．
专题： 计算题．
分析： 根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件．
解答: 解:由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，
再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，
故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，
故选C．
点评： 本题主要考查对立事件的定义，求一个事件的对立事件的方法，属于基础题．

8．（5分)如图所示，将若干个点摆成三角形图案,每条边（包括两个端点)有n（n＞1,n∈N＊）个点,相应的图案中总的点数记为an，则=(）

A． B． C． D．

考点： 归纳推理；数列的求和．
专题: 规律型．
分析: 根据图象的规律可得出通项公式an，根据数列｛ }的特点可用列项法求其前n项和的公式，而是前2011项的和，代入前n项和公式即可得到答案．
解答： 解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n﹣3,即an=3n﹣3．
令Sn==++…+=1﹣+﹣+…+﹣=
∴=
故选B．
点评： 本题主要考查简单的和清推理，求等差数列的通项公式和用裂项法对数列进行求和问题，同时考查了计算能力，属中档题．

9．（5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k］={5n+k|n∈Z｝，k=0,1，2，3,4．给出如下四个结论：
①2013∈［3]；
②﹣2∈[2]；
③Z=[0]∪[1］∪[2]∪［3]∪［4］；
④当且仅当“a﹣b∈［0］”整数a，b属于同一“类”．
其中，正确结论的个数为．()
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 元素与集合关系的判断；命题的真假判断与应用．
专题： 计算题；新定义；函数的性质及应用．
分析: 根据“类”的定义分别进行判断即可．
解答： 解:①∵2013÷5=402…3,∴2013∈［3］,故①正确；
②∵﹣2=5×（﹣1）+3,∴﹣2∈[3］，故②错误；
③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=［0］∪［1］∪[2]∪［3]∪[4],故③正确；
④∵整数a，b属于同一“类”,∴整数a,b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0，
反之也成立,故当且仅当“a﹣b∈［0]"整数a，b属于同一“类”．故④正确．
正确的结论为①③④．
故选：C．
点评： 本题主要考查新定义的应用，利用定义正确理解“类"的定义是解决本题的关键．

10．（5分）已知直线l1:y=x和l2:y=﹣x，对于任意一条直线l：y=kx进行变换,记该变换为R，得另一条直线R（l）．变换R为：先经l1反射，所得直线（即以l1为对称轴，l的轴对称图形）再经l2反射，得到R（l）．令R(1）=R(l），对于n≥2定义R（n）(l）=R（R(n﹣1）（l)），则使得R（m）（l）=l恒成立的最小正整数m为(）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 6

考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程．
专题： 计算题；直线与圆．
分析： 利用对称性，即可得出结论．
解答： 解：设直线l：y=kx的倾斜角为α（0＜α＜）,则经l1反射，所得直线的倾斜角为﹣α，经l2反射，所得直线的倾斜角为+α，即R（1)（l)的倾斜角为+α；经l1反射，所得直线的倾斜角为π﹣α,经l2反射，所得直线的倾斜角为﹣α，即R（2）（l）的倾斜角为﹣α；经l1反射,所得直线的倾斜角为+α,经l2反射，所得直线的倾斜角为α，即R（3）（l）的倾斜角为α．故使得R（m）（l)=l恒成立的最小正整数m为3．
故选：B．
点评： 本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程,考查学生的计算能力，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卷的横线上．.
11．（5分）某中学2014—2015学年高一年级有学生600人,2014—2015学年高二年级有学生450人，2015届高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2，若该校取一个容量为n的样本,则n=360．

考点： 分层抽样方法．
专题: 计算题;概率与统计．
分析: 题目给出了各层的人数，则总容量可求，用样本容量除以总容量等于0。2可求样本容量．
解答： 解：因为每人被抽取的机率为0。2，所以=0。2，
∴n=360．
故答案为360．
点评: 本题考查了分层抽样，分层抽样中，每个个体被抽取的可能性是相等的．

12．（5分）一个k进制数132与十进制数30相等，那么k等于4．

考点: 进位制．
专题： 计算题．
分析: 由题意可得:1×k2+3×k+2=30，即可解得k的值．
解答: 解：由题意可得:1×k2+3×k+2=30
整理可得：k2+3k﹣28=0
即有:（k+7）（k﹣4）=0
从而解得：k=﹣7排除，k=4
故答案为:4．
点评： 本题主要考察了进制数之间的互化，属于基本知识的考查．

