专题六：导数和函数高考大题类型(自己总结).doc

导数高考大题（教师版）
类型一：对单调区间的分类讨论
1、已知函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，都有成立，求实数的取值范围.
类型二：给出单调递增递减区间等价于恒成立问题
2、已知函数.
（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.
类型三：零点个数问题
3、已知函数（，为常数），且为的一个极值点．(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 求函数的单调区间；
(Ⅲ) 若函数有3个不同的零点，求实数的取值范围．
类型四：一般的恒成立问题
4．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，

(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；

类型五：用构造法证明不等式问题
5、 已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（I）求，的值；
（II）证明：当，且时，．
6、设函数，其中为自然对数的底数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值.

近三年新课标导数高考试题
[2011]
1、（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）
（A） (B) （C） (D)
2、（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ）
（A） （B）4 （C） （D）6
3、(12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
4、（21）（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。

[2012]
5、（12）设点P在曲线y=ex 上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为（ ）
（A） 1-ln2 （B） （C）1+ln2 （D）
6、（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）满足
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若求（a+1）b的最大值。

【2013年】
7、16、若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.
8、（21）（本小题满分共12分）
已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2
（Ⅰ）求a，b，c，d的值
（Ⅱ）若x≥－2时, ，求k的取值范围。

导数高考大题（教师版）

类型一：对单调区间的分类讨论
1、已知函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，都有成立，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）的定义域是，. …………………………2分
（1）当时，成立，的单调增区间为； ……3分
（2）当时，
令，得，则的单调增区间是. …………4分
令,得，则的单调减区间是. …………5分
综上所述，当时，的单调增区间为；当时，的单调减区间是，的单调增区间是. ………………………6分
（Ⅱ）当时，成立，. ………………………………7分
当时，成立，
即时，成立.
设， 所以=.
当时，，函数在上为减函数； …………11分
时，，函数在上为增函数. …………12分
则在处取得最小值，. 则.
综上所述，时，成立的的范围是. …………13分
类型二：给出单调递增递减区间等价于恒成立问题
2、已知函数.
（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ） …………1分
由已知，解得. …………3分
（II）函数的定义域为.
（1）当时, ，的单调递增区间为；……5分
（2）当时.
当变化时，的变化情况如下：

-

+

极小值

由上表可知，函数的单调递减区间是；
单调递增区间是. …………8分
（II）由得，…………9分
由已知函数为上的单调减函数，
则在上恒成立，
即在上恒成立.
即在上恒成立. …………11分
令，在上，
所以在为减函数. , 所以.
类型三：零点个数问题
3、已知函数（，为常数），且为的一个极值点．(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 求函数的单调区间；
(Ⅲ) 若函数有3个不同的零点，求实数的取值范围．
解： (Ⅰ) 函数f (x)的定义域为（0，+∞）……1分
∵ f ′ (x) = ……2分
∴，则a = 1．………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ) 知
∴ f ′ (x) = ………6分
由f ′ (x) > 0可得x >2或x <1，由f ′ (x) < 0可得1< x <2．
∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ ∞ )，
单调递减区间为 (1 , 2 )． ………9分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数f (x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增．
且当x =1或x =2时，f ′ (x) = 0． ………10分
∴ f (x) 的极大值为 ………11分
f (x)的极小值为 ……12分
由题意可知
则 ………14分
类型四：一般的恒成立问题
4．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，
(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；
1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.
也就是在恒成立.………1分
令 ，
则，……2分
在上，在上，
因此，在处取极小值，也是最小值，
即，所以.……4分
(Ⅱ)当，
，由得. ………6分
①当时，在上，在上
因此，在处取得极小值，也是最小值. .
由于
因此， ………8分
②当，，因此上单调递增，
…
类型五：用构造法证明不等式问题
5、 已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（I）求，的值；
（II）证明：当，且时，．
解：（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
考虑函数，则
所以当时，故
当
当时，
从而当
类型六：最值问题
6、设函数，其中为自然对数的底数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值.
解：（Ⅰ）由已知，
所以， ……………2分
由，得， ……………3分
所以，在区间上，，
函数在区间上单调递减； ……………4分
在区间上，，
函数在区间上单调递增； ……………5分
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（Ⅱ）因为，
所以曲线在点处切线为：. ……………7分
切线与轴的交点为，与轴的交点为， ……………9分
因为，所以， ……………10分
， ……………12分
在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.
所以，当时，有最大值，此时，所以，的最大值为.

近三年新课标导数高考试题

[2011]
1、（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是B
（A） (B) （C） (D)
2、（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为C
（A） （B）4 （C） （D）6
3、(12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于D
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
4、（21）（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
（21）解：（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以。
考虑函数，则。
(i)设，由知，当时，。而，故
当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设0<k<1.由于当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 (x）>0,
而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
（iii）设k1.此时（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-，0]
[2012]
5、（12）设点P在曲线y=ex 上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为B
（A） 1-ln2 （B） （C）1+ln2 （D）
6、（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）满足
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若求（a+1）b的最大值。

【解析】（1）
令得：

得：

在上单调递增

得：的解析式为
且单调递增区间为，单调递减区间为
（2）得
①当时，在上单调递增
时，与矛盾
②当时，
得：当时，

令；则

当时，
当时，的最大值为
【2013年】
7、16、若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.
【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.
【解析】由图像关于直线=－2对称，则
0==，
0==，解得=8，=15，
∴=，
∴==
=
当∈(－∞,)∪(－2, )时，＞0，
当∈(,－2)∪(,+∞)时，＜0，
∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，在（－2，）单调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时取极大值，==16.
8、（21）（本小题满分共12分）
已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2
（Ⅰ）求a，b，c，d的值
（Ⅱ）若x≥－2时, ，求k的取值范围。
【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题.
【解析】（Ⅰ）由已知得，
而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
设函数==（），
==，
有题设可得≥0，即，
令=0得，=，=－2，
（1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时， ＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值， 而==≥0，
∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，
(2)若，则=，
∴当≥－2时，≥0，∴在(－2,+∞)单调递增，而=0，
∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，
(3)若，则==＜0，
∴当≥－2时，≤不可能恒成立，
综上所述，的取值范围为[1,].
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