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2021-2022学年高中数学 第一章 数列 2.2.2 等差数列习题课学案北师大版必修5

2021-2022学年高中数学 第一章 数列 2.2.2 等差数列习题课学案北师大版必修5

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第2课时　等差数列习题课
学
习
目
标
1.掌握an与Sn的关系,会由Sn求an.(数学运算)
2.掌握与等差数列前n项和有关的数列求和.(数学运算)
3.能够应用等差数列前n项和公式解决实际问题.(数学建模)
关键能力·合作学习
类型一　已知Sn求an(数学运算)
【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?
【思路导引】由Sn的定义可知,当n=1时,S1=a1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
即an=
【解析】根据Sn=a1+a2+…+an-1+an
与Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),
可知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=n2+n-
=2n-,①
当n=1时,a1=S1=12+×1=.
也满足①式,
所以数列{an}的通项公式为an=2n-.
由此可知,数列{an}是一个首项为,公差为2 的等差数列.
【解题策略】
由Sn求an的方法
(1)an与Sn的关系:an=
当n=1适合于an时,则a1可以统一到an(n≥2,n∈N+)的形式中,而不用写成分段函数形式.若n=1不适合an,则通项公式应写成分段函数形式.
(2)等差数列{an}中,若d≠0,则Sn可写成关于n的二次函数形式,反之,若Sn=An2+Bn,那么数列{an}一定是等差数列.
【跟踪训练】
已知数列的前n项和Sn=n2+n,则an=　　 　　. 
【解析】当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,n=1时,
a1=2也适合an=2n,
综上an=2n(n∈N*)
答案:2n
类型二　求等差数列绝对值的前n项和(数学运算)
【典例】数列{an}的前n项和Sn=33n-n2,
(1)求{an}的通项公式;
(2){an}的前多少项和最大;
(3)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Sn′.
【思路导引】(1)利用Sn与an的关系求通项,也可由Sn的结构特征求a1,d,从而求出通项.
(2)利用Sn的函数特征求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点求解.
(3)利用an判断哪些项是正数,哪些项是负数,再求解,也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解.
【解析】(1)方法一:(公式法)
①当n≥2时,an=Sn-=34-2n,
②当n=1时,a1=S1=32=34-2×1,满足
an=34-2n.所以{an}的通项公式为an=34-2n.
方法二:(结构特征法)由Sn=-n2+33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数,
所以{an}是等差数列,由Sn的结构特征知
解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n.
(2)方法一:(公式法)
令an≥0,得34-2n≥0,所以n≤17,
所以数列{an}的前17项大于或等于零,又a17=0,
所以数列{an}的前16项或前17项的和最大.
方法二:(函数性质法)
由y=-x2+33x的对称轴为x=.
距离最近的整数为16,17.
由Sn=-n2+33n的图像可知:当n≤17时,an≥0,当n≥18时,an<0,所以数列{an}的前16项或前17项的和最大.
(3)由(2)知当n≤17时,an≥0;当n≥18时,an<0.
所以当n≤17时,Sn′=b1+b2+…+bn
=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn
=33n-n2.
当n≥18时Sn′=|a1|+|a2|+…+|a17|+|a18|+…+|an|=a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an)
=S17-(Sn-S17)=2S17-Sn=n2-33n+544.
所以Sn′=
【解题策略】
　数列{|an|}的前n项和的三种类型的求解策略
(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.
(2)等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.
(3)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.
【跟踪训练】
等差数列{an}中,a1=-10,d=2,则数列{|an|}的前3项的和S3=　　 　 　 ,前8项的和S8=　 　　 　. 
【解析】a1=-10,d=2,
所以an=-10+2(n-1)=2n-12,a6=0,
故S3=|-10|+|-8|+|-6|=24,
S8=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a6|+|a7|+|a8|
=-a1-a2-…-a6+a7+a8=36.
答案:24　36
类型三　等差数列前n项和的应用(数学建模)
　角度1　等差数列前n项和的实际应用 
【典例】如图所示,有一块菜地共有20畦,每畦长12米,宽1.5米,离菜地18米处有一个池塘,浇水的人从池塘挑一担水,绕着第1畦菜地走一圈,浇完第1畦菜,然后他返回池塘边,再挑一担水,绕着第2畦菜地走一圈,浇完第2畦菜,以后照此办法,直至浇完整块菜地,问他一共走了多少路?

