导数及其应用.板块三.导数应用导函数图象及单调性.学生(高中数学选修题库).doc

板块三.导数的应用

知识内容

1．利用导数判断函数的单调性的方法：
如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是增函数；如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是减函数．
2．利用导数研究函数的极值：
已知函数，设是定义域内任一点，如果对附近的所有点，都有，则称函数在点处取极大值，记作．并把称为函数的一个极大值点．
如果在 附近都有，则称函数在点处取极小值，记作．并把称为函数的一个极小值点．
极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．
3．求函数的极值的方法：
第1步 求导数；
第2步 求方程的所有实数根；
第步 考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则是极大值；如果由负变正，则是极小值．如果在的根的左右侧，的符号不变，则不是极值．
4．函数的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值．
求函数最大（小）值的方法：
第1步 求在指定区间内所有使的点；
第2步 计算函数在区间内使的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值．
典例分析

题型一：原函数与导函数的图象
【例1】 函数的导函数图象如下图所示，则函数在图示区间上（ ）

A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点
【例2】 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　 ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【例3】 若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象不过第几象限?
【例4】 若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象可能为（ ）

【例5】 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是（ ）

【例6】 设是函数的导函数，的图象如下图所示，则的图象可能是（ ）

【例7】 已知函数的导函数的图象如右图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）

【例8】 已知函数的图象如右图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）

【例9】 是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（ ）

【例10】 如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（ ）

【例11】 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

【例12】 如图所示是函数的导函数图象，则下列哪一个判断可能是正确的（ ）

A．在区间内为增函数
B．在区间内为减函数
C．在区间内为增函数
D．当时有极小值
【例13】 如果函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

①函数在区间内单调递增；
②函数在区间内单调递减；
③函数在区间内单调递增；
④当时，函数有极小值；
⑤当时，函数有极大值；
则上述判断中正确的是___________．
【例14】 函数的图象大致是 （ ）

【例15】 已知函数的图像如下图所示，则其函数解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．

【例16】 函数的图象大致是 （ ）

【例17】 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为（ ）

【例18】 函数的图像大致是（ ）

【例19】 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）

【例20】 已知R上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．

【例21】 己知函数，其导数的图象如图所示，
则函数的极小值是（ ）
A． B． C． D．

题型二：函数的单调性
【例22】 函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
【例23】 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例24】 函数的单调递增区间是 ．
【例25】 三次函数在内是减函数，则（ ）
A． B． C． D．
【例26】 函数的单调递减区间是________．
【例27】 函数是减函数的区间为（ ）
A． B． C． D．
【例28】 函数在下面哪个区间内是增函数（ ）
A．　 B． 　C． 　D．
【例29】 若与在上都是减函数，对函数的单调性描述正确的是（ ）
A．在上是增函数 B．在上是增函数
C．在上是减函数 D．在上是增函数，在上是减函数
【例30】 函数的图象关于原点中心对称，则（ ）
A．在上为增函数
B．在上为减函数
C．在上为增函数，在上为减函数
D．在上为增函数，在上为减函数
【例31】 若在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【例32】 若在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例33】 函数（ ）
A．在上单调递减 B．在和上单调递增
C．在上单调递增 D．在和上单调递减
【例34】 若函数，则（ ）
A．在单调增加 B．在单调减少
C．在单调减少，在与上单调增加
D．在单调增加，在与上单调减少
【例35】 已知函数，若的单调递减区间是，则的值是 ．
【例36】 已知函数，若在上是单调增函数，则的取值范围是 ．
【例37】 已知是上的单调增函数，则的取值范围是（ ）
A．或　　 　 　 B．或
C．　　　　　　 　 D．
【例38】 若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【例39】 已知，，且在上是增函数，则此时实数的取值范围是______．
【例40】 若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例41】 若函数的单调递区间为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例42】 已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为______．
【例43】 若函数在区间与上都是减函数，则实数的取值范围为______．
【例44】 函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
【例45】 对于上可导的函数，若满足，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【例46】 已知函数是偶函数，在上导数恒成立，则下列不等式成立的是（ ）
Ａ． B．
C． D．
【例47】 是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（ ）
A． B． C． D．
【例48】 设、是上的可导函数，、分别是、的导函数，且，则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
【例49】 函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【例50】 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例51】 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例52】 已知对任意实数有，，且时，，，则时（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例53】 已知函数存在单调递减区间，求的取值范围．
【例54】 设函数，其中，判断函数在定义域上的单调性．
【例55】 已知函数．
若函数在区间上不单调，求的取值范围．
【例56】 函数在区间上单调递增，求的取值范围．
【例57】 已知函数，若在上是增函数，求的取值范围．
【例58】 设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围．
【例59】 已知函数的图象在点处的切线方程为．
⑴求函数的解析式；⑵求函数的单调区间．
【例60】 已知函数．
⑴写出函数的定义域，并求其单调区间；
⑵已知曲线在点处的切线是，求的值．
【例61】 已知函数，为自然对数的底数）．
⑴求函数的递增区间；
⑵当时，过点作曲线的两条切线，设两切点为，求证：．
【例62】 已知函数．
⑴当时，求函数的单调递增区间；
⑵若在区间上是减函数，求实数的取值范围．
【例63】 已知函数．
⑴判断函数的单调性；
⑵若的图像总在直线的上方，求实数的取值范围；
⑶若函数与的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，
求实数的值．
【例64】 已知函数（）．
⑴当时，求曲线在点处的切线方程；
⑵求的单调区间．
【例65】 设函数，若曲线的斜率最小的切线与直线平行，
求：⑴的值；⑵函数的单调区间．
【例66】 设，函数．
⑴若函数在点处的切线方程为，求的值；
⑵当时，讨论函数的单调性．
【例67】 已知函数，其中，．
⑴若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
⑵当时，讨论函数的单调性．
【例68】 设函数．
⑴ 求曲线在点处的切线方程；
⑵ 求函数的单调区间；
⑶ 若函数在区间内单调递增，求的取值范围．
【例69】 已知是定义在上的函数，其图象交轴于，，三点，若点的坐标为，且在和上有相同的单调性，在和上有相反的单调性．
⑴求的值；
⑵在函数的图象上是否存在一点，使得在点处的切线的斜率为?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【例70】 已知函数，求导函数，并确定的单调区间．