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2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题二 三角函数与解三角形 第一讲 三角函数的图象与性质学案

2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题二 三角函数与解三角形 第一讲 三角函数的图象与性质学案

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专题二　三角函数与解三角形
第一讲　三角函数的图象与性质

1．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间，单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
解析：选A　作出函数f(x)＝|cos 2x|的图象，如图．

由图象可知f(x)＝|cos 2x|的周期为，在区间上单调递增．
同理可得f(x)＝|sin 2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π，f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B、C、D．故选A．
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D　易知C1：y＝cos x＝sinx＋，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x＋的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin2x＋＋＝sin2x＋的图象，即曲线C2，故选D．
3．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
解析：选B　函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y＝2sin ，令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以所求对称轴的方程为x＝＋(k∈Z)，故选B．
4．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
解析：选C　①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin (－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，①正确；
②中，当x∈时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，函数单调递减，②错误；
③中，当x＝0时，f(x)＝0，
当x∈(0，π]时，f(x)＝2sin x，令f(x)＝0，得x＝π.
又∵f(x)是偶函数，
∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误；
④中，∵sin|x|≤|sin x|，
∴f(x)≤2|sin x|≤2，
当x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，
f(x)能取得最大值2，④正确．
故选C．
5．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
解析：选D　根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝时，x＋＝3π，所以cosx＋＝－1，B正确；f(x＋π)＝cosx＋π＋＝cosx＋，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，C正确；函数f(x)＝cosx＋在，π上单调递减，在π，π上单调递增，D不正确．故选D．
6．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是(　　)
A． B．
C． D．π
解析：选A　f(x)＝cos x－sin x＝－＝
－sin，当x－∈，即x∈－，π时，y＝sin单调递增，y＝－sinx－单调递减．
∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，
∴[－a，a]⊆，
∴0<a≤，∴a的最大值为.故选A．
 明 考 情 
高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12题或第14～15题位置上，命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．

考点一　三角函数的图象
|多角探明|
命题角度一　三角函数的图象变换
【例1】　(1)(2019·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
(2)(一题多解)(2019·辽宁五校联考)设ω>0，函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝2sin的图象重合，则ω的最小值是(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)因为y＝sin 2x＝cos＝cos 2x－，所以y＝cos＝cos＝sin，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos的图象．故选B．
(2)解法一：函数y＝2cosωx＋的图象向右平移个单位长度后，得y＝2cosωx－＋的图象，由已知得2cosωx－＋＝2sinωx＋，所以cosω·x－＋＝sinωx＋，当ω＝时，cosx－＋＝cosx＋≠sinx＋；当ω＝时，cosx－＋＝cosx－≠sinx＋；当ω＝时，cosx－＋＝cosx－＋＝sinx＋，所以ω的最小值为.故选C．
解法二：函数y＝2cosωx＋的图象向右平移个单位长度后，得y＝2cosωx－＋＝2cosωx＋－ω的图象，由已知得cosωx＋－ω＝sinωx＋，所以sin＋ωx＋－ω＝sinωx＋，所以＋ωx＋－ω＋2kπ＝ωx＋，k∈Z，所以ω＝＋10k，k∈Z.又因为ω>0，所以ω的最小值为.故选C．
[答案]　(1)B　(2)C
| 规 律 方 法 |
三角函数图象平移问题处理的“三看”策略

命题角度二　由函数的图象求解析式
【例2】　(一题多解) (2019·陕西咸阳三模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin
[解析]　由图象可得，函数的最大值为2，最小值为－2，故A＝2.
由函数图象可得，两个相邻对称中心分别为(－2,0)，(6,0)，所以函数的周期T＝2×[6－(－2)]＝16，
所以ω＝＝＝，所以f(x)＝2sin.
解法一：(对称中心定φ)由点(－2,0)在函数图象上可得f(－2)＝2sin×(－2)＋φ＝2sinφ－＝0，
所以φ－＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)．
因为|φ|<π，所以k＝－1或0，即φ＝－或φ＝.
当φ＝时，f(x)＝2sin，此时f(0)＝2sin ＝>0，显然与函数图象不相符，故φ＝不正确．
当φ＝－时，f(x)＝2sin，此时f(0)＝2sin＝－<0，与图象相符，所以φ＝－，函数的解析式为f(x)＝2sin.
解法二：(最值点定φ)由函数图象可知，相邻两个对称中心分别为(－2,0)，(6,0)，
所以这两个对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为(2，－2)．
代入函数解析式可得f(2)＝2sin＝－2，即sin＝－1，
所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
解得φ＝2kπ－(k∈Z)．
因为|φ|<π，所以k＝0，φ＝－.
故函数的解析式为f(x)＝2sin.
[答案]　D
| 规 律 方 法 |
函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)＋B的确定方法
字母
确定途径
说明
A
由最值确定
A＝
B
由最值确定
B＝
ω
由函数的
周期确定
相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点之差的绝对值为个周期，ω＝
φ
由图象上的
特殊点确定
一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置，利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解
|全练题点|
1.(2019·洛阳调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是(　　)