【思路导引】由题意知:浇完后一畦菜地比前一畦菜地多走2×1.5米,所以此人每次所走路程为等差数列.
【解析】设浇完第n(1≤n≤20)畦菜地后,再回到池塘边时浇水人所走的路程为an,由题意,数列{an}是等差数列,
其中a1=2×18+2×(12+1.5)=63,
a20=2×18+2×(12+1.5)+19×2×1.5=120.
所以S20===1 830(米).
因为要计算的路程到浇完第20畦为止,
所以所求路程为S=S20-(18+19×1.5)
=1 830-46.5=1 783.5(米).
答:他一共走了1 783.5米.
【变式探究】
　在一次数学竞赛中,获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列,总分为656,且第一名的分数超过了90分(满分为100分).已知同学们的分数都是整数,那么第三名的分数是多少?
【解析】设第一名的分数为a1,公差为d.则S8=8a1+×d=656,所以d=. 因为a1∈(90,100],a1∈Z,d∈Z,所以当a1=96时,d=-4符合题意,此时第三名的分数是88.
　角度2　裂项相消法求和 
【典例】已知数列{an}的各项均为正数,a1=1,且2an+1an+an+1-an=0.
(1)设bn=,求证:数列{bn}是等差数列.
(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Sn.
【思路导引】(1)由题意证明bn+1-bn为一个常数,可得数列{bn}是等差数列.
(2)由(1)得an=表示出cn,利用裂项相消法求和.
【解析】(1)因为2an+1an+an+1-an=0.
两边同除以an+1an,得2+-=0,
所以bn+1-bn=-=2,又b1==1,
所以数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)知,bn=2n-1,
所以an=.
所以cn==
=,
Sn=++…+
=
=
=.
【解题思路】
1.等差数列解决实际问题的一般思路

2.裂项相消法求数列的和
　　裂项相消法求数列的和,主要适用于数列的通项公式是分式的形式.
常见的裂项有:
(1)若{an}是等差数列,则=,=
(2)=
(3)==
(4)=-
(5)=
(6)=1+
【题组训练】
1.(2020·威海高一检测)某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费总和为　　　　万元. 
【解析】由题意,从第二年起维修费比上一年增加4万元,即每年的维修费成等差数列.
设每年的维修费构成的等差数列为{an},
则an=12+4(n-1)=4n+8,
S10=10×12+×10×9×4=300(万元).
答案:300
2.数列{an}的通项公式an=,其前n项和Sn=9,则n=　　　　. 
【解析】an==-,
所以Sn=(-1)+(-)+…+(-)
=-1=9.所以n=99.
答案:99
3.在数列{an}中,an=++…+,且bn=,求数列{bn}的前n项的和.
【解析】an=(1+2+…+n)=,
因为bn=,
所以bn=
=8,
所以数列{bn}的前n项和为
Sn=8+++…+-=8=.
课堂检测·素养达标
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和T100为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.因为a5=5,S5=15,
所以=15,
所以a1=1.所以d==1,所以an=n.
所以==-.
则数列的前100项的和为:
T100=++…+
=1-=.
2.数列的前n项和为Sn=2n2-3n(n∈N*),若p-q=5,则ap-aq=(　　)
A.20　　　B.15　　　C.10　　　D.-5
【解析】选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3n-3=4n-5,a1=S1=-1适合上式,所以an=4n-5,所以ap-aq=4(p-q),因为p-q=5,所以ap-aq=20.
3.一物体从1 960 m的高空降落,如果第1秒降落4.90 m,以后每秒比前一秒多降落9.80 m,那么经过　　　　秒落到地面. 
【解析】设物体经过t秒降落到地面.
物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列.
所以4.90t+t(t-1)×9.80=1 960,
即4.90t2=1 960,解得t=20.
答案:20
4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1,则a6+a7+…+a10的值为　　　　　. 
【解析】a6+a7+…+a10=S10-S5=111-31=80.
答案:80
5.(教材二次开发:习题改编)已知数列的前n项和Sn=3n-2,则数列的通项公式是　　　　. 
【解析】当n=1时,a1=S1=31-2=1;
当n≥2时,Sn-1=3n-1-2,
则an=Sn-Sn-1
=(3n-2)-(3n-1-2)
=3n-3n-1=3·3n-1-3n-1=2·3n-1.
此时若n=1,an=2·3n-1=2·31-1=2≠a1,
故an=
答案:an=
6.等差数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn.
【解析】a1=S1=101,当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=-n2+n-
=-3n+104,a1=S1=101也适合上式,
所以an=-3n+104,令an=0,n≈34.7,
故n≥35时,an<0,n≤34时,an>0,
所以对数列{|an|},n≤34时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+an=-n2+n,
当n≥35时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+|an|
=a1+a2+…+a34-a35-…-an
=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)
=2S34-Sn=n2-n+3 502,
所以Tn=