2021届高考数学统考二轮复习-增分强化练导数的简单应用.doc

2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练导数的简单应用

2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练导数的简单应用

年级：
姓名：

增分强化练(三十七)
考点一　导数的运算与导数的几何意义
1．若曲线y＝mx＋ln x在点(1，m)处的切线垂直于y轴，则实数m＝(　　)
A．－1　　　　　　　　 B．0
C．1 D．2
解析：f(x)的导数为f′(x)＝m＋，曲线y＝f(x)在点P(1，m)处的切线斜率为k＝m＋1＝0，可得m＝－1.故选A.
答案：A
2．(2019·荆州质检)函数f(x)＝xln x在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．
解析：∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，
则f(1)＝0，f′(1)＝1，
故曲线f(x)在点P(1,0)处的切线l的方程为y＝x－1，
令x＝0，得y＝－1，
令y＝0，得x＝1，
则直线l与两坐标轴的交点为(0，－1)和(1,0)，
所围成三角形的面积为×1×1＝.
答案：
3．(2019·南宁模拟)已知函数f(x)＝＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为中心的中心对称图形，g(x)＝ex＋ax2＋bx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，则a＋b＝________.
解析：由f(0)＋f(－2)＝－2，得1＋a－1－1－2＋a－1＝2a－4＝－2，
解得a＝1，所以f(x)＝＋x.
又f′(x)＝－＋1，所以f′(1)＝.
因为g(x)＝ex＋x2＋bx，g′(x)＝ex＋2x＋b，g′(0)＝1＋b，
由(1＋b)＝－1，得1＋b＝－，即a＋b＝－.
答案：－
考点二　导数与函数的单调性
1．(2019·甘肃静宁模拟)若f(x)＝x3－ax2＋1在(1,3)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，3] B.
C. D．(0,3)
解析：f(x)＝x3－ax2＋1在(1,3)上单调递减，则f′(x)＝3x2－2ax≤0在x∈(1,3)上恒成立．即a≥＝x在x∈(1,3)上恒成立，所以a≥.故选B.
答案：B
2．(2019·江西模拟)已知函数f(x)对于任意实数x都有f(－x)＝f(x)，且当x≥0时，f(x)＝ex－sin x，若实数a满足f(log2a)<f(1)，则a的取值范围是________．
解析：由题得，当x≥0时，f′(x)＝ex－cos x，
因为x≥0，所以ex≥e0＝1，∴ex－cos x≥0，
所以函数在[0，＋∞ )上单调递增，
因为f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，
所以函数在(－∞，0)上单调递减，
因为f(log2a)<f(1)，
所以|log2a|＜1，所以－1＜log2a＜1，
所以<a<2.
答案：
3．(2019·济宁模拟)已知函数f(x)＝ln x－xex＋ax(a∈R)．
(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若a＝1，求f(x)的最大值．
解析：(1)由题意知，f′(x)＝－(ex＋xex)＋a ＝－(x＋1)ex＋a≤0在[1，＋∞)上恒成立，所以a≤(x＋1)ex－在[1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝(x＋1)ex－，则g′(x)＝(x＋2)ex＋>0，
所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝2e－1，
所以a≤2e－1.
(2)当a＝1时，f(x)＝ln x－xex＋x(x>0)．
则f′(x)＝－(x＋1)ex＋1＝(x＋1)，
令m(x)＝－ex，则m′(x)＝－－ex<0，
所以m(x)在(0，＋∞)上单调递减．
由于m>0，m(1)<0，所以存在x0>0满足
m(x0)＝0，即ex0＝.
当x∈(0，x0)时，m(x)>0，f′(x)>0；当x∈(x0，＋∞)时，m(x)<0，f′(x)<0.
所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．
所以f(x)max＝f(x0)＝ln x0－x0ex0＋x0，
因为ex0＝，所以x0＝－ln x0，所以f(x0)＝－x0－1＋x0＝－1，
所以f(x)max＝－1.
考点三　导数与函数的极值、最值
1．(2019·吉安模拟)函数f(x)＝sin3x＋3cos2x的值域为________．
解析：由题意，可得f(x)＝sin3x＋3cos2x＝sin3x－3sin2x＋3，x∈，
令t＝sin x，t∈，即g(t)＝t3－3t2＋3，t∈，
则g′(t)＝3t2－6t＝3t(t－2)，
当－<t<0时，g′(t)>0，当0<t<1时，g′(t)＜0，
即y＝g(t)在为增函数，在[0,1]为减函数，
又g＝，g(0)＝3，g(1)＝1，
故函数的值域为：.
答案：
2．(2019·北京西城区模拟)设函数f(x)＝mex－x2＋3，其中m∈R.
(1)当f(x)为偶函数时，求函数h(x)＝xf(x)的极值；
(2)若函数f(x)在区间[－2,4]上有两个零点，求m的取值范围．
解析：(1)由函数f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，
即me－x－(－x)2＋3＝mex－x2＋3对于任意实数x都成立，所以m＝0.
此时h(x)＝xf(x)＝－x3＋3x，则h′(x)＝－3x2＋3.
由h′(x)＝0，解得x＝±1.
当x变化时，h′(x)与h(x)的变化情况如下表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
－
0
＋
0
－
h(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以h(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)上单调递增. 所以h(x)有极小值h(－1)＝－2，h(x)有极大值h(1)＝2.
(2)由f(x)＝mex－x2＋3＝0，得m＝. 所以“f(x)在区间[－2,4]上有两个零点”等价于“直线y＝m与曲线g(x)＝，x∈[－2,4]有且只有两个公共点”．
对函数g(x)求导，得g′(x)＝.
由g′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表所示：
x
(－2，－1)
－1
(－1,3)
3
(3,4)
g′(x)
－
0
＋
0
－
g(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以g(x)在(－2，－1)，(3,4)上单调递减，在(－1,3)上单调递增．
又因为g(－2)＝e2，g(－1)＝－2e，g(3)＝<g(－2)，g(4)＝>g(－1)，
所以当－2e<m<或m＝时，直线y＝m与曲线g(x)＝，x∈[－2,4]有且只有两个公共点．
即当－2e<m<或m＝时，函数f(x)在区间[－2,4]上有两个零点．