13．（5分）已知直线l：y=x﹣1，点A（1，2），B(3，1),若在直线l上存在一点P，使得｜PA|﹣|PB|最大，则点P坐标为(3，2）．

考点: 两点间的距离公式．
专题： 数形结合；直线与圆．
分析: 作点A关于直线l的对称点C，作直线BC交l于P点，此时|｜PB|﹣｜PA｜｜最大,则点P为所求点．
解答: 解：作点A关于直线l的对称点C，作直线BC交l于P点，此时｜|PB｜﹣|PA|｜最大，则点P为所求点．
设C（a，b)，
则满足AC⊥l，
∵直线y=x﹣1的斜率k=1，
则 ，
解得a=3，b=0,即C(3,0）．

此时直线BC的方程为x=3，
由点P在直线l：y=x﹣1上，
从而解得x=3,y=2,
即P（3，2),
故答案为：(3，2）．
点评: 本题考查的是最短线路问题，解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形，再由两点之间线段最短的知识求解,本题属于中档题．

14．（5分）多选题是标准化考试的一种题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案才算答对,在一次考试中有一道多选题,甲同学不会，他随机猜测，则他答对此题的概率为．

考点： 古典概型及其概率计算公式．
专题： 概率与统计．
分析： 随机猜测的所有可能的种数为，由此利用古典概型及其概率计算公式能求出结果．
解答： 解：因为正确答案的种数m=1,
随机猜测的种数n==15，
所以,他答对此题的概率P==．
故答案为：．
点评： 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题，对数学思维的要求较高．

15．（5分）用［x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣2。5]=﹣3，[2.5］=2，设函数f（x）=［x[x]］．
（1）f（3。6）=10；
（2）若函数f(x)的定义域是［0，n），n∈N+，则其值域中元素个数为．

考点： 函数的值；元素与集合关系的判断．
专题： 函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．
分析： 本题（1）利用取整函数的规定，求出［3.6］的值，再求出[3.6［3。6]］的值，得到本题结论；(2）利用取整函数的规定，根据x∈［0，n），找出其函数值的取值规律,求出值域中元素个数，得到本题结论．
解答： 解：（1）∵函数f(x）=[x[x]］，
∴f（3。6)=［3.6[3。6]］=[3。6×3]=［10.8］=10．
（2）∵函数f（x）的定义域是[0,n），n∈N+,
∴当0≤x＜1时，[x]=0，f（x)=[x［x]］=［x×0］=［0］=0，函数值有1个，
当1≤x＜2时,[x］=1，f(x）=[x［x］]=[x×1］=［x］=1，函数值有1个，
当2≤x＜3时，4≤2x＜6
[x］=2，f(x）=[x［x］］=[x×2]=[2x]，能取到4,5,函数值有2个，
当3≤x＜4时，9≤3x＜12,
［x］=3，f(x）=[x[x］］=[x×3］=[3x］，能取到9，10，11，函数值有3个,
当4≤x＜5时，16≤4x＜20,
[x］=4，f（x）=［x［x］]=[x×4］=[4x］,能取到16，17，18,19，函数值有4个，
…
当n﹣1≤x＜n时，（n﹣1）2≤（n﹣1）x＜n（n﹣1），
［x]=n﹣1，f（x）=[x[x]］=[x×（n﹣1）］=[（n﹣1）x］，能取到（n﹣1）2,（n﹣1）2+1，（n﹣1）2+2，…,n(n﹣1）﹣1，函数值有n﹣1个，
∴值域中元素个数为：1+1+2+3+…+（n﹣1)=．
故答案为：．
点评： 本题考查了取整函数的定义及其应用,本题有一定的难度,属于中档题．

16．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=｜x1﹣x2｜+|y1﹣y2｜为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题:
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形;
②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆;
③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离"之和为4的点的集合是面积为6的六边形；
④到M(﹣1,0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．
其中正确的命题是①③④．（写出所有正确命题的序号）

