【书城】2017年高考数学基础突破——导数与积分：第8讲构造函数求导与“二次求导”问题.doc

2017年高考数学基础突破——导数与积分
第8讲 构造函数求导与“二次求导”（学生版，后附教师版）

【知识梳理】
构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．
二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函数零点“求之不得”的问题。
【基础考点突破】
考点1.构造函数求导
【例1】【2015高考新课标2，理12】设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． 　　　B．
C． 　　　D．
变式训练1.【2015高考福建，理10】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）
A． B． C． D．

考点2.利用导数构造函数证明不等式
【例2】【2015高考福建，文22】已知函数．
(Ⅰ)求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．

变式训练2.【2016高考新课标Ⅲ文数】设函数.
（1）讨论的单调性；（2）证明当时，；（3）设，证明当时，.

考点3.构造函数与二次求导
【例3】设函数(其中).
(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间；(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.

【归纳总结】二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函数零点“求之不得”的问题。
变式训练3.（2012年全国卷）设函数．
（1）求的单调区间；（2）若，为整数，且当时，，求的最大值．

变式训练4.（2014年山东卷）设函数（为常数，是自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．

【基础练习巩固】
1．设函数满足，，则时，（ ）
A．有极大值，无极小值 　B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值　　　　　D．既无极大值也无极小值
2．设函数，其中．
（1）当时，证明不等式；（2）设的最小值为，证明．

3． 已知函数，证明: 当且时．

4.【2016高考新课标2理数】
(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；
(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．
2017年高考数学基础突破——导数与积分
第1讲 构造函数求导与“二次求导”（学生版，后附教师版）

【知识梳理】
构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．
二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函数零点“求之不得”的问题。

【基础考点突破】
考点1.构造函数求导
【例1】【2015高考新课标2，理12】设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． 　　　B．
C． 　　　D．
【答案】A
解析：记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在上单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在上单调递减，且.当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A.
变式训练1.【2015高考福建，理10】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，，选项A,B无法判断，故选C．

考点2.利用导数构造函数证明不等式
【例2】【2015高考福建，文22】已知函数．
(Ⅰ)求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．
【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．
【解析】（I），．
由得解得．
故的单调递增区间是．
（II）令，．则有．
当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，．
（III）由（II）知，当时，不存在满足题意．
当时，对于，有，则，从而不存在满足题意．
当时，令，，则有．
由得，．
解得，．
当时，，故在内单调递增．
从而当时，，即，
综上，的取值范围是．

变式训练2.【2016高考新课标Ⅲ文数】设函数.
（1）讨论的单调性；（2）证明当时，；（3）设，证明当时，.
解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为，所以当时，.
故当时，，，即.
（Ⅲ）由题设，设，则，令，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，.
所以当时，.

考点3.构造函数与二次求导
【例3】设函数(其中).
(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间；(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.
解析：(Ⅰ) 当时, ,
令,得,
当变化时,的变化如下表:

极大值

极小值

右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.
(Ⅱ) ,令,得,,
令,则,所以在上递增,
所以,从而,所以
所以当时,；当时,；
所以，
令,则,令,则，
所以在上递减,而，
所以存在使得,且当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.
因为,.
所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.
综上,函数在上的最大值.
【归纳总结】二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函数零点“求之不得”的问题。

变式训练3.（2012年全国卷）设函数．
（1）求的单调区间；（2）若，为整数，且当时，，求的最大值．
解 （1）的定义域为，．
若，则，在上单调递增；若，则当时，；当时，．故在上单调递减，在上单调递增．
（2）由于，所以．
故当时，等价于①
令，则，由（1）知函数在上单调递增．而，，所以在内存在唯一的零点，故在内存在唯一的零点，设此零点为，则．
当时，；当时，，所以在内的最小值为．又由，可得，所以．
由于①式等价于，故整数的最大值为2．
变式训练4.（2014年山东卷）设函数（为常数，是自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．
解 （1）函数的定义域为，．由可得，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由（Ⅰ）知，时，函数在内单调递减，即函数在在内不存在极点，故．
因为，
记．若函数在内存在两个极值点，则有两个零点．
因为，当时，在内成立，为单调递增函数，在内不存在两个极值点．当时，在内成立，为单调递减函数，在内成立，为单调递增函数．所以函数的最小值为．
若在内存在两个极值点，当且仅当，解得．
综上，在内存在两个极值点时，的取值范围为．

【基础练习巩固】
1．设函数满足，，则时，（ ）
A．有极大值，无极小值 　B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值　　　　　D．既无极大值也无极小值
解析：由题意,令,则,且，
因此．
令，则，
所以时，；时，．从而有，即，所以当时，是单调递增的，既无极大值也无极小值．答案D．

2．设函数，其中．
（1）当时，证明不等式；
（2）设的最小值为，，证明．
证明：（1）设，则．
当 时，，在上是增函数．
所以当时，，即．所以成立．
同理可证．所以．
（2）由已知得函数的定义域为，且，令，得．当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增．
所以的最小值，
将代入，得，即.
所以，即．

3． 已知函数，证明: 当且时．
解析: 设，构造函数，则
．
当时可得，而，故当 时，递减．
所以得．
当 时，，而，故当时，递减．
所以，可得．
综上， 当且时．

4.【2016高考新课标2理数】
(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；
(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．
解析：（Ⅰ）的定义域为.
且仅当时，，所以在单调递增，因此当时，所以
（II） 由（I）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增.
因此在处取得最小值，最小值为
于是，由单调递增
所以，由得
因为单调递增，对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上，当时，有，的值域是