2021-2022学年高中数学-第4章-对数运算与对数函数-单元复习课-第4课时-对数运算与对数函数.docx

2021-2022学年高中数学 第4章 对数运算与对数函数 单元复习课 第4课时 对数运算与对数函数巩固练习北师大版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第4章 对数运算与对数函数 单元复习课 第4课时 对数运算与对数函数巩固练习北师大版必修第一册

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姓名：

第4课时　对数运算与对数函数
课后训练·巩固提升
一、A组
1.2lg(lga100)2+lg(lga)等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.0
解析:2lg(lga100)2+lg(lga)=2lg(100·lga)2+lg(lga)=2[lg100+lg(lga)]2+lg(lga)=2.
答案:B
2.函数f(x)=3x,x≤1,log13x,x>1,则y=f(x+1)的图象大致是(　　)

解析:将f(x)的图象向左平移1个单位长度即得到y=f(x+1)的图象.故选B.
答案:B
3.函数f(x)=2x|log0.5x|-1与x轴交点的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:函数f(x)=2x|log0.5x|-1与x轴交点的个数即为函数y=|log0.5x|与y=2-x图象的交点个数.
在同一平面直角坐标系中画出函数y=|log0.5x|,y=2-x的图象(图略),易知有两个交点.
答案:B
4.若loga(a2+1)<loga2a<0,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.0,12
C.12,1 D.(0,1)∪(1,+∞)
解析:由题意得a>0,且a≠1,故必有a2+1>2a,
又loga(a2+1)<loga2a<0,所以0<a<1,
同时2a>1,得a>12.
综上,a∈12,1.
答案:C
5.设a=log36,b=log510,c=log714,则(　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
解析:由对数运算性质得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象(图略)得log32>log52>log72,所以a>b>c.
答案:D
6.计算:80.25×42+(32×3)6+log32×log2(log327)=　　　　　. 
解析:∵log32×log2(log327)=log32×log23=lg2lg3×lg3lg2=1,
∴原式=234×214+22×33+1=21+4×27+1=111.
答案:111
7.函数f(x)=log2x·log2(2x)的最小值为　　　　　. 
解析:f(x)=12log2x·[2(log2x+1)]=(log2x)2+log2x=log2x+122-14,所以,当log2x=-12,即x=22时,f(x)取得最小值-14.
答案:-14
8.已知函数f(x)=logax+bx-b(a>0,b>0,且a≠1).
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)讨论f(x)的单调性.
解:(1)要使f(x)有意义,只需x+bx-b>0,
因为b>0,所以x>b,或x<-b,
所以f(x)的定义域为{x|x>b,或x<-b}.
故f(x)的定义域关于原点对称.
又因为f(-x)=loga-x+b-x-b=logax+bx-b-1=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)设u(x)=x+bx-b=x-b+2bx-b=1+2bx-b,
设x1>x2,
则u(x1)-u(x2)=1+2bx1-b-1+2bx2-b=2b(x2-x1)(x1-b)(x2-b),
当x1>x2>b>0时,2b(x2-x1)(x1-b)(x2-b)<0,
即u(x1)<u(x2),此时,u(x)单调递减,同理当0>-b>x1>x2时,u(x)也单调递减,
所以当a>1时,f(x)=logax+bx-b在区间(-∞,-b)和(b,+∞)上单调递减;
当0<a<1时,f(x)=logax+bx-b在区间(-∞,-b)和(b,+∞)上单调递增.
9.已知f(x)=x2-x+k,且log2f(a)=2,f(log2a)=k(a>0,且a≠1).
(1)求a,k的值;
(2)当x为何值时,f(logax)有最小值?并求出该最小值.
解:(1)由题意得a2-a+k=4,①(log2a)2-log2a+k=k,②
由②得log2a=0,或log2a=1,解得a=1(舍去),或a=2.将a=2代入①式,得k=2.
(2)由(1)知,f(logax)=f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=log2x-122+74.
当log2x=12即x=2时,f(logax)有最小值,最小值为74.
二、B组
1.若函数y=f(x)的定义域是[-1,1],则函数y=f(log2x)的定义域是(　　)
A.[-1,1] B.12,2
C.[2,4] D.[1,4]
解析:∵y=f(x)的定义域是[-1,1],
则有-1≤log2x≤1,
∴12≤x≤2.
∴函数y=f(log2x)的定义域是x12≤x≤2.
故选B.
答案:B
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2x,则f(log49)的值为(　　)
A.-3 B.-13
C.13 D.3
解析:因为x<0时,f(x)=2x,且f(x)为R上的奇函数,
所以x>0时,-x<0,f(-x)=-f(x)=2-x,即f(x)=-2-x,即x>0时,f(x)=-2-x.
所以f(log49)=f(log23)=-2-log23=-13.
答案:B
3.当0<x≤12时,4x<logax,则实数a的取值范围是(　　)
A.0,22 B.22,1
C.(1,2) D.(2,2)
解析:由0<x≤12,且logax>4x>0,可得0<a<1,由412=loga12可得a=22,令f(x)=4x,g(x)=logax,若当0<x≤12时,4x<logax,说明当0<x≤12时,f(x)的图象恒在g(x)图象的下方(如图所示),此时需a>22.

综上,可得实数a的取值范围是22,1.
答案:B
4.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则y=f(x)与g(x)=log5x的图象的交点个数为　　　　　. 
解析:因为函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数,又x∈[-1,1]时,f(x)=x2.根据函数的周期性画出图形,如图,由图可得y=f(x)与g(x)=log5x的图象有4个交点.

答案:4
5.已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 
解析:当a>1时,f(x)在区间[1,2]上单调递减,由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,
则f(x)min=f(2)=loga(8-2a)>1,
解得a<83,故1<a<83.
当0<a<1时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,
由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,
则f(x)min=f(1)=loga(8-a)>1,且8-a>0.
得4<a<8,故a不存在.
综上可知,实数a的取值范围是1,83.
答案:1,83
6.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.如果实数t满足f(ln t)+fln1t<2f(1),则t的取值范围是　　　　. 
解析:因为函数f(x)是偶函数,
所以fln1t=f(-lnt)=f(lnt)=f(|lnt|).
则由f(lnt)+fln1t<2f(1),
得2f(lnt)<2f(1),
即f(|lnt|)<f(1),
又因为f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
所以|lnt|<1,
解得1e<t<e.
答案:1e,e
7.已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0).
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(x)在区间(1,+∞)上单调递增且恒为正值,求实数a,b满足的关系式.
解:(1)由ax-bx>0,得abx>1.
∵a>1>b>0,
∴ab>1.
∴x>0.
∴f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)∵f(x)在区间(1,+∞)上单调递增且恒为正值,
∴f(x)>f(1),且f(1)≥0,即lg(a-b)≥0.
∴a-b≥1,故实数a,b满足关系式a-b≥1.