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2021-2022版高中数学 第三章 不等式 阶段提升课 第三课 不等式学案 新人教A版必修5

2021-2022版高中数学 第三章 不等式 阶段提升课 第三课 不等式学案 新人教A版必修5

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第三课　不　等　式
思维导图·构建网络

考点整合·素养提升
题组训练一　不等式的性质 
1.如果a,b,c满足c<b<a且ac<0,则下列选项中不一定成立的是(　　)
A.ab>ac B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2 D.ac(a-c)<0
【解析】选C.c<b<a,ac<0⇒a>0,c<0.
对于A:⇒ab>ac,A正确.
对于B:⇒c(b-a)>0,B正确;
对于C:⇒cb2≤ab2,C错,即C不一定成立.
对于D:ac<0,a-c>0⇒ac(a-c)<0,D正确.
2.已知a,b为非零实数,且a<b,则下列命题一定成立的是(　　)
A.a2<b2 B.a2b<
C.< D.<
【解析】选C.因为a<b,>0,所以a·<b·,所以<.

数或式的大小比较
(1)作差或作商比较法.
(2)找中间量来比较,往往找1或0.
(3)特值法,对相关的式子赋值计算得出结果.
(4)数形结合法,画出相应的图形,直观比较大小.
(5)利用函数的单调性比较大小.
【补偿训练】
　　　若<<0,则下列结论中不正确的是(　　)

A.a2<b2 B.ab<b2
C.a+b<0 D.|a|+|b|>|a+b|
【解析】选D.因为<<0,所以b<a<0,所以b2>a2,ab<b2,a+b<0,所以A,B,C均正确,因为b<a<0,
所以|a|+|b|=|a+b|,故D错误.
题组训练二　一元二次不等式的解法 
1.已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β},α>0,则不等式cx2+bx+a>0的解集是(　　)
A. B.
C.(α,β) D.(-∞,α]∪(β,+∞)
【解析】选A.不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}(α>0),则α,β是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根,且a<0;所以α+β=-,α·β=;
所以不等式cx2+bx+a>0,化为x2+x+1<0,
所以αβx2-(α+β)x+1<0,化为(αx-1)(βx-1)<0;
又0<α<β,所以>>0;
所以不等式cx2+bx+a>0的解集为.
2.不等式≤的解集为(　　)
A.[-1,3] B.[-3,-1]
C.[-3,1] D.[1,3]
【解析】选C.≤⇔≤2-1,
即x2+2x-4≤-1,所以x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.
3.已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为.
(1)求a,c的值;
(2)解关于x的不等式ax2+(ac+b)x+bc≥0.
【解析】(1)根据题意,不等式ax2+5x+c>0的解集为,
则方程ax2+5x+c=0的两个根为和,
则有,解得a=-6,c=-1.
(2)由(1)可得:a=-6,c=-1;
则不等式ax2+(ac+b)x+bc≥0为-6x2+(6+b)x-b≥0,即x2-x+≤0,
而方程x2-x+=0的两个根为1和,
当b>6时,>1,此时不等式的解集为;
当b=6时,=1,此时不等式的解集为{1},
当b<6时,<1此时不等式的解集为.

一元二次不等式的解法
(1)简单的一元二次不等式:
①将不等式化为ax2+bx+c>0(a>0)
或ax2+bx+c<0(a>0)的形式;
②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集.
(2)含参数的一元二次不等式:
解题时应先看二次项系数的正负,其次考虑判别式,最后分析两根的大小,此种情况讨论是必不可少的.
【补偿训练】
　　　已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0.
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.
【解析】(1)因为f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,
所以f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3,
所以原不等式可化为a2-6a-3<0,
解得3-2<a<3+2.
所以原不等式的解集为{a|3-2<a<3+2}.
(2)f(x)>b的解集为(-1,3)等价于方程
-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,
得解得
题组训练三　不等式恒成立问题 
　已知不等式mx2-mx-1<0.
(1)若x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立,求实数x的取值范围.
【解析】(1)①若m=0,原不等式可化为-1<0,显然恒成立;
②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立
⇔解得-4<m<0.
综上可知,实数m的取值范围是(-4,0].
(2)令f(x)=mx2-mx-1,
①当m=0时,f(x)=-1<0显然恒成立;
②当m>0时,函数f(x)图象开口向上,对称轴为x=,若x∈[1,3]时不等式恒成立,结合图象(图略)知只需f(3)=9m-3m-1<0即可,
解得m<,所以0<m<.
③当m<0时,函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=,若x∈[1,3]时不等式恒成立,结合函数图象(图略)知只需f(1)<0即可,解得m∈R,所以m<0符合题意.
综上所述,实数m的取值范围是.
(3)令g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,
若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立,则只需即
解得<x<.
所以实数x的取值范围是.

