2022版高考数学一轮复习-练案33-第五章-数列-第二讲-等差数列及其前n项和新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 练案33 第五章 数列 第二讲 等差数列及其前n项和新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案33 第五章 数列 第二讲 等差数列及其前n项和新人教版

年级：
姓名：

第二讲　等差数列及其前n项和
A组基础巩固
一、单选题
1．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝(　D　)
A．12　　 B．14　　
C．16　　 D．18
[解析]　由a2＝2，a3＝4知d＝＝2.
所以a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18.故选D.
2．(2021·贵州阶段性检测)在等差数列{an}中，已知a3＋a5＋a7＝15，则该数列前9项和S9＝(　D　)
A．18　　 B．27　　
C．36　　 D．45
[解析]　本题考查等差数列的性质，前n项和公式．在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＝3a5＝15，a5＝5，所以S9＝×9＝×9＝9a5＝9×5＝45.故选D.
3．(2021·广东深圳教学质量检测)记等差数列{an}的前n项和为Sn.若S10＝95，a8＝17，则(　D　)
A．an＝5n－23　　 B．Sn＝2n2－n
C．an＝4n－15　　 D．Sn＝
[解析]　本题考查等差数列基本量的求解．设等差数列{an}的公差为d，则10a1＋45d＝95，a1＋7d＝17，解得a1＝－4，d＝3，故an＝3n－7，Sn＝.故选D.
4．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为(　B　)
A．13.5　　 B．15.5　　
C．17.5　　 D．19.5
[解析]　∵从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{an}，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，
∴，
解得d＝－1，a1＝15.5，
∴冬至的日影子长为15.5尺，故选B.
5．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(　D　)
A．d>　　 B．d<
C.<d<　　 D．<d≤
[解析]　由题意可得即
解得<d≤.故选D.
6．(2020·课标Ⅱ，4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　C　)

A．3 699块　　 B．3 474块　　
C．3 402块　　 D．3 339块
[解析]　本题考查等差数列的性质及其前n项和．设由内到外每环的扇面形石板的块数构成数列{an}，由题意知a1＝9.又因为向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，所以数列{an}为公差为9的等差数列．
解法一：设每层环数为n(n∈N*)，则上层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a1，a2，…，an，中层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为an＋1，an＋2，…，a2n，下层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a2n＋1，a2n＋2，…，a3n.由题意知(a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n)－(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)＝729，由等差数列的性质知a2n＋1－an＋1＝a2n＋2－an＋2＝…＝a3n－a2n＝9n，所以9n2＝729，得n＝9.则数列{an}共有9×3＝27项，故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{an}的前27项和，即27×9＋×9＝3 402，故选C.
解法二：设每层环数为n(n∈N*)，设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝9n2，则9n2＝729，解得n＝9.则数列{an}共有9×3＝27项，故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{an}的前27项和，即27×9＋×9＝3 402，故选C.
二、多选题
7．等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是(　AD　)
A．d>0
B．a1>0
C．当n＝5时Sn最小
D．Sn>0时，n最小值为8
[解析]　∵a7＝3a5，∴a1＋6d＝3a1＋12d，
∴a1＝－3d，由已知得d>0，
∴a1<0，故A正确，B不正确．
Sn＝n2＋(a1－)n＝n2－dn＝(n2－7n)，
当n＝3或4时，Sn最小，故C不正确．
Sn>0解得n>7或n<0，因此Sn>0时n最小为8，故D正确，选A、D.
8．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有(　AC　)
A．a10＝0　　 B．S10最小
C．S7＝S12　　 D．S20＝0
[解析]　根据题意，数列{an}是等差数列，若a1＋5a3＝S8，
即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d，
又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，
则有a10＝0，故A一定正确；
不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；
又由Sn＝na1＋＝－9nd＋＝×(n2－19n)，
则有S7＝S12，故C一定正确；
则S20＝20a1＋d＝－180d＋190d＝10d，∵d≠0，
∴S20≠0，则D不正确．
三、填空题
9．已知数列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10＝ ．
[解析]　由已知得＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，故a10＝.
10．已知等差数列{an}的前n项为Sn，若S4＝3，S5＝4，则a9＝ ．
[解析]　由题知：，解得a1＝，d＝.∴a9＝a1＋8d＝＋8×＝.
11．若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝ 3 ．
[解析]　因为S17＝×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根据等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.
12．记Sn为正项等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，a3·a4＝S7，则Sn＝ n2－n ．
[解析]　设等差数列的公差为d，由题意得a3·a4＝S7＝×7＝7a4，所以a3＝7，所以1＋2d＝7，∴d＝3，所以Sn＝n＋×3＝n2－n.故答案为：n2－n.
四、解答题
13．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
[解析]　(1)设{an}的公差为d.
由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.
于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.
由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，
解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
14．(2021·江苏连云港模拟)已知等差数列{an}为递增数列，且满足a1＝2，a＋a＝a.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(n∈N*)，Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn.
[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意知(2＋2d)2＋(2＋3d)2＝(2＋4d)2，
∴3d2－4d－4＝0，
∴d＝2或d＝－，
∵{an}为递增数列，∴d＝2，
故数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)由(1)知bn＝＝，
∴Sn＝＋…＋＝＝.
B组能力提升
1．(2021·湖北咸宁联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S5＝10，则{an}的公差为(　C　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
[解析]　由题意知a1＋a2＝3①，S5＝＝10，即a1＋a5＝4②，②－①得3d＝1，∴d＝，故选C.
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S674＝2，S1 348＝12，则S2 022＝(　C　)
A．22　　 B．26　　
C．30　　 D．34
[解析]　由等差数列的性质知，S674，S1 348－S674，S2 022－S1 348成等差数列，则2(S1 348－S674)＝S674＋S2 022－S1 348，即2×(12－2)＝2＋S2 022－12，解得S2 022＝30.
3．(2021·湖北四地七校联考)据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n(n为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯(　C　)
A．39盏　　 B．42盏
C．26盏　　 D．13盏
[解析]　本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式．设顶层有x盏灯，则底层有(x＋8n)盏，故x＋8n＝13x，8n＝13x－x＝12x，x＝n.所以x＋(x＋n)＋(x＋2n)＋(x＋3n)＋…＋(x＋8n)＝126，9x＋(1＋2＋3＋…＋8)n＝126，9x＋36n＝126，故9×n＋36n＝126，解得n＝3，故x＝3×＝2，所以底层有灯13×2＝26(盏)．故选C.
4．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和．若S2 020＝2 020，且－＝2 000，则a1等于(　D　)
A．－2 021　　 B．－2 020　　
C．－2 019　　 D．－2 018
[解析]　S2 020＝2 020a1＋＝2 020，
得a1＋d＝1①
由－＝a1＋－＝1 000d＝2 000，
d＝2，代入①得a1＝1－2 019＝－2 018，故选D.
5．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析]　(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0，
所以a1＝3(a1＝－1舍去)．
当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，
又2Sn＝a＋n－4，
所以两式相减得2an＝a－a＋1，即a－2an＋1＝a，
即(an－1)2＝a，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.而a1＝3，
所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数矛盾，
所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，
因此数列{an}为等差数列．
(2)由(1)知a1＝3，数列{an}的公差d＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.