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定点、定值问题是2012年高考卷中解析几何大题的靓点
笔者发现，在2012年高考卷中有多道解析几何大题是考查定点、定值问题的，而解决这些问题的利器是
多项式恒等定理 设多项式其中是复数常数，N*)，若有个两两不同的复数使得，则多项式与恒等(即它们的同次项系数相等).
证明 由题设得多项式方程有个两两不同的复数根，而由代数基本定理知，一元次方程最多有个两两不同的复数根，由此知恒成立，即欲证成立.
推论1 设多项式其中是复数常数，N*)，若有个两两不同的复数使得是定值，则.
证明 设是定值.在多项式恒等定理中令，得多项式与恒等，所以.
推论2 设多项式其中是复数常数，N*)，若有个两两不同的复数使得常数，则.
证明 在多项式恒等定理中令为这里的，便可获证.
1 湖南理科卷
高考题1 (2012·湖南·理·21)在直角坐标系中，曲线上的点均在外，且对上任意一点到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.
(I)求曲线的方程；
(II)设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别于曲线相交于点和.证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值.
下面给出这道高考题的一般情形.
定理1 在平面直角坐标系中，动点在定直线上，过点能作定圆的两条不同切线(且切线的斜率存在)，且分别与定抛物线交于点和(这四个点互不相同)，则这四个点的纵坐标之积为定值的充要条件是，且定值为.
证明 设点，过点作定圆的切线斜率是，得切线的方程是，即，可得

设切线的斜率分别为，得
①
得切线的方程是，即.把它代入抛物线，得

同理
再由①，得

再由推论2中时的情形可得欲证.
2 江西理科卷
高考题2 (2012·江西·理·20)已知三点，曲线上任意一点满足.
(1)求曲线的方程；
(2)动点在曲线上，曲线在点处的切线为.问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值.若不存在，说明理由.
下面给出这道高考题第(2)问的一般情形.
定理2 设定点在定抛物线上且关于轴对称，点是抛物线弧上的任意一点(但不是端点)，则存在定点使得在点处的切线与直线都相交(设交点分别为)且与的面积之比是定值的充要条件是为点的纵坐标的相反数(且定值).
证明 如图1，可设.

图1
可求得切线，切线与轴的交点，直线.
若，得，所以存在，使得，即.
若，得，，所以与直线都相交.
即切线与直线都相交的充要条件是.
由，得.
当时，可求得切线与直线的交点的横坐标分别为

由，得，还有

所以，由此得

由推论2，得
是定值
从而可得欲证成立.
3 上海理科卷
高考题3 (2012·上海·理·22)在平面直角坐标系中，已知双曲线.
(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积；
(2)设斜率为1的直线交于两点，若与圆相切，求证：；
(3)设椭圆，若分别是上的动点，且，求证：到直线的距离是定值.
(参考答案：(1)；(2)略；(3)可证定值为.)
高考题3(3)的一般情形是：
定理3 在平面直角坐标系中，点分别是曲线与双曲线上的动点，且，则点到直线的距离是定值的充要条件是，且定值为.
证明 可设，所以

设点到直线的距离是，得

由推论2，得
为定值

从而可得欲证.
定理4 在平面直角坐标系中，点分别是曲线与双曲线上的动点，且，则点到直线的距离是定值的充要条件是，且定值为.
证明 可设，所以

设点到直线的距离是，得

……从而可得欲证.
4 福建卷
高考题4 (2012·福建·文·21) 如图2，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上.
(I)求抛物线的方程；
(II)设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点.证明以为直径的圆恒过轴上某定点.

图2
(参考答案：(I)；(II)以为直径的圆恒过轴上的定点(0,1).)
高考题5 (2012·福建·理·19)如图3，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率.过的直线交椭圆于两点，且的周长为8.
(I)求椭圆的方程．
(II)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

图3
(参考答案：(I)；(II)在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点，且点的坐标是(1,0).)
笔者得到了这两道高考题的一般情形.
定理5 设动直线与圆锥曲线相切于点，与的一条准线交于点，则以为直径的圆恒过定点，且该定点就是的与准线对应的焦点.
证明 (1)先证抛物线的情形.
可不防设，得.又可设R).
由的方程，得，所以切线的方程是

可求得切线与条准线的交点.
若以为直径的圆恒过定点，可设，其充要条件是，即

因为R时该式恒成立，所以由多项式恒等定理，得

得点.
所以以为直径的圆恒过定点，且该定点就是的焦点.
(2)再证椭圆的情形.
可不防设，.又可设.
可以只考虑上半椭圆，得，所以切线的方程是

可求得切线与一条准线的交点.
若以为直径的圆恒过定点，可设，其充要条件是，即

②
因为该式在时恒成立，所以左边在时的极限为0，得，所以

由时该式成立，得或.
当时，可以验证②式在时恒成立.
当时，可得②式的左边为，所以①式在时恒成立，此时也有.
所以以为直径的圆恒过定点，且该定点就是的与准线对应的焦点.
(3)再证双曲线的情形.
可不防设，.又可设.
可以只考虑轴上方的双曲线，得，所以切线的方程是

可求得切线与一条准线的交点.
若以为直径的圆恒过定点，可设，其充要条件是，即

③
因为该式在时恒成立，所以左边在时的极限为0，得，所以

因为该式在时恒成立，所以左边在时的极限为0，得.
还可验证当时，③式恒成立.
所以以为直径的圆恒过定点，且该定点就是的与准线对应的焦点.