对于不等式恒成立求参数范围问题的类型及解法
(1)变更主元法.
根据实际情况的需要确定合适的主元,一般知道取值范围的变量要看作主元.
(2)分离参数法.
若f(a)<g(x)恒成立,则f(a)<g(x)min.
若f(a)>g(x)恒成立,则f(a)>g(x)max.
(3)数形结合法.
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.
【补偿训练】
　　 设f(x)=mx2-mx-6+m,
(1)若对于m∈[-2,2],f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围;
(2)若对于x∈[1,3],f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)依题意,设g(m)=(x2-x+1)m-6,则g(m)为关于m的一次函数,且一次项系数x2-x+1=+>0,所以g(m)在[-2,2]上递增,
所以欲使f(x)<0恒成立,需g(m)max=g(2)=
2(x2-x+1)-6<0,解得-1<x<2.
(2)方法一:要使f(x)=m(x2-x+1)-6<0在[1,3]上恒成立,则有m<在[1,3]上恒成立,
而当x∈[1,3]时,=≥=,
所以m<=,
因此m的取值范围是.
方法二:①当m=0时,f(x)=-6<0对x∈[1,3]恒成立,所以m=0.
②当m≠0时f(x)的图象的对称轴为x=,
若m>0,则f(x)在[1,3]上单调递增,
要使f(x)<0对x∈[1,3]恒成立,
只需f(3)<0即7m-6<0,所以0<m<.
若m<0,则f(x)在[1,3]上单调递减,
要使f(x)<0对x∈[1,3]恒成立,
只需f(1)<0即m<6,所以m<0.
综上可知m的取值范围是.
题组训练四　线性规划问题 
1.已知x,y满足若ax+y的最小值为-,则a=(　　)
A.- B.- C.- D.-1
【解析】选B.x,y满足的可行域如图,A(2,0),
B,C(0,2),平移直线y=-ax过点A(2,0)时ax+y取得最小值,即2a=-,可得a=-.

2.在区域Ω=(x,y)中,若满足ax+y≥0的区域面积占Ω面积的,则实数a的值为(　　)
A. B. C.- D.-
【解析】选C.根据题意,区域Ω为如图所示的三角形ABC,则三角形ABC为等腰直角三角形,所以∠BAC=45°,
因为直线ax+y=0过(0,0),结合图形可知a<0时,才能满足ax+y>0的区域面积占Ω面积的,所以满足ax+y≥0的区域为图中阴影AOD,设D点坐标为(x,1-x),满足ax+y≥0的区域面积占Ω面积的,即三角形ABD的面积为三角形ABC面积的,××2×1=×AO×AD×sin 45°,即=×1××,解得x=(负值舍去),又D点在直线ax+y=0上,所以a×+=0,解得a=-.

3.已知变量x,y满足约束条件且有无穷多个点(x,y)使目标函数z=x+my取得最小值,则m=________. 
【解析】作出线性约束条件表示的平面区域,如图中阴影部分所示.

若m=0,则z=x,目标函数z=x+my取得最小值的最优解只有一个,不符合题意.
若m≠0,目标函数z=x+my可看作动直线y=-x+,若m<0,则->0,数形结合知使目标函数z=x+my取得最小值的最优解不可能有无穷多个;
若m>0,则-<0,数形结合可知,当动直线与直线AB重合时,有无穷多个点(x,y)在线段AB上,使目标函数z=x+my取得最小值,即-=-1,则m=1.
综上可知,m=1.
答案:1
【补偿训练】
1.若x,y满足约束条件,则z=4x-3y的最小值为(　　)
A.0 B.-1 C.-2 D.-3
【解析】选C.作出x,y满足约束条件
,表示的平面区域,

得到如图的△OAB及其内部,其中A(1,2),B(3,0),设z=F(x,y)=4x-3y,将直线l:z=4x-3y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值,
所以z最小值=F(1,2)=-2.
2.若x,y满足约束条件,则z=x-y的最大值为(　　)
A.-　　　B.　　　C.5　　　D.6
【解析】选C.变量x,y满足约束条件的可行域如图:

目标函数z=x-y经过可行域的A点时,目标函数取得最大值,由可得A(4,-1),
目标函数z=x-y的最大值为5.
3.如果点P(x,y)满足,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,则|PQ|的取值范围是(　　)

A.[-1,-1] B.[-1,+1]
C.[-1,5] D.[-1,5]
【解析】选D.曲线x2+(y+2)2=1对应的圆心M(0,-2),半径r=1,
作出不等式组对应的平面区域如图.

