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控制系统数字仿真 自考题型举例与解答

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2

控制系统数字仿真
题型举例与总复习

一、 填空题

A类 基本概念题型

1、系统是指相互联系又相互作用的实体的有机组合。
2、定义一个系统时，首先要确定系统的边界；边界确定了系统的范围，边界以外对系统的作用称为系统的输入，系统对边界以为环境的作用称为系统的输出。
3、系统的三大要素为：实体、属性和活动。
4、根据系统的属性可以将系统分成两大类：工程系统和非工程系统。

5、相似原理用于仿真时，对仿真建模方法的三个基本要求是稳定性、准确性和快速性。
6、根据模型种类不同，系统仿真可分为三种：物理仿真、数字仿真和半实物仿真。
7、按照系统模型特征分类，仿真可分为连续系统仿真及离散事件系统仿真两大类。
8、采用一定比例按照真实系统的样子制作的模型称为物理模型，用数学表达式来描述系统内在规律的模型称为数学模型。
9、计算机仿真是指将模型在计算机上进行试验的过程。
10、系统仿真的三个基本活动是系统建模、仿真建模和仿真试验，计算机仿真的三个要素为：系统、模型与计算机。

11、如果某数值计算方法的计算结果对初值误差和计算误差不敏感，则称该计算方法是稳定的。
12、数值积分法步长的选择应遵循的原则为计算稳定性及计算精度。
13、采样数值积分方法时有两种计算误差，分别为截断误差和舍入误差。
14、三阶隐式啊达姆氏算法的截断误差为O(h4)，二阶龙格-库塔法的局部截断误差为O(h3)， 四阶龙格-库塔法的局部截断误差为O(h5)。
15、在判定数值积分方法的稳定域时，使用的测试方程为 y=μy 。
16、龙格-库塔法的基本思想是用几个点上函数值的线性组合来避免计算函数的高阶导数，提高数值计算的精度。

17、连续系统仿真中常见的一对矛盾为计算速度和计算精度。
18、离散相似法在采样周期的选择上应当满足采样定理。
19、保持器是一种将离散时间信号恢复成连续信号的装置，零阶保持器能较好地再现阶跃信号，一阶保持器能较好地再现斜坡信号。
20、实际信号重构器不可能无失真地重构信号，具体表现为信号重构器会对被重构的信号产生相位的滞后和幅度的衰减。

21、一般将采样控制系统的仿真归类为连续系统仿真。
22、在控制理论中，由系统传递函数来建立系统状态方程的问题被称为“实现问题”。
23、常用的非线性环节包括:饱和非线性、失灵非线性、迟滞回环非线性。
B类 简单计算题型

24、已知某采样控制系统的数字校正环节为Dz=YzUz=zz2-0.5z+0.06 ，采样周期为T=0.02s，则该校正环节的数字仿真模型为：( yk=0.5yk-1-0.06yk-2+uk-1 )。
分析：由控制器的 Z传递函数：
Dz=YzUz=zz2-0.5z+0.06=z-11-0.5z-1+0.06z-2
ð 1-0.5z-1+0.06z-2Yz=z-1Uz ð yk-0.5yk-1+0.06yk-2=uk-1
经整理可得系统的差分数字模型为： yk=0.5yk-1-0.06yk-2+uk-1 。

25、系统微分方程dydt=-5y，y(0)=1，用欧拉法仿真，为保证计算稳定，则对计算步长h的要求为：( 0<h<0.4 )。
分析：根据一阶显示方程 y=μy 的稳定性判定方程：
1+μh<1
满足判定方程的解即为稳定域 。由题可知 μ=-5， 带入判定方程，可以计算出稳定域为h∈(0,0.4)，当步长的取值在0到0.4之间时，用欧拉方法仿真计算是稳定的。

