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研究2014年高考天津卷理科压轴题
题1 (2014年高考天津卷理科第20题)设f(x)＝x－aex(a∈R)，x∈R.已知函数y＝f(x)有两个零点x1，x2，且x1<x2.
(1)求a的取值范围；
(2)证明：随着a的减小而增大；
(3)证明：x1＋x2随着a的减小而增大．
解 (1)题设即关于的方程有两个零点.
用导数可得函数在上分别是增函数、减函数，且.由此可作出函数的图象如图1所示：

图1
所以所求答案为.
(2)设.关于的方程的两个零点分别是；关于的方程的两个零点分别是.

图2
由图2可得，所以，即欲证成立.
(2)的另证 可得，所以.
由已证的，得，所以，，即欲证成立.
(3)可设.在(2)的另证中已得，即.所以
①
得.
设，得.
再设，得，所以是增函数，得.
再由此得，所以即是的增函数.
又由(2)的结论知，是的减函数.所以是的减函数，即欲证结论成立.
笔者研究题1后，得到了如下结论：
定理1 若函数f(x)＝x－aex(x∈R)有两个零点x1，x2(x1<x2)，则(设)：
(1)的取值范围分别是，且.
(2)均是的增函数也均是的减函数，它们的取值范围分别是；是的减函数也是的增函数，其取值范围是(0,1).
(3).
证明 (1)由题1(1)的解答及式①立得.
(2)由以上题1的结论(2),(3)及(2)的另证得：均是的减函数.
又题1的结论(2)“即是的减函数”也即“是的减函数”，所以均是的增函数.
由(1)的结论，可得

再由洛必达法则，可得的取值范围分别是.
由(1)的结论，可得.设，得

所以是增函数，再由洛必达法则，可得函数的值域是.
所以是的增函数也是的减函数，其取值范围是.
由(1)的结论，可得.设，得

所以是减函数，再由洛必达法则，可得函数的值域是.
令后，可得是的减函数也是的增函数，其取值范围是(0,1).
由，分别是的增函数，，可得是的增函数也是的减函数.
可得，再由洛必达法则，可得的取值范围是.
可得.三次用导数可证函数是减函数，再由洛必达法则，可得的取值范围是(0,1).
可得.设，得

设，得

……进而可得均是的增函数也是的减函数，其取值范围是.
(3)由(2)的结论得，又，所以.
推论 若函数有两个零点x1，x2(x1<x2)，则(设)：
(1)的取值范围分别是，且.
(2)均是的增函数也均是的减函数，它们的取值范围分别是；是的减函数也是的增函数，其取值范围是.
(3).
定理2 若有两个零点x1，x2(x1<x2)，则(设)：
(1)的取值范围分别是，且.
(2)均是的增函数也均是的减函数，它们的取值范围分别是.
证明 (1)略.
(2)由(1)的结论，得

即显然是的增函数；用导数可证均是的增函数，所以均是的增函数.
由函数的图象可知即是的减函数，所以均是的减函数.
再由洛必达法则，可得欲证成立.
猜想1 均是的增函数；是的减函数.
定理3 若有两个零点x1，x2(x1<x2)，则(设)：
(1)的取值范围分别是，且.
(2)均是的增函数也均是的增函数，它们的取值范围分别是；是的减函数也是的减函数，其取值范围是.
猜想2 均是的增函数；是的减函数.