山西省万荣县第二中学2020-2021学年高二数学9月月考试题.doc

山西省万荣县第二中学2020-2021学年高二数学9月月考试题

山西省万荣县第二中学2020-2021学年高二数学9月月考试题

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- 17 -

山西省万荣县第二中学2020-2021学年高二数学9月月考试题
时间120分钟 总分150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.如图，棱长为2的正方体 中， 是棱 的中点，点 在侧面 内，若 ，则 的面积的最小值为（   ）

A.        B.         C.        D. 1
2.已知四棱锥 的所有顶点都在同一球面上，底面 是正方形且和球心 在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为 ，则球 的表面积等于（   ）
A.                                      B.                                    C.                             D. 
3.三棱锥 中， 平面 ， ， 的面积为2，则三棱锥 的外接球体积的最小值为(     )
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
4.在长方体 中， ， ， ，P，Q分别为棱 ， 的中点. 则从点 出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（ ）
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
5.设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（  ）
A. 成正比，比例系数为C                                         B. 成正比，比例系数为2C
C. 成反比，比例系数为C                                         D. 成反比，比例系数为2C
6.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（  ）

A. 2+                                 B.                                 C.                                 D. 1+
7.底面为正方形的四棱锥S﹣ABCD，且SD⊥平面ABCD，SD= ，AB=1，线段SB上一M点满足 = ，N为线段CD的中点，P为四棱锥S﹣ABCD表面上一点，且DM⊥PN，则点P形成的轨迹的长度为（   ）
A.                                      B.                                      C.                                      D. 2
8.如图，已知 是顶角为 的等腰三角形，且 ，点 是 的中点.将 沿 折起，使得 ，则此时直线 与平面 所成角的正弦值为（  ）

A.                                        B.                                        C.                                        D. 
9.如图，正方体 的棱长为1， 分别是棱 的中点，过 的平面与棱 分别交于点 .设 ， ．

①四边形 一定是菱形；② 平面 ；③四边形 的面积 在区间 上具有单调性；④四棱锥 的体积为定值.
以上结论正确的个数是（   ）
A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                          D. 1
10.用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（  ）

A.              B.                 C.                D. 
11.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若 ，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(   )
A. 30°                                       B. 45°                                       C. 60°                                       D. 90°
12.在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 是边 上的一动点，且直线 与平面 所成角的最大值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（   ）
A.                                      B.                                      C.                                D. 
二、填空题（共16分）
13.如下图，将圆柱的侧面沿母线 展开，得到一个长为 ，宽 为4的矩形，由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达 ，线长的最小值为________（线粗忽略不计）

14.如图，在棱长为2的正方体 中， 、 分别为棱 、 的中点， 是线段 上的点，且 ，若 、 分别为线段 、 上的动点，则 的最小值为________．

15.如图，已知正方体 的棱长为 ，点 为线段 上一点， 是平面 上一点，则 的最小值是________．

16.三棱锥 中， 平面ABC， ， ， ，则该三棱锥外接球的表面积为________．
三、解答题（共6题；共70分）
17.已知梯形 中， ， ，G是 的中点. ，E、F分别是 、 上的动点，且 ，设 （ ），沿 将梯形 翻折，使平面 平面 ，如图.

（1）当 时，求证： ；
（2）若以B、C、D、F为顶点的三棱锥的体积记为 ，求 的最大值；
（3）当 取得最大值时，求二面角 的余弦值.
18.在底面是正方形的四棱锥 中, , ,点 在 上,且 .

（Ⅰ）求证: 平面 ;
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
19.如图，在四棱锥 中，平面   平面 ，底面 是边长为2的正方形，且 ， .

（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
20.如图，在三棱柱 中， ，平面 平面 .

（1）求证： ；
（2）若 ，求 .
21.如图所示1，已知四边形ABCD满足 ， ，E是BC的中点.将 沿着AE翻折成 ，使平面 平面AECD ， F为CD的中点，如图所示2.

（1）求证： 平面 ；
（2）求AE到平面 的距离.
22.如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，侧面 是边长为2的正三角形， , .

（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）设 是棱 上的点，当 平面 时，求二面角 的余弦值.

