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2022高考数学一轮复习-第七章-不等式、推理与证明-7.2-基本不等式及其应用学案北师大版.docx
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1、2022高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 基本不等式及其应用学案北师大版2022高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 基本不等式及其应用学案北师大版年级:姓名:7.2基本不等式及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.基本不等式:aba+b2(1)基本不等式成立的条件:.(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.(3)其中a+b2称为正数a,b的算术平均数,ab称为正数a,b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值已知x0,y0,(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当时,x+y有最值是2p(简记:积定和最小).(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当时,xy有最值是s
2、24(简记:和定积最大).(1)a2+b22ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(2)aba+b22(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(3)a2+b22a+b22(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(4)ba+ab2(a,bR,且a,b同号),当且仅当a=b时取等号.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)当a0,b0时,a+b2ab.()(2)两个不等式a2+b22ab与a+b2ab成立的条件是相同的.()(3)函数y=x+1x的最小值是2.()(4)函数f(x)=sin x+4sinx的最小值为2.()(5)x0且y0是xy+yx2的充要条件.()2
3、.若a0,b0,ab=2,则a+2b的最小值为()A.22B.4C.42D.63.(2020北京海淀期中,4)设a,bR,且ab0.则()A.1aabC.a+b2abD.ba+ab24.(2020山东淄博4月模拟,14)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为.5.(2020北京陈经纶中学摸底,14)设x0,y0,x+2y=2,则xy的最大值为.关键能力学案突破考点利用基本不等式证明不等式【例1】(2020黑龙江哈尔滨香坊区期末)已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求证:(1)1a+1b+1c9;(2)1a-11b-11c-18.思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪
4、些?解题心得利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.对点训练1已知a0,b0,a+b=1,求证:1+1a1+1b9.考点利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1求不含等式条件的最值问题【例2】(1)若x0,则函数y=x+12x+1的最小值为()A.2+12B.2-12C.2+1D.2-1(2)1sin2+4cos2的最小值为.(3)已
5、知0x0,y-1,且满足2x+y=1,则2x2+1x+y2y+1的最小值是()A.3B.32+2C.22D.12+2(2)(2020天津河北线上测试,15)已知a0,b0,且1a+1b=1,则1a-1+4b-1的最小值为.对点训练2(1)(2020江苏联考)已知x0,y0,则x+yx+16xy的最小值为.(2)(2020天津,14)已知a0,b0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为.考点基本不等式的实际应用【例4】(2020广东高州一中月考)某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成,已知土地使用权费为6 000元/m2.材料工程费在建造第一层时为500元/m2,以后每增加一
6、层费用增加30元/m2.(每一层的建筑面积都相同)(1)若把楼盘的楼房设计成x层,平均每平方米建筑面积的成本为y元,将y表示成x的函数;(2)若平均每平方米建筑面积的成本不高于1 235元,求楼房设计层数最少为多少层?(3)应把楼盘的楼房设计成多少层,才能使平均每平方米建筑面积的成本费最低?思考应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么?需注意什么事项?解题心得1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.2.在用基本不等式求所列函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.3.在求
7、函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.对点训练3(2020福建期末联考)某品牌饮料原来每瓶成本为10元,售价为15元,月销售8万瓶.(1)据市场调查,若售价每提高1元,月销售量将相应减少2 000瓶,要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入-月总成本),该饮料每瓶售价最多为多少元?(2)为提高月总利润,厂家决定下月进行营销策略改革,计划每瓶售价x(x16)元,并投入334(x-16)万元作为营销策略改革费用.据市场调查,每瓶售价每提高1元,月销售量将相应减少0.45(x-15)2万瓶,则当每瓶售价x为多少时,下月的月总利润最大?并求出下月最大
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