A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin
解析：选D　由图象可知＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，故排除A、C；把x＝代入检验知，选项D符合题意．
2．(2019·西安八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且函数f(x)的图象过点P，则函数f(x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
解析：选A　由已知得函数f(x)的最小正周期T＝，最大值为1，最小值为－1，因而＝2，所以ω＝，又f(x)＝sin的图象过点P，所以－＝sin，即sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.
3. (2019·山东日照一模)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝Asin ωx的图象，只需将函数y＝f(x)的图象(　　)

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析：选B　由题图知A＝2，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos(2x＋φ)，将代入得2cos＝2，∵－π<φ<0，∴－<＋φ<，∴＋φ＝0，∴φ＝－，∴f(x)＝2cos＝2sin，故将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度可得到g(x)的图象．
考点二　三角函数的性质
|析典例|
【例】　(1)(2019·合肥市高三调研)若将函数f(x)＝cos2x(1＋cos x)(1－cos x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的单调递减区间为(　　)
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
(2)(2019·广东六校第一次联考)将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有的性质为(　　)
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．为奇函数，在上单调递增
C．为偶函数，在上单调递增
D．周期为π，图象关于点对称
[解析]　(1)因为f(x)＝cos2x(1＋cos x)(1－cos x)＝cos2xsin2x＝sin22x＝－cos 4x，所以g(x)＝－cos 2x，所以当－π＋2kπ≤2x≤2kπ(k∈Z)时，y＝g(x)单调递减，所以g(x)的单调递减区间是(k∈Z)，故选A．
(2)将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝sin 2x的图象，则函数g(x)的最大值为1，其图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称，故选项A不正确；函数g(x)为奇函数，当x∈时，2x∈，故函数g(x)在上单调递增，故选项B正确，选项C不正确；函数g(x)的周期为π，其图象关于点(k∈Z)对称，故选项D不正确．故选B．
[答案]　(1)A　(2)B
| 规 律 方 法 |
1．求函数单调区间的2种方法
(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
2．判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
3．求三角函数周期的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
|练题点|
1．(2019·惠州市一调)函数f(x)＝2cos2ωx－sin2ωx＋2(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝(　　)
A． B．2
C．1 D．
解析：选C　∵f(x)＝2cos2ωx－sin2ωx＋2＝cos 2ωx＋(ω>0)，∴最小正周期T＝＝π，∴ω＝1.
2．将函数y＝sin(2x＋φ)(φ>0)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C　将函数y＝sin(2x＋φ)(φ>0)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数y＝sin＝sin的图象，则由＋φ＝kπ＋，得φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ的最小值为，故选C．
3．(2019·河北石家庄一检)若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于对称，则函数f(x)在上的最小值是(　　)
A．－1 B．－
C．－ D．－
解析：选B　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin2x＋θ＋，则由题意，知f＝2sin＝0，又0<θ<π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x，所以f(x)在上是减函数，所以函数f(x)在上的最小值为f＝－2sin ＝－，故选B．
考点三　三角函数图象与性质的综合应用
|析典例|
【例】　函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
[解]　(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝，
因为0<φ<，故φ＝.则f(x)＝cos.
由于f(x)的最小正周期等于2，
所以由题图可知1<x0<2，
故<πx0＋<，
由f(x0)＝得cos＝，
所以πx0＋＝，x0＝.
(2)因为f＝cos＝cos＝－sin πx，
则≤sin≤1，
所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx
＝cos πxcos －sin πxsin －sin πx
＝cos πx－sin πx
＝sin.
当x∈时，－≤－πx≤.
所以－≤sin≤1，
故－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；
当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.
| 规 律 方 法 |
解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
|练题点|
(2019·湖南岳阳二模)设函数f(x)＝cos＋2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
解：(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1－cos(2x＋π)
＝cos 2x＋sin 2x＋1＝sin＋1，
所以f(x)的最小正周期T＝π.
由2x＋＝kπ＋，k∈Z，
得对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1.
所以f(x)的值域为.