考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 压轴题；阅读型．
分析： 先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．
解答： 解：到原点的“折线距离”等于1的点的集合｛（x,y）｜｜x｜+|y｜=1｝,是一个正方形故①正确,②错误；
到M（﹣1,0),N(1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是｛（x,y)||x+1｜+｜y|+|x﹣1|+｜y｜=4｝,故集合是面积为6的六边形，则③正确；
到M（﹣1,0）,N(1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合｛(x，y）|｜x+1|+|y｜﹣｜x﹣1｜﹣｜y|=1｝={（x，y）|｜x+1|﹣｜x﹣1|=1}，集合是两条平行线，故④正确；
故答案为：①③④
点评： 本题主要考查了“折线距离”的定义,以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知函数f（x)=sin2x﹣2cos2x++a．
（1)求函数f（x）的单调递减区间；
（2）设x∈［0,]时，f（x）的最小值是﹣2，求f（x）的最大值．

考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析: （1）利用三角恒等变换,将y=f(x）整理可得f（x)=2sin（2x﹣）+a，令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，即可求得函数f（x）的单调递减区间；
（2)0≤x≤⇒﹣≤2x﹣≤⇒﹣≤sin（2x﹣）≤1，依题意，即可求得a的值，继而可得f(x）的最大值．
解答： 解析：（1）f（x)=sin2x﹣（1+cos2x）++a
=sin2x﹣cos2x+a
=2sin（2x﹣）+a，
令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间［kπ+，kπ+](k∈Z）…（6分）
（2)∵0≤x≤,﹣≤2x﹣≤,﹣≤sin（2x﹣）≤1,
∴f（x）min=﹣+a；f(x)max=2+a，令﹣+a=﹣2得a=﹣2，
所以f(x）max=2+﹣2． …(12分）
点评： 本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性与最值,属于中档题．

18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD,ABCD是矩形,E是棱PD的中点,PA=AD=4，AB=3．
（1）证明PB∥底面ACE；
（2)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．

考点： 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定．
专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： (1）首先利用中位线得到线线平行,进一步转化为线面平行．
（2）首先利用绵绵的垂直转化成线面的垂直，进一步得出线面的夹角,最后利用解直角三角形知识求出结果．
解答：
证明：（1)连结BD交AC于O,连结EO,
则：EO是△PBD的中位线，
所以:PB∥EO
因为PB⊄平面ACE，EO⊂平面ACE
所以：PB∥平面ACE
（2）作BH⊥AC于H，连结PH
因为:PA⊥底面ABCD,
所以：平面PAC⊥平面ABCD
由两平面垂直的性质定理得,BH⊥平面PAC
所以：∠BPH就是直线PB与平面PAC所成的角．
因为 PB=5，BH=，
所以：sin∠BPH=，
即直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为．
点评： 本题考查的知识要点：线面平行的判定定理,线面的夹角，解直角三角形知识，属于基础题型．

19．（13分)若Sn和Tn分别表示数列{an}和{bn｝的前n项和，对任意正整数n，有an=﹣，4Tn﹣12Sn=13n．
（1）求数列｛bn}的通项公式；
（2）设cn=bn+，若++…+＞，求n的最小值．

考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1)利用公式法，两式作差即可解得结论；
（2)利用裂项相消法求得++…+=（1﹣）=（1﹣）=．令 ＞解得即可．
解答: 解析:（1）当n≥2，n∈N*时：，
两式相减得:4bn﹣12an=13,∴bn=3an=﹣3n﹣，
又b1=﹣也适合上式，∴数列｛bn}的通项公式为．
（2）由（1)得 cn=﹣3n，
于是 ==（），
所以 ++…+=（1﹣)=(1﹣）=．
令 ＞，得n＞99．
所以n的最小值为100．
点评： 本题主要考查数列通项公式的求法及利用裂项相消法求数列的和等知识,考查学生的等价转化思想的运用能力及运算求解能力，属于中档题．

20．（14分）从某校2015届高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高，据测量被测学生的身高全部在155cm到195cm之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155，160），第二组[160，165）,…,第八组[190,195］,如图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知：第1组与第8组的人数相同，第6组、第7组和第8组的人数依次成等差数列．
（1)求下列频率分布表中所标字母的值,并补充完成频率分布直方图;

分组 频数 频率 频率/组距
… … … …
［180，185) x y z
［185，190） m n p
… … … …
（2）若从身高属于第6组和第8组的所有男生中随机的抽取2名男生,记他们的身高分别为x、y，求满足:|x﹣y｜≤5事件的概率．

