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2021-2022学年高中数学 第2章 常用逻辑用语 2.1 命题、定理、定义学案 苏教版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 常用逻辑用语 2.1 命题、定理、定义学案 苏教版必修第一册

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姓名：

2.1　命题、定理、定义
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解命题的概念，能判断给定的语句是不是命题．(重点)
2．掌握判断命题真假的方法，能判断命题的真假．(难点、易错点)
3．了解定理和定义与命题的关系，会用定理和定义解题．(重点)
4．理解命题的结构，会分析命题的条件和结论，能把命题改写成“若p，则q”的形式．(重点)
1．借助命题的概念及应用，提升数学抽象素养．
2．借助命题真假的判定、定理与定义的应用，培养逻辑推理素养.

在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫做命题，一方面，数学中的定义、定理属于命题吗？它们有什么共同的结构？它们都是真命题吗？另一方面，初中平面几何中推理论证的基础是什么？
知识点1　命题的定义与分类
(1)命题的定义：在数学中，可以判断真假的陈述句叫作命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．
(3)分类：命题
1.(1)“x－1＝0”是命题吗？
(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？
[提示]　(1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．
(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．
一般地，疑问句、祈使句、感叹句、开语句都不是命题．如x>15等．
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)
(1)语句“陈述句都是命题”不是命题．(　　)
(2)命题“实数的平方是非负数”是真命题．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√
知识点2　命题的结构及定理、定义
1．命题的结构
(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
2.命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？
[提示]　条件是：“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．
2.把命题“矩形的对角线相等”改写成“若p则q”的形式为______．
[答案]　若一个四边形是矩形，则它的对角线相等
2．定理与定义
在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理．
在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．
(1)数学中的定理、推论和数学中定义都是命题．
(2)数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质．

类型1　命题的判断
【例1】　(1)下列语句为命题的是(　　)
A．x2－1＝0
B．2＋3＝8
C．你会说英语吗？
D．这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有________．
①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 020是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.
(1)B　(2)①④　[(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．
(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]

判断一个语句是否是命题的关键点是什么？
[提示]　(1)该语句必须是陈述句；
(2)该语句可以判断真假．
提醒：对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围看能否判断其真假，若能，就是命题，若不能，就不是命题．

[跟进训练]
1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)函数y＝x2－2x (x∈R)是二次函数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；
(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
(5)一个数不是奇数就是偶数；
(6)2030年6月1日上海会下雨．
[解]　(1)是命题，满足二次函数的定义．
(2)不是命题，不能判断真假．
(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．
(4)疑问句，不是命题．
(5)是命题，能判断真假．
(6)不是命题，不能判断真假．
类型2　命题的构成
【例2】　(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________，q是________．
(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
①函数y＝2x＋1是一次函数；
②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.
(1)一条直线是弦的垂直平分线　这条直线经过圆心且平分弦所对的弧　[命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．]
(2)[解]　①若函数的解析式为y＝2x＋1，则这个函数是一次函数．
②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.
③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0.

1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．
2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．

[跟进训练]
2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)当>时，a<b；
(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
(3)同弧所对的圆周角不相等．
[解]　(1)若>，则a<b.
(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．
(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．
类型3　命题真假的判断
【例3】　判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个奇数是两个整数的平方差．
[解]　(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(4)是真命题，因为当n∈Z时，任意奇数2n－1＝n2－(n－1)2，所以一个奇数是两个整数的平方差．

命题真假的判定方法
(1)真命题的判断方法
要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．
(2)假命题的判断方法
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．

[跟进训练]
3．判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
[解]　(1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．
(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．
(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．
类型4　数学中的新定义
【例4】　对于a，b∈N*，规定a*b＝