26、一个连续系统的微分方程为 y't+yt=u(t) ，y0=1，用根匹配法求得的离散化模型为：（yk=e-T∙yk-1+1-e-T∙uk）
分析：先对原微分方程取拉氏变换，得s+1Ys=Us，系统S域的传递函数为
Gs=YsUs=1s+1
由传递函数可知，系统无零点，有一个一级极点p=-1；对于一阶系统，采用阶跃信号输入时，其稳态输出可以由终值定理求得：
y∞=lims→0sGsUs=lims→0s∙1s+1∙1s=1
作根匹配替换，令G(z)的极点对应Gs的极点，并将无穷远点作为G(z)的零点，构建G(z)：
Gz=Kz∙zz-epT=Kz∙zz-e-T
再由Z域的终值定理，系统在同样输入下稳态输出相同，求出Kz：
y∞=limz→1(1-z-1)GsUs=limz→11-z-1∙Kz∙zz-e-T∙11-z-1=limz→1Kz∙zz-e-T=1
由此求得Kz=1-e-T，于是求得离散Z传递函数为：
Gz=YzUz=1-e-Tzz-e-T
最终根据离散传递函数求输出序列：
Gz=YzUz=1-e-Tzz-e-T ð Yz(z-e-T)=Uz1-e-Tz ð Yz(1-z-1∙e-T)=Uz1-e-T
可得离散化差分模型为：
yk=e-T∙yk-1+1-e-T∙uk

27、用双线性替换法求得的系统Gs=1s+1的近似脉冲传递函数为 （Gz=Tz+TT+2z+(T-2) ）。
分析：常用的替换公式有
1、 欧拉替换： s=z-1T ；
2、 双线性替换： s=2T ∙z-1z+1；
3、 根匹配替换： z=esT ；

题目要求对连续系统作双线性替换，将连续模型转换为离散事件模型，可将双线性替换公式直接带入连续时间表达式求得。将 s=2T ∙z-1z+1代入Gs=1s+1中，有：

Gz=12T ∙z-1z+1+1=Tz+12z-1+T(z+1)=Tz+TT+2z+T-2

28、某纯延迟环节的输入为u，输出为y，传递函数Gs=YsUs=e-0.45s，若取步长T=0.2，则这个环节的仿真模型为：（0.75uk-2+0.25uk-3）
分析：将Gs=YsUs=e-0.45s通过替换公式z=esT变换为离散时间Z域模型，则由于步长T=0.2，延迟时间τ=0.45，
τT=0.450.2=2.25=C0+C1=2+0.25
Gz=z-2.25=z-(2+0.25)
Yz=GzUz=z-2+0.25U(z)

式中，C0=2为整数部分，C1=0.25为小数部分。根据线性插值方法，取以下线性组合作为输出：
yk=1-0.25uk-2+0.25uk-3=0.75uk-2+0.25uk-3

二、 简答题

29、试简述为什么需要采用系统仿真方法对系统进行试验？
答：这是因为
1） 在系统建成前或设计阶段，系统没有建立起来，因此不可能在真实系统上进行试验；
2） 当在真实系统上做试验，会破坏系统的运行时，可采用仿真方法；
3） 在真实系统上试验，难以保证试验结果真实性和再现性，可采用仿真方法；
4） 如果在真实系统上试验，会导致时间太长、费用太大或者有危险时，可选用仿真方法。

30、简单介绍仿真程序的基本功能，并画出仿真程序结构图
答：仿真程序包括以下基本功能模块
1） 主程序——仿真运行控制，以便修改参数，选择算法等；
2） 置初值——设置初始条件，设定系统参数；
3） 模型运行——调用相应的仿真算法程序，完成仿真运算功能；
4） 输出处理——输出仿真结构及仿真结果的处理。

主程序
（仿真逻辑控制）

输出程序块
模型运行块
置初值
（初始条件和参数）

仿真算法子程序
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绘图
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31、简述计算机仿真三要素及其三个基本活动，并用图表示
答：系统仿真的三要素是系统、模型和计算机；对应的三个基本活动是系统建模、仿真建模和仿真试验。其关系图示如下：

系统

系统建模 仿真试验

模型
计算机
仿真建模

32、试述系统仿真的一般步骤
答：系统仿真一般步骤包括
1） 系统建模——根据研究目的，建立实际系统的模型；
2） 仿真建模——根据系统及模型的特点选择合适的仿真算法；
3） 程序设计——将仿真模型以合适的方式转换为可执行的计算机程序；
4） 程序检验——检验仿真算法的合理性和正确性；
5） 仿真试验——运行仿真程序，并得到输出数据；
6） 结果分析——根据仿真运行的结果，对系统进行分析，并形成报告。
33、已知系统结构如下图所示，其中方框内的数字表示环节的编号，试写出系统的连接矩阵W以及输入矩阵W0。

解：由结构图，有：
u1=y01-y6 u2=y1-y5-y6+y01 u3=y2+y02 u4=y3-y4 u5=y6 u6=y2+y4+y02
即U=WY+W0Y0，其中：
W= 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0-1 0-1-1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0-1 0 0 00 1 10 0 W0=101001000001

