2020年初中数学突破中考压轴题几何模型之相似三角形中的一线三等角模型.pdf

1一线三等角 相似三角形判定的基本模型相似三角形判定的基本模型 A 字型 X 字型 反 A 字型 反 8 字型母子型 旋转型 双垂直 三垂直相似三角形判定的变化模型相似三角形判定的变化模型CBEDA 一线三等角型相似三角形一线三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：2等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。典型例题典型例题【例例 1】如图，等边ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，EDF=60（1）求证：BDECFD（2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE【例例 2】如图，等腰ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，EDF=B，求证：BDEDFE【例例 3】如图，在ABC 中，AB=AC=5cm，BC=8，点 P 为 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合），过点 P 作射线PM 交 AC 于点 M，使APM=B；（1）求证：ABPPCM；（2）设 BP=x，CM=y求 y 与 x 的函数解析式，并写出函数的定义域（3）当APM 为等腰三角形时，求 PB 的长【例例 4】（1）在中，点、分别在射线、上（点不与点、点ABC5 ACAB8BCPQCBACPC重合），且保持.BABCAPQ若点在线段上（如图），且，求线段的长；PCB6BPCQ若，求与之间的函数关系式，并写出函数的 xBP yCQ yx定义域；CADBEFCDEABFA AB BP PC CM MABCPQ3（2）正方形的边长为（如图 12），点、分别在直线、上ABCD5PQCBDC（点不与点、点重合），且保持.PCB90APQ当时，写出线段的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.1CQBP点评：点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。【例例 5】已知：菱形 ABCD,AB=4m,B=60,点 P、Q 分别从点 B、C 出发，沿线段 BC、CD 以 1m/s 的速度向终点 C、D 运动,运动时间为 t 秒（1）连接 AP、AQ、PQ，试判断APQ 的形状，并说明理由。（2）当 t=1 秒时，连接 AC，与 PQ 相交于点 K.求 AK 的长。（3）当 t=2 秒时，连接 AP、PQ,将APQ 逆时针旋转，使角的两边与 AB、AD、AC 分别交于点 E、N、F，连接 EF.若 AN=1,求 SEPF.ABCDPQKABCDPQ DCBAABC备用图ABCD图 124【应用应用】1.如图，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形，CBOA，OA=7，BC=1，AB=5，点 P 为 x 轴上的一个动点，点 P 不与点 0、点 A 重合连接 CP，过点 P 作 PD 交 AB 于点 D（1）直接写出点 B 的坐标 （2）当点 P 在线段 OA 上运动时，使得CPD=OAB，且 BD:AD=3:2，求点 P 的坐标2、已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 BC=6，AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点 （1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证：BEPCPD；（2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合），且满足EPF=C，PF 交直线 CD 于点 F，同时交直线 AD 于点 M，那么 当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；xyyx当时，求 BP 的长BEPDMFSS49模型训练：模型训练：1.如图，在ABC 中，是边上的一个动点，点在边上，且8 ACAB10BCDBCEACCADE(1)求证：ABDDCE；(2)如果，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；xBD yAE yxxABCDEEDCBAP（第 25 题图）EDCBA（备用图）5(3)当点是的中点时，试说明ADE 是什么三角形，并说明理由DBC2.已知：如图，在ABC 中，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 BC 上又点5 ACAB6BCABDE F 在边 AC 上，且BDEF(1)求证：FCEEBD；(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否有可能使EBDFCESS 4如果有可能，那么求出 BD 的长如果不可能请说明理由3.如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 是 BC 上一点，且 BP=2，将一个大小与B 相等的角的顶点放在 P 点，然后将这个角绕 P 点转动，使角的两边始终分别与 AB、AC 相交，交点为 D、E。（1）求证BPDCEP（2）是否存在这样的位置，PDE 为直角三角形？若存在，求出 BD 的长；若不存在，说明理由。CPEABD64.如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 是 BC 上的一个动点(与 B、C不重合)，PEAB 与 E，PFBC 交 AC 与 F，设 PC=x，记PE=，PF=1y2y（1）分别求、关于 x 的函数关系式1y2y（2）PEF 能为直角三角形吗?若能，求出 CP 的长，若不能，请说明理由。5.已知在等腰三角形中，是的中点，是上的动点（不与、重ABC4,6ABBCACDACEBCBC合），连结，过点作射线，使，射线交射线于点，交射线于点.DEDDFEDFA DFEBFABH（1）求证：；CEDADH（2）设.,ECx BFy用含的代数式表示；xBH求关于的函数解析式，并写出的定义域.yxx6.已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图 8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同CPEABFABCDEFHABCDEFCDABP7时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1 时，写出AP的长（不必写出解题过程）