直线x-2y+1=0的斜率k=,
又kPM=-2,所以直线x-2y+1=0与PM垂直,则当P位于点(-1,0)时,|PQ|取得最小值,
此时|PQ|=-1=-1.最大值为2+3=5.
则|PQ|的取值范围是[-1,5].
题组训练五　实际问题中的线性规划问题 
　制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
【解析】设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.
由题意知目标函数z=x+0.5y.

画出可行域如图中阴影部分.
作直线l0:x+0.5y=0,并作平行于l0的一组直线x+0.5y=z,z∈R,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的点M时,z取得最大值.
由
得即M(4,6).
此时z=4+0.5×6=7(万元).
所以当x=4,y=6时,z取得最大值,即投资人用4万元投资甲项目,6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.

应用线性规划问题解决生产、生活实际中的最值问题
如用料最省,效益最大等,解此类题时应首先准确列出二元一次不等式(组),并画出相应平面区域,再利用数形结合的方法寻找目标函数的最值,需特别说明一点,用好斜率间的关系是避免找错最优解的关键.
题组训练六　利用基本不等式求最值 
1.已知x>1,y>1且xy=16,则log2x·log2y(　　)
A.有最大值2 B.等于4
C.有最小值3 D.有最大值4
【解析】选D.因为x>1,y>1,
所以log2x>0,log2y>0.
所以log2x·log2y≤
==4,当且仅当x=y=4时取等号.
2.已知x,y∈(0,+∞),=3y,则+的最小值为________. 
【解析】因为x,y∈(0,+∞),=3y=,
所以x+y=2,所以+=(x+y)
=≥(5+4)=,
当且仅当=且x+y=2,即x=,y=时取等号.
答案:
3.设x>-1,则y=的最小值为________. 
【解析】因为x>-1,所以x+1>0.
设x+1=t>0,则x=t-1,
于是有y==
=t++5≥2+5=9,
当且仅当t=,即t=2时取等号,此时x=1.
所以当x=1时,函数y=取得最小值为9.
答案:9

利用基本不等式求最值的方法
(1)基本不等式常用来求最值:一般a+b≥2(a>0,b>0)解“定积求和,和最小”问题,用ab≤解“定和求积,积最大”问题.
(2)在实际运用中,经常涉及函数f(x)=x+(k>0).一定要注意适用的范围和条件:“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等,构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证.
【补偿训练】
　　 已知正数x,y满足x+y=1,且+≥m,则m的最大值为(　　)
A. B. C.2 D.4
【解析】选B.根据题意,正数x,y满足x+y=1,则+=+=(y+1)+-4+(x+1)+-4=-5,
又由+=[(x+1)+(y+1)]=≥,
当且仅当x=y=时等号成立,
则+=-5≥-5=,
即+的最小值为,若+≥m,
则m的最大值为.
题组训练七　实际问题中的最值问题 
　在国家创新驱动战略的引领下,北斗系统作为一项国家高科技工程,一个开放型创新平台,1 400多个北斗基站遍布全国,上万台设备组成星地“一张网”,国内定位精度全部达到亚米级,部分地区达到分米级,最高精度甚至可以到厘米或毫米级.北斗三号工程耗资9万元建成一小型设备,已知这台设备从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为+99.5(n∈N*)元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了多少天,平均每天耗资多少钱?
【解析】设一共使用了n天,平均每天耗资为y元,
则y==++99.75.
当且仅当=时,
即n=600时y取得最小值399.75,
所以一共使用了600天,平均每天耗资399.75元.

利用基本不等式求实际问题中最值的一般步骤
(1)审:认真分析理解题意,设变量.
(2)转化:建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义区域内,求出函数的最大值或最小值(有时还需要进行恰当的恒等变形,分析变量,配置系数,凑出“正数”“定值”“相等”三个条件).