数学试题答案
一、单选题
1.【答案】 A
2.【答案】B
3.【答案】 C
4.【答案】 B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】 A
9.【答案】B
10.【答案】 B
11.【答案】 A
12.【答案】B
二、填空题
13. 2
14.
15.
16.
三、解答题
17.（1）解：如图所示： 于H，连接 ，
平面 平面 ， ，故 平面 ， 平面 ，
故 ，易知 为正方形，故 ， ，
故 平面 ， 平面 ，故 .

（2）解： ，
故 .

（3）解：如图所示：以 为 轴建立空间直角坐标系，

则 ， ， ， ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，得到 ，故 ，
观察知二面角 的平面角为钝角，故余弦值为 .
18. 解：

（Ⅰ）正方形ABCD边长为1,PA=1, ，
所以 ，即 ，
根据直线和平面垂直的判定定理，有 平面 .
（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，直线 分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
则 ，
由(1)知 为平面ACD的法向量, ，
设平面ACE的法向量为 ，
则
令 ,则 ,
设二面角 的平面角为 ,则 = ，
又有图可知， 为锐角，
故所求二面角的余弦值为
19.解：（Ⅰ）

证明：（Ⅰ）因为平面 面 ，平面 平面 ， ,
平面 ,所以 平面
又 平面 ，所以
又 ， ，所以 面
又 面 ，所以平面 平面
（Ⅱ）取DC的中点O，连接MO，由DM＝MC得MO⊥DC。
又MO⊥BC，所以MO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系
则M（0，0，1），A（2，-1，0），B（2，1，0）
, .
设 是平面MAB的一个法向量
则 即 可取 ，
是平面MCD的一个法向量

平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是
20.（1）证明：因为平面AA1C1C⊥平面ABC ， 交线为AC ， 又BC⊥AC ，
所以BC⊥平面AA1C1C ，
因为C1C平面AA1C1C ，
从而有BC⊥C1C ．    
因为∠A1CC1＝90°，所以A1C⊥C1C ，
又因为BC∩A1C＝C ，
所以C1C⊥平面A1BC ，
A1B 平面A1BC ， 所以CC1⊥A1B ．

（2）解：如图，以C为坐标原点，分别以 的方向为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz ．

由∠A1CC1＝90°，AC＝ AA1得A1C＝AA1 ．
不妨设BC＝AC＝ AA1＝2，
则B(2，0，0)，C1(0，－1，1)，A(0，2，0)，A1(0，1，1)，
所以 ＝(0，－2，0)， ＝(－2，－1，1)， ＝(2，－2，0)，
设平面A1BC1的一个法向量为 ，
由 · ＝0， · ＝0，可取 ＝(1，0，2)．
设平面ABC1的一个法向量为 ，
由 · ＝0， · ＝0，可取 ＝(1，1，3)．
cosá ， ñ＝ ＝ ，
又因为二面角A1-BC1-A为锐二面角，
所以二面角A1-BC1-A的余弦值为
21. （1）证明：如图，连接 ，取 的中点 ,连接 ,

在四边形ABCD中，由 ， ，E是BC的中点，
易得四边形 、四边形 均为平行四边形，可得 ,
均为等边三角形，
在等边 中，F为CD的中点，可得 ,且 ,故 ,
在等边 , 为 的中点，故 ,又平面 平面AECD ，
平面 平面 ,且 平面 ，故可得： 平面AECD ，
故： ,由 ， ， 平面 ， 平面 ，
故： 平面

（2）解：如图，连接 ,取 的中点 点，连接 ,

由（1）得： 平面AECD ， 故 ,
且易得四边形 为平行四边形， ，由 ,可得 ,
由 ,且 平面 , 平面 ,可得 平面 ，
,易得 ，且 点为 的中点，
故 ,又 ,且 平面 , 平面 ,
故 平面 ，易得AE到平面 的距离即为点G到平面 的距离，
在 中， ，可得 ,
即AE到平面 的距离为 .
22.解：（I）取 中点 ，连接 ， ，因为 是边长为2的正三角形，所以 ， ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 .
（Ⅱ）连接 交 于 ，连接 ，
∵ 平面 ，∴ ，
又 为 的中点，∴ 为 的中点.
以 为原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 取 ，得 .
由图可知，平面 的一个法向量 ，
∴ ，
∴二面角 的余弦值为