集合M＝{(a，b)}|a*b＝12，a，b∈N*}，则M中元素的个数为(　　)
A．6 B．8
C．15 D．16
[思路点拨]　本题新定义两个正整数的新运算，利用新定义解方程a*b＝12，a，b∈N*，分a，b奇偶性相同和a，b奇偶性不同进行分类讨论即可．
C　[分a，b奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论．
如果a，b奇偶性相同，满足条件的有1＋11＝2＋10＝3＋9＝…＝6＋6＝…＝9＋3＝10＋2＝11＋1，共11种情况，即有11组(a，b)符合M中元素的要求；
如果a，b奇偶性不同，则满足条件的有1×12＝3×4＝4×3＝12×1，共4种情况，即有4组(a，b)符合M中元素的要求．
综上，M中元素的个数为11＋4＝15.故选C .]

数学中的定义在解题中得应用还很多，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据．在解题中充分利用定义，有时会收到事半功倍的效果．数学定义的应用蕴涵着极其丰富的内涵，深刻理解定义，可抓住问题的实质，从而找到解决问题的有效途径．本题中新定义的运算，是以正整数的奇偶作为分类的基准，就是本题解相关方程的依据．

[跟进训练]
4．设集合S＝{r1，r2，…，rn}⊆{1,2,3，…，32}，又S中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为________．
15　[一个数能被5整除，可以用5k表示，k∈Z.两数之和被5整除，我们需要分析一下每个数被5除后的余数，如果两个余数之和能被5整除，则两数之和就能被5整除，否则不能．比如1和9,2和8,3和7,4和6，余数分别是1和4,2和3,3和2,4和1，按此原则，把1～32这32个数字进行归类．
集合S的元素从1～32中选取，我们将这32个数字分入以下5个集合；
S0＝{5,10,15,20,25,30}，S0中的元素共6个，都能被5整除；
S1＝{1,6,11,16,21,26,31}，S1中的元素共7个，都被5除余1；
S2＝{2,7,12,17,22,27,32}，S2中的元素共7个，都被5除余2；
S3＝{3,8,13,18,23,28}，S3中的元素共6个，都被5除余3；
S4＝{4,9,14,19,24,29}，S4中的元素共6个，都被5除余4.
S0中的元素都能被5整除，因此S0中只能选1个数字；S1中的元素，两两相加都不能被5整除；同理，S2，S3中，同组内两两相加都不能被5整除，因此可以整组挑选．但S1与S4中各任选一个元素相加，必定能被5整除，因此只能选一组，S1中7个元素，比S4更多，选S1；同理，S2与S3也只能选1组，S2的元素比S3多，因此最多的取法是S0中选1个元素，S1整组7个，S2整组7个，共1＋7＋7＝15.故n的最大值为15.]

1．下列语句为真命题的是(　　)
A．a>b
B．四条边都相等的四边形为矩形
C．1＋2＝3
D．今天是星期天
C　[A、D不是命题，B为假命题，C为真命题．]
2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(　　)
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
C　[把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.]
3．下列命题是真命题的为(　　)
A．若a>b，则<
B．若b2＝ac，则b2>a或b2>c
C．若|x|<y，则x2<y2
D．若a＝b，则＝
C　[对于A，若a＝1，b＝－2，则>，故A是假命题．
对于B，当a＝b＝0，c＝1时，满足b2＝ac，且b2>a，a2>c不成立，故B是假命题．
对于C，因为y>|x|≥0，则x2<y2是真命题．
对于D，当a＝b＝－2时，与没有意义，故D是假命题．]
4．命题“对顶角相等”中的条件为________，结论为________．
[答案]　两个角是对顶角　它们相等
5．菱形的对角线互相垂直的真假性为________(填真、假)．
[答案]　真

回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．什么是命题？命题的构成方式是怎样的？它们之间有怎样的关系？
[提示]　可以判断真假的陈述句为命题；命题由条件与结论构成．它们之间是因果关系．
2．含有大前提的命题怎样写成若p则q的形式？
[提示]　大前提应保持不变，且不写在条件p中．