34、简述仿真建模方法的基本要求
答：对仿真建模方法的基本要求为
1） 稳定性——若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也是稳定的；
2） 准确性——计算结果的绝对误差或相对满足一定的误差要求；
3） 快速性——每一步计算时间决定了仿真速度，仿真速度应满足实际仿真问题的需求。

35、给出采样控制系统的典型结构，给出其仿真程序框图，并说明在采样系统的数字仿真中，应如何处理计算步距和采样周期的关系？
答：采样控制系统框图如下：

三、计算题

36、描述系统的微分方程为y+3y+2y=u+2u+3u，已知系统为零初值，求系统的状态空间表达式。
解：首先将微分方程转换为传递函数。对原方程取拉氏变换，有
(s3+3s2+2s)Y(s)=(s2+2s+3)U(s)
并由此求得系统的传递函数为:
Gs=YsUs=s2+2s+3s3+3s2+2s
由系统传递函数标准形式可以直接写出系统的能控标准形状态表达式：
x1x2x3=0100010-2-3x1x2x3+001

X0=0
输出方程：
y=321x1x2x3

37、已知系统传递函数Gs=1s(1+s)，若用面向结构图的数字仿真方法，典型环节取Gis=Ci+DisAi+Bis ，零初值，步长h=0.1，求系统的状态方程和输出方程。
解：将传递函数分解为基本环节：
Gs=1s(1+s)=1s∙11+s
即两个基本环节级联，如下图所示，取状态变量如图标注：

1s
11+s

u x1 x2 y

由图可知，x1=u，x2=x1-x2，y=x2，写成矩阵形式，有系统状态方程：
x1x2=001-1x1x2+10u
又由题目条件知，系统时零状态，于是
X0=0
系统输出方程为：
y=01x1x2

38、已知y=-y2+t，y0=1，取计算步距h=0.1，试分别用欧拉法、四阶龙格—库塔法求t=h时的y值，并说明造成差异的原因。

解：被求函数y的导函数y=fy,t=-y2+t，以下分别用两种方法求解

（1） 欧拉法
由欧拉法的递推公式
yn+1=yn+fyn,tn∙h=yn+-yn2+tn∙h
得：
y1=y0+-y02+t0∙h=1+-12+0×0.1=0.9

（2） 四阶龙格—库塔法
RK-4的递推公式为：
yn+1=yn+16(K1+2K2+2K3+K4)∙h
其中
K1=fyn,tn=-yn2+tn K2=fyn+12K1∙h,tn+h2=-(yn+12K1∙h)2+(tn+h2)K3=fyn+12K2∙h,tn+h2=-(yn+12K2∙h)2+(tn+h2)K4=fyn+K3∙h,tn+h=-(yn+K3∙h)2+tn+h

由已知条件，yn=y0=1，h=0.1，由t0=0递推出t1=h时y1的值
K1=-y02+t0=-12+0=-1 K2=-(y0+12K1∙h)2+t0+h2=-(1-1×12×0.1)2+0+0.12=-0.8525 K3=-(y0+12K2∙h)2+t0+h2=-(1-0.8525×12×0.1)2+0+0.12=-0.8666K4=-(y0+K3∙h)2+t0+h=-(1-0.8666×0.1)2+0+0.1=-0.7342

y1=y0+16K1+2K2+2K3+K4∙h
=1+16-1-2×0.8525-2×0.8666-0.7342×0.1=0.9138
（3）计算结果产生差异是由于两种方法的精度不一样，RK-4方法精度更高。

39、（时域离散相似法）已知线性定常系统的状态方程为：
x1x2=00-1-3x1x2+10u
y=10x1x2
求Φ(T)，Φm(T)，及离散化状态方程。
解：根据题意，有：
A=00-1-3，B=10，C=10
sI-A-1=s01s+3-1=1s0-1ss+31s+3
系统的状态转移矩阵：
ΦT=eAT=L-1sI-A-1=1013(e-3T-1)e-3T
系统的输入转移矩阵：
ΦmT=0TΦT-τBdτ=0T1013(e-3(T-τ)-1)e-3(T-τ)10dτ=T191-e-3T-T3
系统的离散化状态方程及离散化输出方程为：
Xk+1=ΦTXk+ΦmTUk
yk=CXk