考点: 频率分布直方图；等可能事件的概率．
专题： 应用题;图表型．
分析: （1)由频率和为1，及题设条件得出样本中6、7组的人数为7人，由已知：x+m=7,x,m，2成等差数列，故可求得答案．
（2 从身高属于第6组和第8组的所有男生中随机的抽取2名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足：｜x﹣y｜≤5事件的概率，这是一个古典概率模型的问题．用列举法列出基本事件的个数与事件工包含的基本事件数，用古典概率模型的公式求概率．
解答： 解：（1）由直方图可得前5组的概率是(0.008+0。016+0。04+0.04+0.06)×5=0。82,(1分)
第8组的概率是0.04，所以第6，7组的概率是1﹣0。86=0。14，所以样本中6、7组的人数为7人．①（3分）
∵x,m，2成等差数列,
∴x=2m﹣2②
由①②得：m=3，x=4，即y=0.08，n=0。06；z=0。016，p=0。012．频率分布直方图如图所示．（6分）
(2）由（1）知,
身高在［180，185)内的人数为4人,设为a,b，c,d,身高在［190，195］内的人数为2人，设为A，B,(7分）
若x,y∈［180，185）有ab,ac，ad，bc，bd，cd有6种情况；（8分）
x,y∈［190，195]有AB有1种情况，
若x，y∈[180，185）或x，y∈[190,195]时有aA，bA，cA，dA，aB，bB,cB,dB有8种情况．
所以基本事件总数为6+1+8=15种．（10分）
所以,事件“|x﹣y|≤5”所包含的基本事件个数为6+1=7种,
所以，P（|x﹣y｜≤5）=（12分）
点评： 考查统计抽样中数据的处理以及古典概率模型，属于基础技能题型．

21．（14分）已知圆x2+y2﹣x=0与直线x+y﹣1=0交于P，Q两点，动圆C过P,Q两点．
（1)若圆C圆心在直线y=x上，求圆C的方程;
（2）求动圆C的面积的最小值；
（3）若圆C与x轴相交于两点M，N（点N横坐标大于1）．若过点M任作的一条与圆O：x2+y2=4交于A，B两点直线都有∠ANM=∠BNM，求圆C的方程．

考点： 直线和圆的方程的应用．
专题： 直线与圆．
分析： （1）由题意可设圆C方程为x2+y2﹣x+λ(x+y﹣1）=0，圆C圆心在直线y=x上即可得出λ．
（2）由（1）可得，即可得出动圆C的面积的最小值．
（3）设圆C方程为x2+y2﹣x+λ(x+y﹣1）=0,令y=0，x2+(λ﹣1)x﹣λ=0，可得xM=1,xN=﹣λ,﹣λ＞1．设直线AB的方程为y=k(x﹣1），代入x2+y2=4得，(1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，设A(x1，y1），B（x2，y2)，可得根与系数的关系，由于∠ANM=∠BNM,可得，代入解出即可．
解答: 解：（1)设圆C方程为x2+y2﹣x+λ（x+y﹣1）=0，
=．
∵，解得λ=﹣1．
∴圆C方程为x2+y2﹣2x﹣y+1=0．
（2）由(1）可得，∴动圆C的面积的最小值为．
（3）设圆C方程为x2+y2﹣x+λ（x+y﹣1）=0，
令y=0,x2+(λ﹣1)x﹣λ=0，
∴（x﹣1）（x+λ）=0,xM=1,xN=﹣λ，﹣λ＞1．
设直线AB的方程为y=k（x﹣1），
代入x2+y2=4得，（1+k2)x2﹣2k2x+k2﹣4=0，
设A（x1，y1），B（x2,y2），从而．
∵，
而（x1﹣1）（x2+λ）+（x2﹣1）（x1+λ）
=2x1x2﹣（﹣λ+1）（x2+x1)﹣2λ==，
∵∠ANM=∠BNM,
∴，即=0，得λ=﹣4．
当直线AB与x轴垂直时也成立．
∴圆C的方程为x2﹣5x+y2﹣4y+4=0．
点评： 本题考查了直线与圆的相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力,属于难题．