40、已知线性时不变系统的状态方程为X=AX+Bu，X0=X0，X为n维状态变量，若输入ut=sinωt，用增广矩阵法将其转换为齐次方程，并标明初值。
解：设xn+1=ut=sinωt，xn+2=cosωt，
则有：
xn+1=ωcosωt=ωxn+2
xn+2=-ωsinωt=-ωxn+1
将其增广到系统状态方程上，有：
Xxn+1xn+2=AB000ω0-ω0Xxn+1xn+2
且其初始条件为：
X(0)xn+1(0)xn+2(0)=X001

41、二阶连续系统的传递函数为Gs=YsUs=1s2+5s+6，分别用下述方法求取与之近似等效的脉冲传递函数Gz，计算步长取T。
解：
（1） 双线性替换法
根据双线性替换公式s=2T ∙z-1z+1，代入系统传递函数作替换
Gz=1(2T ∙z-1z+1)2+52T ∙z-1z+1+6=T2(z+1)24(z-1)2+10T ∙(z-1)(z+1)+6(z+1)2
（2） 频域离散相似法（加虚拟采样开关及零阶保持器）
串入零阶保持器Hs=1-e-sTs并求系统的Z变换
Gz=ZHsGs=Z1-e-sTs∙1s2+5s+6=1-z-1Z1ss+2s+3=1-z-1Z1ss+2-1ss+3=1-z-11-e-2T21-z-1z-e-2T-1-e-3T31-z-1z-e-3T=1-e-2T2(z-e-2T)-1-e-3T3(z-e-3T)

（3） 根匹配法
Gs=YsUs=1s2+5s+6=1(s+2)(s+3)

系统有两个一阶极点p1=-2，p2=-3，无有限零点；根据根匹配法，有系统离散传递函数：
Gz=Kz∙z2z-e-2Tz-e-3T

现根据终值相等，确定增益Kz；对于连续模型，当系统输入为阶跃信号时，应用终值定理
y∞=lims→0sGsUs=lims→0sGs1s=lims→01s2+5s+6=16
对于离散模型，同样阶跃输入时，应有相同的稳态输出，应用终值定理
y∞=limz→1[1-z-1GzUz]=limz→11-z-1Gz11-z-1=limz→1Kz∙z2z-e-2Tz-e-3T=Kz∙11-e-2T1-e-3T=16
因此：
Kz=161-e-2T1-e-3T
最终由根匹配法得到的离散相似模型为：
Gz=161-e-2T1-e-3T∙z2z-e-2Tz-e-3T
或
Gz=1-e-2T1-e-3Tz26z-e-2Tz-e-3T

42、已知某采样控制系统的校正环节为Dz=2.62z-0.98z-0.64，采样周期为T=0.02，现需要在T'=0.1秒下进行数字仿真，求此时Dz的数学模型D'z及其仿真模型。
解
1） 模型转换公式的推导
为保证模型的一致性，必须保证模型转换前后所对应的系统零极点和稳态响应匹配。设转换前有极点pz，转换后对应的几点为pz'，由于z=esT，其所对应于连续系统极点为:
ps=1Tln(pz)
ps'=1T'ln( pz')
由于设计目标是使ps'=ps，于是pz'=eT'Tln(pz)=pzT'T；其零点的转换也是如此。

2） 数字模型的转换
将Dz=2.62z-0.98z-0.64从采样周期T=0.02转换到新的采样周期T'=0.1，则T'T=5
D'z=Kzz-0.985z-0.645=Kzz-0.7738z-0.1074
又根据相同输入下稳态值相同，即y∞=y'∞，取阶跃信号Uz=11-z-1输入系统，由终值定理确定系数Kz：
y∞=limz→1[1-z-1DzUz]=limz→11-z-1Dz11-z-1=limz→1Dz=limz→12.62z-0.98z-0.64=0.1456
y'∞=limz→1[1-z-1D'zUz]=limz→11-z-1D'z11-z-1=limz→1D'z=limz→1Kzz-0.7738z-0.1074=0.2534Kz=y∞=0.1456
Kz=0.14560.2534=0.5746
即转换采样时间后的离散传递函数为：
D'z=0.5746z-0.7738z-0.1074

3） 根据离散传递函数还原系统差分模型，由
D'z=YzUz=0.5746z-0.7738z-0.1074
Yz1-0.1074z-1=0.5746(1-0.7738z-1)U(z)
系统递推差分方程为：
yk=0.1074yk-1+0.5746uk-0.4446uk-1
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